Prime nozioni sui segnali

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1 Prime nozioni sui segnali Ø Conce'o di segnale Ø ed esempi di segnali elementari sia determinis4ci che casuali (media, deviazione standard, densità di probabilità) Ø Operazioni sui segnali Ø Energia, potenza, ortogonalità e periodicità Ø Definizione e proprietà dell impulso matema4co Ø Relazioni tra segnali impulsivi, di energia e di potenza Ø Potenza di un segnale periodico Ø A'raversamento di un sistema da parte di un segnale 1

2 Conce1o di segnale Il segnale cos4tuisce l aspe%o fisico della trasmissione dell informazione Una sorgente S vuole trasme'ere informazioni ad una des4nazione D ad una certa distanza da essa: S perturba una certa grandezza fisica che propagandosi raggiunge D. L andamento nel tempo della grandezza perturbata cos4tuisce il segnale che D u4lizza per acquisire informazioni da S. S Trasdu'ore di sorgente Canale Trasdu'ore di des4nazione D Segnale emesso Segnale trasdo'o Segnale trasmesso Segnale ricevuto 2

3 Conce1o di segnale I segnali si dividono, sulla base del grado di conoscenza, in: Segnali Cer7 Andamento noto mediante una espressione matema4ca, un grafico o una registrazione Esempio: dalla conoscenza di alcuni parametri è possibile conoscere il segnale. Segnali Aleatori Un segnale si dice aleatorio se il suo andamento non è noto da parte della des4nazione. Tale incertezza può essere limitata ad uno o più parametri. 3

4 Un segnale si può esprimere in uno dei seguen4 modi dove parte reale e immaginaria sono date da e modulo e fase di x(t) sono da4 da 4

5 Da ricordare che in genere: i segnali possono essere limita& o illimita& nel tempo un segnale rappresenta l andamento temporale di una grandezza fisica funzioni che lo rappresentano funzioni reali di variabile t i fenomeni fisici sono con4nui funzioni che lo descrivono dovrebbero essere con4nue i segnali sono limita4 inferiormente e superiormente da fa'ori fisici i segnali sono periodici di periodo T 0 se 5

6 I segnali possono essere classifica4 in base alle loro cara%eris7che anali7che in: Segnale con4nuo tempo con4nuo Segnale con4nuo tempo discreto Segnale discreto tempo discreto Segnale discreto tempo con4nuo 6

7 Segnale sinusoidale 7

8 Segnale Gaussiano 8

9 Segnale esponenziale reale Esponenziale complesso Formule di Eulero 9

10 Segnale re'angolo 10

11 Segnale triangolo 11

12 Segnale gradino 12

13 Media temporale di un segnale nell intervallo (t 1, t 2 ) Estendendo a tu'o l asse dei tempi, si o^ene la media temporale di un segnale Se il segnale è periodico si ha 13

14 Media temporale del segnale gradino di ampiezza A Media temporale del segnale periodico re'angolare di periodo T 0 Media temporale del segnale periodico sinusoidale di periodo T 0 La media temporale spesso è anche chiamata componente con4nua di un segnale e la si indica con Si definisce quindi la componente alternata come 14

15 Variabili aleatorie Per un esperimento casuale Є, associamo ad ogni possibile risultato ζ un numero X(ζ). X è una funzione che ha come dominio l insieme dei possibili risulta4 dell esperimento casuale Є, e come codominio un certo insieme di numeri. Questa funzione X è de'a variabile aleatoria. Una variabile aleatoria può essere discreta oppure con4nua. Fissato un certo numero x 1, la notazione {X x 1 } rappresenta l insieme di tu^ i risulta4 ζ per cui X(ζ) x 1. La funzione cumula8va di distribuzione F X (x) è la probabilità che la variabile aleatoria X(ζ) abbia un valore minore o uguale a x: 15

16 Proprietà: La funzione densità di probabilità f X (x) è la derivata della funzione cumula4va di distribuzione; di solito si indica con pdf (probability density func4on). f X (x) 0 per x poiché F X (x) è monotona non decrescente 16

