Statistica e analisi dei dati Data: 7 Marzo Lezione 4

Transcript

1 Statistica e analisi dei dati Data: 7 Marzo 2016 Lezione 4 Docente: Prof. Giuseppe Boccignone Scriba: Matteo Gandossi 1 Indipendenza Stocastica Definizione 1 (Indipendenza Stocastica). Dati due eventi A e B, se P (A and B) = P (A B) = P (A) P (B), allora si dice che gli eventi A e B sono stocasticamente indipendenti(s.i.). 2 Esempio sull indipendenza stocastica Consideriamo ora l esperimento ε = Lancio di due monete e l evento E = Esce almeno una volta testa ; lo spazio di campionamento dell esperimento ha cardinalitá #(S) = 4 ovvero tutte le combinazioni possibili dei lanci mentre la cardinalitá dell evento é #(E) = 3 escludendo il caso in cui le due monete hanno entrambe dato Croce. Considerando che per effettuare l esperimento sono state utilizzate monete bilanciate é possibile effettuare l esperimento lanciando una sola moneta per due volte in quanto i due lanci sono indipendenti tra loro e quindi vi é indipendenza stocastica. 2.1 Rappresentazione tabellare É possibile rappresentare l esperimento mediante una tabella che mostra tutti i possibili esiti. Figura 1: Tabella degli esiti Per calcolare la probabilitá dell evento E, si puó adottare un approccio inverso, ovvero determinando la probabilitá dell evento complementare E= Nessuna testa che equivale a Due croci per poi sfruttare la regola del complemento: P(E)=1-P( E) 1

2 2 Lezione 4 P (E) = 1 P (M 1 = Croce M 2 = Croce ) P (E) = 1 P (M 1 = C ) P (M 2 = C ) P (E) = 1 [ ] P (E) = 3 4 Che equivale a calcolare la probabilitá dell evento E: P (E) = P (M 1 = T esta orm 2 = T esta ) P (E) = P (M 1 = T M 2 = T ) P (E) = P (M 1 = T ) + P (M 2 = T ) P (M 1 = T M 2 = T ) P (E) = [ ] P (E) = Rappresentazione ad albero Un altro metodo per calcolare la probabilitá é tramite l albero delle probabilitá (detto anche Chance Tree) che semplifica la visualizzazione quando un esperimento é a piú stadi (in questo caso gli stadi sono i lanci): Per ogni stadio ci sono tanti rami quanti sono gli esiti elementari Il numero totale dei percorsi rappresenta il numero totale di esiti composti possibili Ad ogni percorso é associata la probabilitá corrispondente all evento Figura 2: Visualizzazione ad albero Osservazione 2. Seguendo i rami del percorso si ottengono tutti gli esiti composti descritti nella tabella precedente (Vedi Figura 1): la probabilitá complessiva si ottiene moltiplicando tra loro tutte le probabilitá incontrate nel percorso per raggiungere l esito.

3 Lezione Affidabilitá dei sistemi L affidabilitá (Reliability) é la probabilitá che un sistema non si guasti in un determinato lasso di tempo. Un sistema puó essere formato da diverse componenti ed é quindi necessario conoscere la configurazione dei suoi componenti e l affidabilitá di ognuno per poter determinare l affidabilitá complessiva del sistema. Il complementare dell affidabilitá viene detto Fallibilitá. 3.1 Sistemi semplici Sistema in serie In un sistema in serie il processo viene eseguito in maniera sequenziale ovvero l output di un componente é l input del componente successivo. Figura 3: Sistema in serie semplice In questa configurazione, é necessatio che ogni componente sia operativo e il guasto di un solo componente porta al blocco del sistema. Indicando R A la probabilitá che il componente A non si guasti (ovvero la sua affidabilitá) e R B la probabilitá che il componente B non si guasti, l affidabilitá dell intero sistema X(R X ) é: R X = P (A B) = R A R B Sistema in parallelo In un sistema in parallelo il processo viene eseguito seguendo piú possibili percorsi indipendenti tra loro. Figura 4: Sistema in parallelo semplice In questa configurazione, non é necessario che ogni componente sia operativa; é sufficiente che almeno una non sia guasta. Il blocco del sistema si verifica solo quando ogni componente é guasta. Per semplicitá consideriamo la fallibilitá delle compondenti ovvero F A e F B e determiniamo la fallibilitá F X del sistema X: F X = P ( X) = P ( A B) = P ( A) P ( B) = F A F B R X = 1 F X

4 4 Lezione Eventi multipli Consideriamo ora tre eventi stocasticamente indipendenti A,B,C; la probabilitá P(A B C) equivale al prodotto delle probabilitá dei singoli eventi ovvero P (A) P (B) P (C) Dimostrazione P (A B C) = P ((A B) C) = P (A B) P (C) = P (A) P (B) P (C). Generalizzando, per induzione, la precedente a un insieme di eventi indipendenti A 1, A 2,..,A n si puó dire che: Teorema 3 (Regola generale del prodotto per eventi indipendenti). n P (A 1 A 2... A n ) = P ( A i ) i=1 = P (A 1 ) P A 2 )... P (A n ) n = P (A i ). i=1 3.3 Sistemi complessi Sistema in serie Figura 5: Sistema in serie complesso Applicando la regola appena dimostrata, l affidabilitá di questo sistema é: R X = P (A B C) = R A R B R C. Nel caso in cui le tre componenti fossero la stessa componente e quindi R A = R B = R C = R k l affidabilitá risulta: E piú in generale, nel caso di n componenti: R X = P (A B C) = R 3 k. R X = R n k.

5 Lezione Sistema in parallelo Figura 6: Sistema in parallelo complesso F X = P ( X) = P ( A) P ( B) P ( C) = F A F B F C R X = 1 F X Nel caso in cui le tre componenti fossero la stessa componente e quindi F A = F B = F C = F k l affidabilitá risulta: R X = 1 F 3 k E piú in generale, nel caso di n componenti: R X = 1 (F k ) n Sistema misto Figura 7: Sistema misto Nel caso di sistemi misti, ovvero formati da piú sottosistemi semplici e/o complessi collegati tra loro si procede semplificando i sottosistemi complessi in modo tale da ottenere sistemi piú semplici da calcolare: R T = 1 (F D F E F F ) R Q = 1 (F G F H )

6 6 Lezione 4 Figura 8: Sistema misto ridotto R X = R A R B R T R Q R J R K.