CALCOLO COMBINATORIO E DELLE PROBABILITÀ

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1 CALCOLO COMBINATORIO E DELLE PROBABILITÀ Progetto Giochi matematici Referente: prof. Antonio Fanelli Mail: fanelli.xy@gmail.com Sito Internet:fanelliant.wordpress.com

2 CALCOLO COMBINATORIO E DELLE PROBABILITÀ Il calcolo combinatorio studia i modi di scegliere, raggruppare e ordinare oggetti appartenenti a uno o più insiemi finiti, con l obiettivo di enumerare i possibili raggruppamenti o ordinamenti. Il calcolo delle probabilità studia la probabilità del verificarsi dei fenomeni casuali. (dall Enciclopedia Le Garzantine della Matematica)

3 CALCOLO COMBINATORIO E DELLE PROBABILITÀ Fattoriale Coefficiente binomiale Anagrammi e permutazioni Disposizioni semplici Combinazioni semplici Principio di inclusione esclusione Definizione classica di probabilità Probabilità di eventi indipendenti

4 FATTORIALE Il fattoriale di un numero naturale n, si definisce come n!=n (n-1) (n-2) Esempio: 5!= =120 In particolare si ha 1!=1 e 0!=1. È importante la seguente proprietà n!=n (n-1)!, valida per ogni numero naturale n>0.

5 COEFFICIENTE BINOMIALE Dati numeri naturali ne k, con n k,si definisce coefficiente binomiale C n,k come!( )!! k n k n k n = Esempio: n n n = = In particolare si ha 10 3!2! 3! 4 5 3!2! 5! 3 5 = = =

6 COEFFICIENTE BINOMIALE Dati numeri naturali ne k, con n k,si definisce coefficiente binomiale C n,k come!( )!! k n k n k n = È importante la seguente proprietà = k n n k n Esempio =

7 PERMUTAZIONI SEMPLICI E ANAGRAMMI Dati n elementi distinti, le permutazioni semplici sono tutti i gruppi formati dagli nelementi che differiscono per il loro ordine. Il numero P ndi permutazioni semplici di nelementi distinti è dato dal fattoriale di un numero naturale n, cioè P n =n! Esempio: determinare gli anagrammi (considerando anche parole che non hanno senso) della parola PADRE; questa parola è formata da 5 lettere distinte quindi il numero di anagrammi è dato da 5!=120

8 PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE E ANAGRAMMI Dati n elementi, di cui alcuni ripetuti, le permutazioni con ripetizione sono tutti i gruppi formati dagli nelementi che differiscono per l ordine in cui si presentano gli elementi distinti e la posizione che occupano gli elementi ripetuti. Se il primo elemento si ripete a volte, il secondo b volte,., in modo che a+b+..=n, allora il numero P ndi permutazioni con ripetizione di nelementi è dato da n! P n = con a + b +... = a! b! Esempio: determinare gli anagrammi (considerando anche parole che non hanno senso) della parola MAMMA; questa parola è formata da 2 lettere, la M (che si ripete 3 volte) e la A (che si ripete due volte); il numero degli anagrammi è dato da: P 5! 5 = = 3!2! 10 n

9 DISPOSIZIONI SEMPLICI Dati n elementi distinti, le disposizioni semplici di classe k sono tutti i gruppi formati da k elementi (con k n) scelti tra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l ordine degli elementi. Il numero D n,k di disposizioni semplici di n elementi distinti diclassekèdatoda n! D n, k = ( n k)! Esempio: Anna, Barbara, Cinzia, Dora, Elisa partecipano ad una gara di salto in lungo; quindi sono i possibili podi? Bisogna determinare tutte le terne tra cinque elementi che differiscono per elementi o per ordine; ABC, CDE, ACB sono ternediverse;illoronumeroèd 5,3 =60

10 COMBINAZIONI SEMPLICI Dati n elementi distinti, le combinazioni semplici di classe k sono tutti i gruppi formati da k elementi (con k n) scelti tra gli n, che differiscono per almeno un elemento (ma non per l ordine). Ilnumero C n,k di combinazioni semplici di n elementi distinti diclassekèdatoda n n! C n, k = k = k!( n k)! Esempio: vogliamo determinare tutte i possibili terni che è possibili fare al lotto, cioè scelti tra i numeri tra 1 e 90; notiamo che il terno e sono da considerarsi identici; il numerocercatoèdatoda C ! 3!87! ! 90,3 = = = = 3!87!

