Calcolo combinatorio INTRODUZIONE. Ivan Zivko

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1 Matematica Capitolo 3 Calcolo combinatorio Ivan Zivko INTRODUZIONE Nel calcolo combinatorio vengono sviluppate delle tecniche per determinare, senza enumerazione diretta, il numero dei possibili risultati di un esperimento, o il numero degli elementi di un insieme. Matematica 2 Docente: Ivan Zivko 1

2 INTRODUZIONE I padri del calcolo combinatorio e della probabilità possono essere considerati Blaise Pascal ( ) e Pierre de Fermat ( ). Matematica 3 Esempio introduttivo Le località A B C D sono collegate da diverse strade come indicato: z x A B C D y e Un possibile percorso da A a D sarebbe z2c. Quanti diversi percorsi da A a D sarebbero possibili in totale? 1 2 N Matematica 4 a b c d Docente: Ivan Zivko 2

3 PRINCIPIO MOLTIPLICATIVO FONDAMENTALE Se un esperimento viene eseguito in k fasi successive e quest ultime si possono effettuare rispettivamente in n1, n2,,nk modi differenti, allora l esperimento può essere effettuato in modi differenti. n n n n k Matematica 5 PRINCIPIO MOLTIPLICATIVO FONDAMENTALE Esempio: le targhe automobilistiche di un paese sono composte per i primi due simboli da lettere scelte tra le 21 dell alfabeto e per gli altri tra le 10 cifre arabiche. T I Quante targhe di 7 simboli è possibile costruire? Matematica 6 Docente: Ivan Zivko 3

4 DIAGRAMMI AD ALBERO Nel calcolo combinatorio si incontrano spesso problemi che possono essere capiti più facilmente con l ausilio di diagrammi ad albero. Matematica 7 DIAGRAMMI AD ALBERO Esempio: Marco e Claudio giocano a tennis, vince chi fa sue due partite consecutivamente o chi per primo vince tre partite. Il gioco prosegue fin quando uno dei due vince. Descrivere tutti i possibili esiti del gioco attraverso un diagramma ad albero. Matematica 8 Docente: Ivan Zivko 4

5 Soluzione: DIAGRAMMI AD ALBERO Matematica 9 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Definizione Si chiama disposizione con ripetizione di n elementi diversi a k a k( con k numero intero qualunque) ogni sequenza ordinata che si può formare con k degli n elementi, potendo uno stesso elemento figurare nella sequenza fino a k volte. Matematica 10 Docente: Ivan Zivko 5

6 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Esempio: A 7 ELEMENTI Presi a 3 a 3 Matematica 11 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE A Matematica 12 Docente: Ivan Zivko 6

7 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE A Matematica 13 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Teorema In ogni posizione potremo scegliere sempre tra tutti gli n elementi. Quindi dal principio moltiplicativo fondamentale segue: D*( n, k) n n n... n k n Matematica 14 Docente: Ivan Zivko 7

8 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Esempio 2: quali terne di risultati (testa o croce) si possono ottenere lanciando tre volte una moneta? Matematica 15 Definizione DISPOSIZIONI SEMPLICI Si chiama disposizione di n elementi diversi presi a k a k ogni sequenza ordinata che si può formare scegliendo k elementi fra gli n dati (k n). Matematica 16 Docente: Ivan Zivko 8

9 DISPOSIZIONI SEMPLICI Osservazione: il fattoriale di un numero n qualsiasi è definito come segue. n! n ( n 1) ( n 2) Inoltre vale per definizione: 1! 1 0! 1 Matematica 17 DISPOSIZIONI SEMPLICI Esempio: A 7 ELEMENTI Presi a 3 a 3 Matematica 18 Docente: Ivan Zivko 9

10 DISPOSIZIONI SEMPLICI A Matematica 19 Teorema DISPOSIZIONI SEMPLICI Nella prima posizione potremo scegliere tra n elementi, nella seconda tra (n-1) elementi, nella terza tra (n-2)... Nella k-esima posizione potremo scegliere quindi tra (n-k+1) elementi. Matematica 20 Docente: Ivan Zivko 10

11 DISPOSIZIONI SEMPLICI Teorema Quindi, dal principio moltiplicativo fondamentale segue che: D( n,k) n ( n 1) ( n 2)... ( n k 1) n! ( n k)! Matematica 21 DISPOSIZIONI SEMPLICI Esempio 2: Sia E un insieme con gli elementi E={a; b; c}. Le possibili disposizioni semplici di classe 2 di questi 3 elementi sono soltanto le seguenti: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Matematica 22 Docente: Ivan Zivko 11

12 DISPOSIZIONI SEMPLICI Esempio 3: un bambino ha 6 cartoncini con disegnate su ognuno una lettera tra A, B, C, D, E, F. Può inserirli in una scacchiera, ma solo 3 alla volta. Quante paraole diverse di 3 lettere può creare? Matematica 23 Definizione PERMUTAZIONI SEMPLICI Si chiama permutazione di n elementi diversi ogni sequenza ordinata che si può formare usando tutti gli n elementi. Matematica 24 Docente: Ivan Zivko 12

