Trasformata di Fourier

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1 Trasformata di Fourier Ø Risposta impulsiva e integrale di convoluzione Ø Rappresentazione di segnali nel tempo e in frequenza Ø Filtri idealmente e fisicamente realizzabili, stabilità Ø Trasformazioni istantanee (senza memoria) Ø Convoluzione e correlazione Ø Definizione di trasformata di Fourier e di an@ trasformata Ø Proprietà della trasformata di Fourier Ø Trasformata di Fourier di alcuni segnali 1

2 Risposta impulsiva e integrale di convoluzione Cosa succede se in ingresso ad un sistema si invia un impulso di Dirac? Si oeene la risposta impulsiva del sistema! Sistema generico Se il sistema è permanente la risposta impulsiva non dipende da τ. Se il sistema è anche lineare si ha Mol@plicando per dτ e integrando si oeene 2

3 Risposta impulsiva e integrale di convoluzione Per la proprietà del campionamento del Dirac, il primo membro altro non è che x(t), quindi Da@ quindi due segnali h(τ) e x(τ) nel dominio τ, l integrale in cui il primo segnale viene ribaltato e traslato dell intervallo t e poi mol@plicato per il secondo è demo integrale di convoluzione L uscita di un sistema lineare e permanente (filtro) può essere calcolata come integrale di convoluzione tra l ingresso e la risposta impulsiva del sistema stesso. 3

4 Rappresentazione di segnali nel tempo e in frequenza 4

5 Rappresentazione di segnali nel tempo e in frequenza 5

6 Rappresentazione di segnali nel tempo e in frequenza 6

7 Rappresentazione di segnali nel tempo e in frequenza 7

8 Rappresentazione di segnali nel tempo e in frequenza 8

9 Filtri idealmente e fisicamente realizzabili, stabilità Se h(t) è reale filtro idealmente realizzabile (IR) Se un filtro è tale che filtro fisicamente realizzabile (FR) vale il principio di causalità Se per un segnale in ingresso limitato l uscita assume valori illimita@ sistema è instabile. Se ciò non avviene il sistema è stabile C.N.E.S. affinché un filtro sia stabile è che la sua risposta impulsiva h(t) sia impulsiva 9

10 Filtri idealmente e fisicamente realizzabili, stabilità Se h(t) è reale filtro idealmente realizzabile (IR) Se un filtro è tale che filtro fisicamente realizzabile (FR) vale il principio di causalità Se per un segnale in ingresso limitato l uscita assume valori illimita@ sistema è instabile. Se ciò non avviene il sistema è stabile C.N.E.S. affinché un filtro sia stabile è che la sua risposta impulsiva h(t) sia impulsiva 10

11 Trasformazioni istantanee (senza memoria) Filtro: uscita è legata al segnale di ingresso tramite la risposta impulsiva Le trasformazioni istantanee sono quelle tali che Ex. Trasformazione istantanea e permanente Ex. Trasformazione istantanea e permanente e lineare 11

12 Convoluzione e correlazione In generale, da@ due segnali x(t) e y(t), di cui almeno uno impulsivo, si definisce l integrale di convoluzione come La correlazione (crosscorrelazione o intercorrelazione) tra x(t) e y(t), di cui almeno uno impulsivo, è definita come 12

13 Convoluzione e correlazione Teorema Teorema Al contrario della convoluzione, per la correlazione non vale la proprietà commuta@va. Se y(t) = x(t) si parla di autocorrelazione Proprietà di simmetria coniugata 13

14 Convoluzione e correlazione Se il segnale x(t) è reale, la funzione di autocorrelazione è una funzione reale pari: Cosa si oeene calcolando l autocorrelazione in t = 0? L autocorrelazione calcolata nell origine è pari all energia del segnale 14

15 Convoluzione e correlazione Disuguaglianza di Schwartz Il segno = vale solo nel caso in cui x(t) = y(t) c. Calcoliamo perciò 15

16 Convoluzione e correlazione Analogamente, per l autocorrelazione si ha Essendo l energia una quan@tà posi@va si oeene Il modulo dell autocorrelazione di un segnale è limitato superiormente dal valore dell autocorrelazione nell origine. 16

17 Convoluzione e correlazione Si definisce energia incrociata di due segnali la quan@tà Da questa si ricava il coefficiente di crosscorrelazione per segnali reali il coefficiente di crosscorrelazione è compreso tra -1 e 1 è indice della somiglianza di due segnali 17

18 Convoluzione e correlazione Correlazione per segnali di potenza Valgono ancora le proprietà Ed in par@colare per i segnali di potenza vale la proprietà della simmetria coniugata Il coefficiente di crosscorrelazione diventa, per i segnali di potenza, pari a 18

19 Definizione di trasformata di Fourier e di ank trasformata Un segnale non periodico può essere considerato come un segnale periodico avente T e di conseguenza f 0 0. La serie di Fourier può essere generalizzata al caso non periodico, sos@tuendo la sommatoria con l integrale. Trasformata di Fourier AnKtrasformata di Fourier 19

20 Definizione di trasformata di Fourier e di ank trasformata 20

21 Proprietà della trasformata di Fourier L an@trasformata di Fourier ha le stesse proprietà della trasformata di Fourier. Ad una funzione corrisponde una sola trasformata di Fourier e viceversa (tranne che nel caso di funzioni discon@nue che assumono valori diversi solo in pochi pun@). La t.d.f. è un operatore lineare Cambio di scala Traslazione nel tempo 21

22 Proprietà della trasformata di Fourier Traslazione in frequenza La per una sinusoide nel dominio del tempo (e j2πf0t ) corrisponde ad una traslazione nel dominio delle frequenze. Questa proprietà è il fondamento matema@co della modulazione di ampiezza nella trasmissione radio analogica. Alla mol@plicazione nel tempo corrisponde la convoluzione in frequenza e viceversa La trasformata di Fourier di una funzione reale e pari è reale e pari. La trasformata di Fourier di una funzione reale e dispari è immaginaria e dispari. 22

23 Proprietà della trasformata di Fourier La trasformata di Fourier della derivata di un segnale rispemo al tempo `e la trasformata del segnale per j2πf. Derivazione La trasformata di Fourier dell integrale di un segnale rispemo al tempo `e la trasformata del segnale divisa per j2πf. Integrazione 23

24 Trasformata di Fourier di alcuni segnali Trasformata di Fourier della funzione remangolo 24