17 Funzione densità di probabilità f X (x) uniforme Sia X una variabile casuale che può assumere tu^ i valori dell'intervallo reale [a;b] in modo tale che tu^ i so'ointervalli di uguale ampiezza abbiano la stessa probabilità (diversa da zero). f X (x) F X (x) x x 17

18 Funzione densità di probabilità f X (x) uniforme Media Varianza Deviazione standard (valore quadra4co medio rms) 18

19 Segnale aleatorio: segnale non noto Processo aleatorio X(T): insieme di tu'e le possibili forme d onda che una sorgente S può eme'ere; ciascuna di queste viene de'a realizzazione x(t) del processo aleatorio Realizzazioni del processo aleatorio 19

20 Un processo stocas8co X è una funzione di una variabile casuale ζ e del tempo t: insieme di funzioni del tempo, dipenden4, oltre che da t, da un parametro ζ di queste funzioni una sola viene estra'a di volta in volta, in modo corrispondente al risultato ζ di un esperimento casuale Esempio: una fabbrica produce filtri che, idealmente, dovrebbero avere un coefficiente di trasmissione alla frequenza di risonanza pari ad 1. Nella realtà tu^ i filtri hanno perdite, e tale coefficiente risulta minore di 1 (di una quan4tà casuale). Applicando all ingresso del filtro una d.d.p. V 1 (t)=v 0 cos(ωt), all uscita si V 2 (t)= ζ V 0 cos(ωt). V 2 (t) è un processo stocas4co (dipende da quale filtro si è scelto). 20

21 Ex. Processo armonico (non equiprobabilità delle fasi) 21

22 Ex. Processo armonico (equiprobabilità delle fasi) 22

23 Operazioni sui segnali Somma di segnali Prodo'o di segnali Prodo'o di un segnale per una costante C Ribaltamento intorno allo zero Traslazione nel tempo (ritardo se τ > 0, an4cipo se τ < 0) Ex. mol4plicazione x(t) y(t) z(t) 23

24 Energia, potenza, ortogonalità Si definisce energia di un segnale la quan4tà Si definisce potenza di un segnale la quan4tà Segnale di energia potenza nulla, non è sempre vero il viceversa Due segnali S 1 (t) e S 2 (t) si dicono ortogonali in un intervallo di tempo [t a, t b ] se 24

25 Energia, potenza, ortogonalità Ex. energia di un esponenziale unilatero A L energia in questo è una quan4tà finita, quindi il segnale è di energia. Potenza? 25

26 Definizione e proprietà dell impulso matema8co Consideriamo il segnale Al tendere di ΔT a 0 si o^ene una successione di re'angoli, di area unitaria, il cui limite è 1 proprietà dell impulso di Dirac 2 proprietà dell impulso di Dirac 26

27 Definizione e proprietà dell impulso matema8co 3 proprietà (di simmetria) dell impulso di Dirac 4 proprietà dell impulso di Dirac 5 proprietà (di mol4plicazione) dell impulso di Dirac 6 proprietà (di campionamento) dell impulso di Dirac 27

28 Definizione e proprietà dell impulso matema8co Impulso di Dirac 28

29 Relazioni tra segnali impulsivi, di energia e di potenza Un segnale si dice impulsivo se Segnale di energia potenza nulla, non è di potenza, non è sempre vero il viceversa. Segnale di potenza ha energia infinita non è di energia né impulsivo. Non è de'o che un segnale impulsivo sia anche di energia. Un segnale limitato sia nel tempo che in ampiezza è impulsivo e di energia (re'angolo e triangolo sono due esempi). In generale non è de'o che un segnale impulsivo sia anche di energia, o viceversa. Bisogna verificare se per t ± x(t) tende a zero abbastanza velocemente e quindi l integrale del modulo (o del quadrato del modulo) converge o meno. 29

30 Potenza di un segnale periodico Un segnale periodico di periodo T (x(t) = x(t-t)) non è né un segnale impulsivo né di energia poiché non tende a zero per t ±. Per calcolare il limite si procede per passi studiando l integrale su un intervallo maggiore del periodo, per esempio pari a 3T Lo stesso risultato si può o'enere per qualsiasi intervallo di integrazione di ampiezza (2n+1)T, con n intero posi4vo. Per n si ha Un segnale periodico è sempre un segnale di potenza! 30