LEZIONE 5: CALCOLO COMBINATORIO

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1 LEZIONE 5: CALCOLO COMBINATORIO web: tommei Ricevimento: Martedi Dipartimento di Matematica, piano terra, studio Ottobre 2012

2 Cos è il calcolo combinatorio? Il calcolo combinatorio è uno strumento che ci permette di contare i modi nei quali raggruppiamo, secondo opportune regole, elementi di un insieme finito. Esempi In quanti modi posso combinare 6 canzoni in gruppi di 4? E se le canzoni fossero 10? Oppure 20? Ad una corsa partecipano 15 persone. Quanti possibili podi possono verificarsi? Quanti sono gli ordini di arrivo possibili? Quanti sono i possibili pin di un bancomat formati da 5 cifre? Ho un gruppo di 7 persone e ne devo scegliere 3. In quanti modi posso farlo?

3 Disposizioni senza ripetizione Esercizio Quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con le cifre 2, 4, 6, 8, 9? Posso scegliere la prima cifra in 5 modi diversi, la seconda in 4 e la terza in 3: # {num. 3 cifre distinte} = = 60 Quello che abbiamo fatto è stato disporre un insieme finito di elementi in un certo numero di posti (numero di posti minore o uguale del numero di elementi) col vincolo che gli elementi non si potessero ripetere.

4 Disposizioni senza ripetizione Esercizio Quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con le cifre 2, 4, 6, 8, 9? Posso scegliere la prima cifra in 5 modi diversi, la seconda in 4 e la terza in 3: # {num. 3 cifre distinte} = = 60 Quello che abbiamo fatto è stato disporre un insieme finito di elementi in un certo numero di posti (numero di posti minore o uguale del numero di elementi) col vincolo che gli elementi non si potessero ripetere.

5 Disposizioni senza ripetizione Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama disposizione semplice degli n elementi, presi k a k, o di classe k (k n), un gruppo ordinato di k degli n elementi dell insieme. Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti, presi k a k, è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti, dei quali il primo è n: D n,k = n (n 1) (n 2)... (n k + 1)

6 Disposizioni senza ripetizione Esercizio Quanti sono i numeri di 3 cifre tutte distinte? Le cifre a nostra disposizione sono dieci (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e le disposizioni di 10 elementi di classe 3 sono date da: D 10,3 = = 720 Tra queste però figurano anche le sequenze di tre cifre la cui cifra delle centinaia è 0, che naturalmente non rappresentano un numero di tre cifre. Dalle disposizioni D 10,3 dobbiamo quindi sottrarre D 9,2 = 9 8 = 72 che rappresenta la cardinalità dell insieme dei numeri composti da due cifre distinte. La soluzione finale è quindi: D 10,3 D 9,2 = = 648

7 Disposizioni senza ripetizione Esercizio Quanti sono i numeri di 3 cifre tutte distinte? Le cifre a nostra disposizione sono dieci (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e le disposizioni di 10 elementi di classe 3 sono date da: D 10,3 = = 720 Tra queste però figurano anche le sequenze di tre cifre la cui cifra delle centinaia è 0, che naturalmente non rappresentano un numero di tre cifre. Dalle disposizioni D 10,3 dobbiamo quindi sottrarre D 9,2 = 9 8 = 72 che rappresenta la cardinalità dell insieme dei numeri composti da due cifre distinte. La soluzione finale è quindi: D 10,3 D 9,2 = = 648

8 Disposizioni con ripetizione Esercizio Quante sono le targhe di tre lettere formate usando l insieme {A,B,C,D,E}? Dobbiamo costruire targhe formate da tre lettere avendone a disposizione cinque e soprattutto, a differenza degli esercizi precedenti, potendo ripetere la stessa lettera (è ammessa, ad esempio, la targa BBB). Ragionando allo stesso modo, posso scegliere la prima lettera in 5 modi diversi, la seconda ancora in 5 e la terza pure in 5; il numero totale di targhe è allora dato da: # {targhe} = = 5 3 = 125

9 Disposizioni con ripetizione Esercizio Quante sono le targhe di tre lettere formate usando l insieme {A,B,C,D,E}? Dobbiamo costruire targhe formate da tre lettere avendone a disposizione cinque e soprattutto, a differenza degli esercizi precedenti, potendo ripetere la stessa lettera (è ammessa, ad esempio, la targa BBB). Ragionando allo stesso modo, posso scegliere la prima lettera in 5 modi diversi, la seconda ancora in 5 e la terza pure in 5; il numero totale di targhe è allora dato da: # {targhe} = = 5 3 = 125

10 Disposizioni con ripetizione Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama disposizione con ripetizione degli n elementi, presi k a k, con k intero qualunque, un gruppo ordinato di k degli n elementi, considerando che uno stesso elemento possa figurare nel gruppo fino a k volte. Il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi distinti, presi k a k, è uguale alla potenza di base n ed esponente k: D r n,k = n k

