Variabili aleatorie parte 2. 1 Definizione di funzione di ripartizione o funzione cumulativa (CDF)

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Isidoro Leone
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1 Statistica e analisi dei dati Data: 11 aprile 2016 Variabili aleatorie parte 2 Docente: Prof. Giuseppe Boccignone Scriba: Alessandra Birlini 1 Definizione di funzione di ripartizione o funzione cumulativa (CDF) Definizione 1.1 (Funzione di ripartizione). Definiamo funzione di ripartizione (o funzione cumulativa, CDF) della V.A. (continua o discreta) X, la funzione F X : R [0, 1] per cui vale F X (x) = P X (X x). (1) Esempio 1.2 ( Caso discreto). Lancio una moneta dove P (T ) = p, P (C) = q = 1 p, e definisco la VA X( ) come il mapping X(T ) = 1 e X(C) = 0. Per costruire la CDF andiamo a variare il valore di x nel codominio (da a ) vedendo quali eventi elementari via via cattura. Per l A2 di Kolmogorov, essendo gli eventi disgiunti, la somma delle probabilitá di tali eventi é P X (X x), cioé F X (x). Nell esempio considerato, gli eventi possibili sono X(C) = 0 e X(T ) = 1, pertanto tale procedura si riduce ad analizzare i seguenti casi: x < 0: X(T ) = 1 x e X(C) = 0 x Funzione di ripartizione: F X (x) = 0. 0 x < 1: X(T ) = 1 x e X(C) = 0 x Funzione di ripartizione: F X (x) = P X (X x) = P (C) = q x 1: X(T ) = 1 x e X(C) x. Funzione di ripartizione: F X (x) = P X (X x) = P (T C) = 1 Abbiamo quindi una funzione di ripartizione che si disegna come in Figura 1. Esempio 1.3 (Caso continuo). Definiamo la VA continua: X(t) = a, t S Questo é un caso degenere, perché X é una funzione che mappa qualsiasi esito t del dominio S in un unico punto del codominio B (quindi avremo che il punto x = a ha probabilitá 1, ovvero un evento certo, cfr. Figura 2 piú avanti). In questo caso abbiamo due situazioni: x < a X(t) = a x Funzione di ripartizione: F X(x) = 0 1

2 2 Variabili aleatorie parte 2 Figura 1: Grafico della funzione di ripartizione F X (x) con X(T ) = 1 e X(C) = 0 x a: X(t) = a x. Funzione di ripartizione: F X (x) = P X(X x) = P (S) = 1 Abbiamo quindi una funzione di ripartizione che si disegna come in Figura 1. Figura 2: Grafico della funzione di ripartizione F X (x) con X(t) = a 2 Proprietá della funzione di ripartizione Prop. 2.1 (Funzione non decrescente). Se x 1 < x 2 F X (x 1 ) F X (x 2 ) Dimostrazione Per ipotesi: {X x 1 } {X x 2 } P X ({X x 1 }) P X ({X x 2 }) Per definizione di CDF: F X (x 1 ) F X (x 2 ) Prop F X (+ ) = 1 F X ( ) = 0

3 Variabili aleatorie parte 2 3 Dimostrazione F X (+ ) = P X (X + ) = 1 F X ( ) = P X (X ) = 0 Prop P X (X > x) = 1 F X (x) Dimostrazione Per costruzione: {X x} {X < x} = 0 R = {X x} {X < x} = 0 Quindi, per A2 di Kolmogorov: P X (R) = P X (X x) + P X {X > x} 1 = P X (X x) + P X {X > x} La P X {X > x} definisce la funzione complementare della CDF, chiamata anche funzione di sopravvivenza. Prop. 2.4 (non decrescenza). Se a < b, allora P X (a < X b) = F X (b) F X (a) Dimostrazione Per ipotesi: {X b} = {X a} + {a < X b} Quindi, per A2 di Kolmogorov: P X ({X b}) P X ({X a}) = P X ({a < X b}) Per definizione di CDF: F X (b) F X (a) = P X ({a < X b}) Prop. 2.5 (Continuitá a destra). F X (x + ) = F X (x) (2) Accenno di dimostrazione Basta dimostrare che: lim P X(X x + ε) = F X (x) (3) ε 0 Per definizione di CDF: P X (X x + ε) = F X (x + ε) Allora, l Equazione 2 vale in virtú della seguente: lim F X(x + ε) = F X (x + ) (4) ε 0 L Equazione 4 si dimostra utilizzando il limite di una successione di insiemi. Omettiamo.