11 IL PRINCIPIO DIINCLUSIONE-ESCLUSIONE Dato un insieme finito A, indichiamo con IAI il numero dei suoi elementi. DatidueinsiemifinitiAeBsihaIA BI=IAI+IBI-IA BI Esempio: In una classe di 30 studenti, alcuni frequentano un corso di lingua straniera scelto tra inglese e francese; se 15 frequentano il corso d inglese e 12 quello di francese, e 5 entrambi i corsi, quanti frequentano almeno un corso di lingua straniera? Quanti non frequentano alcun corso? Se definiamo con A l insieme degli studenti che frequentano il corso d inglese, con B quelli che frequentano il corso di francese, allora IAI=15, IBI=12, IA BI=5, quindi IA BI= =22. Quindi 22 studenti frequentano almeno un corso di lingua straniera e, per differenza, 8 non frequentano nessun corso.

12 IL PRINCIPIO DIINCLUSIONE-ESCLUSIONE Dati tre insiemi finiti A, B e C si ha IA B CI=IAI+IBI+ICI-IA BI-IA CI-IB CI+IA B CI Esempio: In una classe di 30 studenti, alcuni frequentano un corso di lingua straniera scelto tra inglese, francese e spagnolo; se 10 frequentano il corso d inglese, 8 quello di francese, 7 quello di spagnolo, 3 frequentano sia il corso d inglese che di francese, 2 frequentano sia il corso d inglese che di spagnolo, 2 frequentano sia il corso di francese che di spagnolo e 1 tutti e tre i corsi, quanti frequentano almeno un corso di lingua straniera? Quanti non frequentano alcun corso? Se definiamo con A l insieme degli studenti che frequentano il corso d inglese, con B quelli che frequentano il corso di francese, C quelli che frequentano il corso di spagnolo, allora IAI=10, IBI=8, ICI=7, IA BI=3, IA CI=2, IB CI=2, IA B CI=1 quindi IA B CI= =19. Quindi 19 studenti frequentano almeno un corso di lingua straniera e, per differenza, 11 non frequentano nessun corso.

13 DEFINIZIONE CLASSICA DIPROBABILITÀ DatouneventoEsidefiniscelaprobabilitàdiEcome p(e)=(numero dei casi favorevoli)/(numero dei casi possibili) Esempio se E= Esce il numero 5 lanciando un dado, allora p(e)=1/6. Sihache0 p(e) 1. La probabilità che un evento E non si verifichi e data da 1-p(E). Esempio: se F= Esce un numero diverso da 5 lanciando un dado, allora p(f)=1-1/6=5/6.

14 PROBABILITÀ DIEVENTI INDIPENDENTI Se A e B sono eventi indipendenti, cioè che non si influenzano a vicenda allora la probabilità che si verifichino entrambi è data da p(a) p(b). Per esempio la probabilità che lanciando due volte un dado esca due volte il numero 5 si può vedere come il prodotto dei due eventi indipendenti A= Esce il numero 5 lanciando un dado la prima volta, B= Esce il numero 5 lanciando un dado la seconda volta, quindi p(a) p(b)=(1/6) (1/6)=1/36.

15 QUESITI PRESI DAI GIOCHI D ARCHIMEDE DEGLI ANNI SCORSI

16 1) Quanti sono gli anagrammi della parola PLINIO? In quanti di questi la L viene prima della N? Il numero di anagrammi della parola PLINIO è dato da 6!/2!=360. Di questi quelli in cui la L viene prima della N sono tantiquantiquelliincuilanvieneprimadellal. Quindi gli anagrammi della parola PLINIO in cui la L vieneprimadellansono180.

17 2) Quanti sono i numeri naturali diversi da 0, minori di 1000 e multipli di 2 o di 3? SiaAl insiemedeinumerinaturalidiversida0,minoridi 1000emultiplidi2.SihacheIAI=499. SiaBl insiemedeinumerinaturalidiversida0,minoridi 1000emultiplidi3.SihacheIBI=333. Allora A B è l insieme dei numeri naturali diversi da 0, minoridi1000emultiplisiadi2chedi3,quindidi6esi ha IA BI=166. L insieme A B sarà quindi l insieme dei numeri naturali diversida0,minoridi1000emultiplidi2odi3. Quindi IA BI= =666.

18 3) Qual è la probabilità che lanciando due dadi si ottengano due numeri primi? Possiamo vedere questo evento composto da due eventi indipendenti, cioè A= Esce un numero primo lanciando il primo dado, B= Esce un numero primo lanciando il secondo dado. Quindi p(a) p(b)=(3/6) (3/6)=9/36=1/4

19 4) ARCH. Biennio 2014

20 5) ARCH. Biennio 2014

21 6) ARCH. Biennio 2014

22 7) ARCH. Biennio 2013

23 8) ARCH. Biennio 2013

24 9) ARCH. Biennio 2012

25 10) ARCH. Biennio 2012

26 11) ARCH. Biennio 2012

27 12) ARCH. Triennio 2014

28 13) ARCH. Triennio 2013

29 14) ARCH. Triennio 2012

30 15) ARCH. Triennio 2011