11 Permutazioni Esercizio Trova il numero di anagrammi che si possono formare con la parola zero. Con anagrammi intendiamo anche quelli privi di significato, ad esempio un possibile anagramma di zero è ezro. Abbiamo a disposizione quattro lettere e dobbiamo riposizionarle in quattro posti, naturalmente non ripetendole; di conseguenza il numero cercato è # {anagrammi} = = 24

12 Permutazioni Esercizio Trova il numero di anagrammi che si possono formare con la parola zero. Con anagrammi intendiamo anche quelli privi di significato, ad esempio un possibile anagramma di zero è ezro. Abbiamo a disposizione quattro lettere e dobbiamo riposizionarle in quattro posti, naturalmente non ripetendole; di conseguenza il numero cercato è # {anagrammi} = = 24

13 Permutazioni Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama permutazione di n elementi una disposizione semplice degli n elementi, presi n a n. In parole più semplici, le permutazioni di n elementi distinti di un insieme sono tutti i gruppi di n elementi formati con gli elementi dell insieme e che differiscono tra loro solo per l ordine degli elementi. Il numero delle permutazioni di n elementi è dato da P n = D n,n = n (n 1) (n 2) = n! Attenzione: il simbolo! indica il fattoriale del numero naturale n: n! è il prodotto dei primi n numeri naturali escluso lo zero. Se n = 1 o n = 0 si pone per definizione 1! = 1 e 0! = 1.

14 Combinazioni semplici Esercizio In Coppa Davis il Capitano non giocatore di una Nazionale ha a disposizione quattro tennisti (A,B,C,D) e ne deve scegliere due per comporre la coppia per il doppio. In quanti modi può scegliere? Ragioniamo in termini di disposizioni semplici: la prima persona può essere scelta in 4 modi, mentre la seconda in 3; così facendo però consideriamo distinte, ad esempio, le coppie AB e BA, mentre ai fini del gioco non lo sono. Dobbiamo quindi dividere il numero delle disposizioni semplici ottenute (4 3 = 12) per il numero delle coppie equivalenti dato da 2! = 2. Il risultato è quindi = 6 e ci fornisce il numero delle combinazioni semplici di 4 elementi presi a 2 a 2.

15 Combinazioni semplici Esercizio In Coppa Davis il Capitano non giocatore di una Nazionale ha a disposizione quattro tennisti (A,B,C,D) e ne deve scegliere due per comporre la coppia per il doppio. In quanti modi può scegliere? Ragioniamo in termini di disposizioni semplici: la prima persona può essere scelta in 4 modi, mentre la seconda in 3; così facendo però consideriamo distinte, ad esempio, le coppie AB e BA, mentre ai fini del gioco non lo sono. Dobbiamo quindi dividere il numero delle disposizioni semplici ottenute (4 3 = 12) per il numero delle coppie equivalenti dato da 2! = 2. Il risultato è quindi = 6 e ci fornisce il numero delle combinazioni semplici di 4 elementi presi a 2 a 2.

16 Combinazioni semplici Dato un insieme contenente n elementi distinti, si chiama combinazione semplice degli n elementi, presi k a k, o di classe k (k n), un qualunque gruppo di k degli n elementi dell insieme. Il numero di combinazioni semplici di n elementi, presi k a k, è dato da C n,k = D n,k k! = n (n 1) (n 2)... (n k + 1) k! ( ) n = k

17 Coefficiente binomiale Proprietà ( n k ) = Dalla convenzione 0! = 1 si ha ( ) n = 1 e 0 Formula di Stifel ( n k ( n k ) = ) ( n + k + 1 Proprietà di ricorrenza ( n k + 1 n! k! (n k)! ( n n ( n n k ) = ) ( n = k ) = 1 ) ( n + 1 k + 1 ) n k k + 1 )

18 La formula del binomio di Newton Esercizio Calcola lo sviluppo di (x + y) 6. È possibile rispondere rapidamente ed affermare che lo sviluppo di (x + y) 6 è: (x + y) 6 = x x 5 y + 15 x 4 y x 3 y x 2 y x y 5 + y 6 utilizzando il triangolo di Tartaglia (o di Pascal).

19 La formula del binomio di Newton Esercizio Calcola lo sviluppo di (x + y) 6. È possibile rispondere rapidamente ed affermare che lo sviluppo di (x + y) 6 è: (x + y) 6 = x x 5 y + 15 x 4 y x 3 y x 2 y x y 5 + y 6 utilizzando il triangolo di Tartaglia (o di Pascal).

20 Il triangolo di Tartaglia n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 Triangolo di Tartaglia rappresentato fino a n = 6, naturalmente è estendibile a qualsiasi n N.

21 Il triangolo di Tartaglia Come costruire il triangolo di Tartaglia

22 Sviluppo di binomi Qualunque siano i due numeri x e y e il numero naturale n si ha: ( ) n 0 ( n... + n 2 (x + y) n = ( x n n + 1 n k=0 ( n k ) x n k y k = ) ( ) x n 1 n y + x n 2 y ) ( ) ( ) x 2 y n 2 n + x y n 1 n + n 1 n y n

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