4 4 Variabili aleatorie parte 2 Graficamente il risultato di Equazione é rappresentato in Figura 2. Figura 3: La CDF in x = a assume il valore che si legge avvicinandosi da destra F X (a) = F X (a + ) Prop P X (X = x) = F X (x) F X (x ) Dimostrazione Usiamo la Prop. 2.4, P (a < X b) = F X (b) F X (a) Poniamo: a = x ε e b = x Allora: P X (x ε < X x) = F X (x) F X (x ε) Passando al limite: lim ε 0 P X (x ε < X x) = P X (X = x) lim ε 0 F X (x ε) = F X (x ) Le proprietá (2.5) e (2.6) insieme ci consentono di disegnare la PMF a partire dalla CDF. Riprendiamo la CDF a gradino in Figura 2 Vediamo dalla CDF riportata in Figura 2 che: P X (X = a) = F X (a) F X (a ) = F X (a + ) F X (a ) = 1 0 = 1 cioé, l evento X = a assume probabilitá 1, ovvero é un evento certo. Esempio 2.7 (Lancio di due monete). Definiamo la V.A. X( ) che conta il numero di esiti testa (T): X(T, T ) = 2, X(T, C) = X(C, T ) = 1 e X(C, C) = 0 Possiamo distinguere quattro casi: x < 0: {X x} = Funzione di ripartizione: F X (x) = 0 0 x < 1: {X x} = {C, C} Funzione di ripartizione: F X (x) = P X (x = 1) = P (C, C) = 1 4

5 Variabili aleatorie parte 2 5 Figura 4: Calcolo della PMF (in basso) dalla CDF (in alto) usando le proprietá (2.5) e (2.6) 1 x < 2 {X x} = {(C, C), (C, T ), (T, C)} Funzione di ripartizione: F X (x) = = 3 4 x 2: {X x = s} Funzione di ripartizione: F X (x) = 1 La CDF é dunque rappresentabile come in Figura 2.7 Figura 5: CDF ottenuta dal conteggio delle teste nell esperimento del lancio di due monete Usando come prima le proprietá (2.5) e (2.6), dalla CDF possiamo ottenere facilmente la PMF (Figura 2.7) Figura 6: PMF ottenuta dal conteggio delle teste nell esperimento del lancio di due monete

6 6 Variabili aleatorie parte 2 3 Definizione di funzione di densitá di probabilitá Le proprietá (2.4), (2.5), (2.6), (2.2) ci dicono che la funzione F X : R [0, 1] é funzione assolutamente continua e derivabile in R e, nel caso di X discreta é ancora derivabile con continuitá a meno di un numero finito di punti che costituiscono discontinuitá di prima specie E allora possibile enunciare la seguente Definizione 3.1 (Densitá di probabilitá). Una funzione f X : R R tale che: f X (x) = df X(x) dx F X (x + x) F X (x) = lim x 0 x (5) con f X (x) 0, per ogni x R si dice funzione di densitá di probabilitá associata a F X Piú in dettaglio, nel caso continuo, f X é sempre ben definita. Nel caso discreto, la densitá di probabilitá corrisponde alla PMF (Probability Mass Function): P X (X = x i ) = p X (x i ) = p i (6) dove i = 1, 2, é un indice discreto. Nel caso discreto la CDF si scrive come la somma tipicamente una funzione continua a tratti. F X (k) = P X (X x k ) = i k p i. (7) Resta tuttavia é possibile, e talvolta utile, trattare la PMF definita in Equazione (6) come fosse continua, f X (x i ) = P X (X = x i ). (8) La forma esatta della rappresentazione continua della PMF la si puó ottenere direttamente derivando la CDF come definito in Eq. (5). A tale scopo, si noti dagli esempi precedenti che per VA discrete la F X (k) é una funzione non decrescente a gradini. Come abbiamo visto, per le proprietá (2.5) e (2.6) ciascun gradino, nel generico punto X = x i ha un ampiezza che vale p i = P X (X = x i ) = F X (x + i ) F X(x i ) Un modo equivalente di scrivere la precedente é di vedere ciascun gradino di altezza p i come il risultato della moltiplicazione p i H(x x i ) (9) dove H(x x i ) é una funzione gradino di altezza 1 o funzione di Heaviside { 0 if x < x i H(x x i ) =. (10) 1 if x > x i Possiamo allora scrivere la CDF discreta (11) come F X (x) = p X (x i ) = p X (x i )H(x x i ). (11) x i x x i x

7 Variabili aleatorie parte 2 7 Derivando: f X (x) = d dx dove δ(x x i ) é la delta di Dirac. x i x p X (x i )H(x x i ) = x i x p X (x i ) d dx H(x x i) = i p i δ(x x i ) (12) + g(x)δ(x x 0 ) = g(x 0 ), + δ(x)dx = 1 (13) Dalla Equazione (5), che definisce la pdf, e dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale consegue che, per ogni a < b R, P X (a < X b) = F X (b) F X (a) = E immediato notare che la PDF é normalizzata: P x( < X + ) = F x(+ ) F x( ) = Si utilizza talvolta la notazione abbreviata: b a f X (x)dx (14) + fx(x)dx = 1 (15) prob(x dx) = P X (X dx) = f X (x)dx. (16) Essa trova motivazione nella seguente approssimazione: prob(x dx) = P X (x < X x + dx) = F X (x + dx) F X (x) = che vale per dx piccolo. x+dx x f X (u)du f X (x)dx, (17) La medesima approssimazione mette in evidenza un importante fatto che vale per le distribuzioni continue: P X (X = x) = lim dx 0 P X(x < X x + dx) = lim dx 0 x+dx x f X (u)du = 0 (18) ovvero, per una VA X( ) continua la probabilitá in un punto x arbitrario P X (X = x) ha misura nulla. Ne consegue anche che per una variabile continua potendosi scrivere, per esempio P X (a X b) = P X (a < X b) = P X (a X < b) = P X (a < X < b) (19) P X (a X b) = P X (a X < b) + P X (X = b) = P X (a X < b) + 0 (20)

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