Statistica e analisi dei dati Data: 07 marzo Lezione 5. Figura 1: Modello ad Urna

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1 Statistica e analisi dei dati Data: 07 marzo 2016 Lezione 5 Docente: Prof. Giuseppe Boccignone Scriba: Alessandra Birlini 1 Il modello a urna Figura 1: Modello ad Urna Con questo tipo di modello posso operare in due modalitá: con REIMBUSSOLAMENTO: estraggo l oggetto e lo rimetto nell urna; senza REIMBUSSOLAMENTO: estraggo l oggetto e non lo rimetto nell urna. La misura dello spazio di campionamento S corrisponde al numero di oggetti presenti all interno dell urna. Viene quindi modificata se tolgo un elemento. Questo tipo di esperimento serve ad introdurre il fatto: quello che faccio al tempo t 1 dipende da quello che ho fatto in t Esperimento con reimbussolamento Supponiamo di avere un urna cosí strutturata: Esperimento E: estrazione di una coppia di palline Figura 2: Urna 1

2 2 Lezione 5 Figura 3: Modello con reimbussolamento Lo spazio campionario ha misura: #(S) = 3 3 = 9 Nella modalitá con reimbussolamento, estrazioni successive sono stocasticamente indipendenti troviamo: P (RR) = P (R)P (R) = = 1 9 Misura dell evento: P (RR) = #(RR) #(S) = 1 9 Questa appena descritta é la strategia del REIMBUSSOLAMENTO. Si dice che il processo é SENZA MEMORIA 1.2 Esperimento senza reimbussolamento Senza il rembussolamento le cose cambiano: Se qui applico la regola congiunta: P (RB) = ) = 1 6 Lo spazio campionario ha misura: #(S) = 3 2 = 6 ovvero il risultato é diverso da P (R)P (B) In questo caso la seconda estrazione é condizionata dalla prima vi é quindi vi é un effetto dalla prima estrazione sulla seconda. Il processo é dunque CON MEMORIA. 2 Probabilitá condizionata Esempio: Abbiamo 54 carte dove: numeriche: 40; figure 12; jolly 2.

3 Lezione 5 3 Figura 4: Modello senza reimbussolamento Consideriamo la possibilitá di avere 2 figure di seguito: Se non vi fosse reimbussolamento (non si inserisce la carta nel mazzo dopo averla estratta): P (F F ) = P (F 1)P (F 2) = = = Con reimbussolamento: P (F F ) = P (F 1, F 2) = = = Notiamo che: P (F 1) rimane uguale in entrambi i casi, con o senza reimbussolamento; P (F 2) = P (F 2 dato F 1) = P (F 2 quando ho estratto F 1) = P (F 2 condizionato da F 1) = P (F 2 F 1) nel caso di reimbussolamento. Quando uso la notazione P ( ) sto considerando una PROBABALITÁ CONDIZIONATA

4 4 Lezione 5 Nei due casi, in sintesi: con reimbussolamento: P (F 1 F 2) = P (F 1)P (F 2) = senza reimbussolamento: P (F 1 F 2) = P (F 1)P (F 2) = dove é evidente che P (F 1)P (F 2) P (F 1)P (F 2 F 1) Dal punto di vista strettamente formale, le due procedure di estrazione della coppia (F 1, F 2) potrebbero essere equivalenti sole se P (F 1)P (F 2) = P (F 1)P (F 2 F 1), il che implicherebbe P (F 2) = P (F 2 F 1), ovvero che F 2 non é condizionato, non dipende da F 1 In definitiva le due condizioni P (F 2) = P (F 2 F 1) P (F 1 F 2) = P (F 1)P (F 2) costituisono modi equivalenti per sancire l indipendenza statistica dei due eventi F 1 e F 2 3 Correlazione statistica Dati due eventi C, B, e calcolate P (C/B) e P (C) si danno tre possibilitá: 1. P (C/B) > P (C) : in questo caso vi é una dipendenza condizionale 2. P (C/B) < P (C) : anche in questo caso vi é una dipendenza condizionale

5 Lezione P(C/B) = P(C) : in questo caso C, B sono statisticamente indipendenti Nei primi due casi si dice che vi é correlazione statistica fra i due eventi. In particolare nel caso 1) la correlazione é positiva; nel caso 2), correlazione negativa. Il terzo caso dice semplicemente che i due eventi sono scorrelati. Osservazione 3.1 (Correlazione vs. causazione). La presenza di una dipendenza probabilistica condizionale per cui P (B) P (B A) puó verificarsi in due situazioni: vi é una semplice correlazione o dipendenza statistica tra gli eventi A e B: per esempio, A= vivere in un area geografica (dove potrebbe essere stoccato qualche materiale radioattivvo o nocivo, un evento latente o incognito che non é modellato né da A né da B, che é invece la vera causa patologica), B= aver contratto un tumore. vi é una semplice causazione (per esempio, in senso fisico): per esempio, A= aver maneggiato materiale radioattivo, B= aver contratto un tumore Non é detto che la correlazione implichi una causazione, invece la causazione induce necessariamente una correlazione. Valutiamo ora la correlazione nei seguenti casi Figura 5: evento B = numero < 6 Evento di interesse: C= uscita di un numero pari A priori sappiamo che che Consideriamo ora il seguente esperimento: #(S) = 6 #(C) = 3 P (C) = #C #S = 1 2 Un dado viene tirato, ma non vedo subito l esito. C é peró un osservatore che mi fornisce un informazione che puó essere correlata o no al risultato. Primo caso: Informazione: evento B = numero < 6. Lo spazio di campionamento si riduce a 1, 2, 3, 4, 5 diventando: #(S) = 6 #(S B) = 5