13 PERMUTAZIONI SEMPLICI Osservazione Ogni permutazione contieni tutti gli n elementi, quindi differisce dalle altre sequenze solo per l ordine degli elementi. Matematica 25 Esempio: PERMUTAZIONI SEMPLICI A 7 ELEMENTI Presi a 7 a 7 Matematica 26 Docente: Ivan Zivko 13

14 PERMUTAZIONI SEMPLICI A 7 ELEMENTI Presi a 7 a 7 Matematica 27 Teorema PERMUTAZIONI SEMPLICI Nella prima posizione potremo scegliere tra n elementi, nella seconda tra (n-1) elementi, nella terza tra (n-2)... Nella n-esima dovremo per forza mettere l ultimo elemento rimasto. Matematica 28 Docente: Ivan Zivko 14

15 PERMUTAZIONI SEMPLICI Teorema Quindi, dal principio moltiplicativo fondamentale segue che: P( n) n ( n 1) ( n 2) ( n 3) n! Matematica 29 PERMUTAZIONI SEMPLICI Esempio 2: In quanti modi 7 persone si possono sedere su 7 sedie alineate? Matematica 30 Docente: Ivan Zivko 15

16 Permutazioni circolari Se l allineamento degli n oggetti avviene su una circonferenza, avremo una permutazione circolare, il cui numero di possibilità si calcolerà come segue: P c ( n) n 1! Matematica 31 Permutazioni circolari Esempio: in quanti modi 4 persone possono prendere posto attorno ad un tavolo circolare? Matematica 32 Docente: Ivan Zivko 16

17 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE Definizione Una permutazione di n elementi, di cui almeno due sono uguali, si dice permutazione con ripetizioni. Matematica 33 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE ELEMENTI Presi a 7 a 7 Matematica 34 Docente: Ivan Zivko 17

18 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE ELEMENTI Presi a 7 a 7 Matematica 35 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE Anche se scambiamo di posto due elementi potremmo ottenere la stessa disposizione: Matematica 36 Docente: Ivan Zivko 18

19 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI Teorema Il numero di permutazioni di n elementi di cui k 1 sono uguali, k 2 sono uguali,..., k n sono uguali è: P k1, k2,..., k n n k! k 1 2 n!!... k n! Matematica 37 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONI Esempio 2: Consideriamo la parola TROTTO. Quanti anagrammi diversi potremmo creare scambiando tra di loro queste 6 lettere? Matematica 38 Docente: Ivan Zivko 19

20 COMBINAZIONI SEMPLICI Definizione Si chiama combinazione di n elementi diversi presi a k a k ogni insieme che si può formare scegliendo k elementi fra gli n dati (k n). Matematica 39 COMBINAZIONI SEMPLICI Osservazione L ordine degli elementi non ha nessuna importanza!! Due combinazioni sono diverse quando differiscono per almeno un elemento. Matematica 40 Docente: Ivan Zivko 20

21 Esempio: COMBINAZIONI SEMPLICI A 7 ELEMENTI Presi a 3 a 3 Matematica 41 COMBINAZIONI SEMPLICI! 7 0 A A 7 0 Matematica 42 Docente: Ivan Zivko 21

22 COMBINAZIONI SEMPLICI Esempio 2: dobbiamo scegliere due lettere tra A, B e C. Se non conta l ordine con cui si scelgono, quante possibilità abbiamo? Matematica 43 Teorema COMBINAZIONI SEMPLICI Le combinazioni semplici equivalgono alle disposizioni semplici togliendo però le varie permutazioni di ogni sequenza, in questo modo l ordine degli elementi non avrà più importanza. Matematica 44 Docente: Ivan Zivko 22

23 COMBINAZIONI SEMPLICI Teorema C( n, k) D( n, k) P( k) n! k!( n k)! Matematica 45 COMBINAZIONI SEMPLICI Osservazione Spesso si scrive: C ( n, k) n k Ogni combinazione di n elementi a k a k determina automaticamente una combinazione complementare di questi n elementi a n-k. Matematica 46 Docente: Ivan Zivko 23

24 COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI Definizione Si chiama combinazione con ripetizioni di n elementi diversi presi a k a k ogni insieme che si può formare scegliendo k elementi fra gli n dati, potendo uno stesso elemento figurare nella sequenza fino a k volte. Matematica 47 COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI Osservazione Due combinazioni sono diverse quando differisce qualche elemento o il numero delle volte che un elemento compare. Matematica 48 Docente: Ivan Zivko 24

25 COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI A 7 ELEMENTI Presi a 3 a 3 Matematica 49 COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI! Matematica 50 Docente: Ivan Zivko 25

26 COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI Teorema C *( n, k) n k k 1 ( n k 1)! k!( n 1)! Matematica 51 COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI Esempio 2: elenchiamo le combinazioni con ripetizione delle 3 lettere A, B e C prese a 2 a 2. Matematica 52 Docente: Ivan Zivko 26