6 6 Lezione 5. Anche la misura di C si riduce (l esito numero pari 6 é ormai escluso secondo l informazione fornita) : #(C B) = 2 Quindi, se devo determinare la probabilitá di C condizionata a questa informazione (cioé la probabilita dell evento C B), intuitivamente: P (C B) = #(C B) #(S B) = 2 5 = 0.4 Notiamo che P (C B) < P (C) Questo é un caso dove si ha riduzione: siamo in presenza di una CORRELAZIONE NEGATIVA. Secondo caso: Informazione: evento B = numero > 1 Ripercorrendo il ragionamento fatto sopra: P (C B) = #(C B) #(S B) = 3 5 = 0.6 Figura 6: evento B = numero > 1 #(S B) = 5 #(C B) = 3 In questo caso la situazione si é ribaltata: P (C/B) > P (C) Si parla di CORRELAZIONE POSITIVA Terzo caso: Informazione: evento B = numero < 5. Qui S B = {1, 2, 3, 4} Pertanto: P (C B) = #(C B) #(S B) = 2 4 = 1 2 = 0.5 Quindi P (C B) = P (C) gli eventi sono SCORRELATI (INDIPENDENTI). Notiamo che questo accade perché C B ha la stessa proporzione in S B di quella che C aveva in S (cioé 1 2 ) Facendo riferimento alle figure, si nota facilmente che le restrizioni imposte dall informazione B si possono scrivere come (S) (S B) = S B = B

7 Lezione 5 7 Figura 7: evento B = numero < 5 (C) (C B) = C B Si noti inoltre che il nostro calcolo intuitivo della probabilitá P (C B) puó essere esplicitato come: P (C B) = #(C B) #(B) = #(C B) #(S) #(B) #(S) dove per definizione: E corretto pertanto dare la seguente: #(C B) #(S) = P (C B) #(B) #(S) = P (B) Definizione 3.2 (Probabilitá condizionata). Dato lo spazio di probabilitá (S, F, P ) considerati due eventi C, B F, con P (B) > 0, P (C B) P (C B) = P (B) é la probabilitá di C condizionata da B. Mettiamo in evidenza due casi estremi:

8 8 Lezione 5 1. B esclude C: ovvero B C =, allora P (C B) = 0 2. B implica C: ovvero B C, allora P (C B) = 1 Osservazione 3.3. La definizione data: e quella di una nuova funzione P (C B) = P (C B) P (B) P B : F F [0, 1] che é una misura di probabilitá, ovvero é una funzione che soddisfa gli assiomi di Kolmogorov: 1. P B (C B) 0 2. per C = C 1 C 2... C n con C i C j =, P B (C B) = P B (C 1 B) + P B (C 2 B) P B (C n B) 3. P B (B B) = 1 4 Generalizzazione della regola del prodotto Nel caso particolare di eventi indipendenti, valeva la seguente regola del prodotto P (C, B) = P (C)P (B) A partire dalla definizione di probabilitá condizionata possiamo immediatamente ricavare la seguente:

9 Lezione 5 9 Prop. 4.1 (Regola generale del prodotto). Dati due eventi B, C, allora P (B, C) = P (B)P (C B) (1) Osservazione 4.2. Si noti che la regola per eventi indipendenti é un caso particolare di (1) quando P (C B) = P (C) Osservazione 4.3. Si noti che per simmetria: P (C, B) = P (C B) = P (B C) = P (B, C), P (C)P (B C) = P (B)P (C B) Osservazione 4.4. Posso generalizzare induttivamente la regola del prodotto a n eventi: P (A 1, A 2..., A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 2, A 1 ) P (A n A n 1, A 2, A 1 ) Possiamo ora applicare la regola generale del prodotto per risolvere il seguente rompicapo Esempio 4.5 (Gioco di Monty Hall). Il gioco é costituito da tre porte. Dietro a una porta c e un auto in premio (per esempio la 1), dietro alle due rimanenti nessun premio. Al giocatore viene chiesto di scegliere una porta (per esempio, G 1. Il presentatore Monthy, il quale sa quale porta nasconde l auto, sceglie a sua volta una seconda porta (vuota) e la mostra al giocatore (per esempio, M 2. Quindi, prima di aprire l ultima porta chiede al giocatore se vuole cambiare la scelta iniziale e puntare eventualmente sull ultima porta rimasta. Quando il giocatore ha risposto, il presentatore svela cosa c e dietro la terza porta Il giocatore puó pertanto giocare con strategia switch o no switch. Si puó dimostrare che giocando sempre con strategia switch il giocatore ha una probabilitá di vincere pari a 2/3. Adottando la strategia di non cambiare mai la scelta iniziale ho probabilitá di vincere pari a 1/3 In Figura 4.5 si mostra l albero delle possibilitá disegnato sotto l ipotesi che l auto sia dietro la porta 1. La strategia switch conduce alla sconfitta solo nel caso in cui il giocatore abbia giá scelto inizialmente la porta 1 (G 1). Negli altri due casi vince sempre. Le probabilitá di ciascun ramo dell albero si calcolano utilizzando la regola del prodotto: percorrendo il ramo, si moltiplicano via via le probabilitá che si incontrano nelle transizioni fra nodi. Per esempio, lungo il ramo in alto P (G 1)P (M 2) G 1) = = 1 6 = P (G 1, M 2) Percorrendo il ramo centrale: P (G 2)P (M 3) G 2) = = 1 3 = P (G 2, M 3)

10 10 Lezione 5 Figura 8: Chance tree per il gioco Monty Hall, nell ipotesi che l auto sia dietro la porta numero 1