Filtri. Telecomunicazioni per l Aerospazio. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 1

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1 Filtri P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 1

2 L impulso: definizione L impulso (detto anche delta di Dirac) può essere definito (tralasciando il rigore matematico) come un rettangolo di base T e altezza 1/T quando T tende a zero: L impulso e dunque un segnale localizzato nell origine con base infinitesima, ampiezza infinita, ma area (integrale) unitaria: P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 2

3 L impulso: proprietà - Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso e uguale al valore del segnale in t=0 per l impulso stesso - Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di e uguale al valore del segnale in t=per l impulso stesso: x(t)t x()t - L integrale di un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di e uguale al valore del segnale in t=: P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 3

4 Rappresentazione grafica dell impulso P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 4

5 PROPRIETA CAMPIONATRICE dell IMPULSO P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 5

6 Definizione di sistema Un sistema e un dispositivo che modifica un segnale x(t), detto ingresso, generando il segnale y(t), detto uscita. In termini analitici il sistema si rappresenta per mezzo di un generico operatore matematico indicato con O[.]. che trasforma il segnale d ingresso x(t): Il risultato delle operazioni matematiche eseguite sull ingresso e il segnale d uscita y(t). P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 6

7 Sistemi Lineari Lineare: quando l uscita generata dalla combinazione lineare di due o piu ingressi e uguale alla combinazione lineare delle uscite che sarebbero state generate separatamente dai singoli ingressi. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 7

8 Sistemi Tempo-Invarianti Tempo Invariante (o permanente ): quando l uscita generata da un segnale ritardato e uguale all uscita generata dal segnale originale, ritardata della stessa quantità. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 8

9 Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI) Sistemi LTI: sistemi che sono allo stesso tempo Lineari e Tempo Invarianti Sistemi Lineari Sistemi LTI Sistemi Tempo-Invarianti P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 9

10 Risposta Impulsiva Risposta Impulsiva: e l uscita del sistema quando l ingresso e l impulso. Usualmente indicata con il simbolo h(t) Se il sistema e tempo-invariante (permanente), la forma della risposta impulsiva non dipende dall istante in cui si applica l impulso. Quando l ingresso e un impulso anticipato o ritardato l uscita e uguale ad h(t) anticipata o ritardata: Se il sistema e anche lineare, nota la risposta impulsiva e possibile calcolare l uscita del sistema quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi: P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 10

11 Segnale come combinazione lineare di impulsi Un qualsiasi segnale x(t) puo essere rappresentato come somma integrale di impulsi: P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 11

12 Convoluzione Ricordando che: a) Nota la risposta all impulso, e possibile calcolare l uscita di un sistema LTI quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi b) Un qualsiasi segnale x(t) puo essere rappresentato come somma integrale di impulsi Ne segue che: * = simbolo della convoluzione uscita = convoluzione tra ingresso e risposta all impulso del sistema LTI integrale di convoluzione (o semplicemente convoluzione) P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 12

13 Calcolo dell integrale di convoluzione L integrando e il prodotto tra il segnale x() e la risposta all impulso h() ribaltata in traslata di t (verso destra se t >0, verso sinistra se t <0) P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 13

14 Esempi di calcolo della convoluzione (I) P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 14

15 Esempi di calcolo della convoluzione (II) P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 15

16 Esempi di calcolo della convoluzione (III) P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 16

17 Proprietà della convoluzione Dalla definizione di sistemi LTI si deducono le seguenti proprietà della convoluzione: P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 17

18 Sistemi L.T.I. causali (I) Definizione: Un sistema L.T.I. è detto causale se l uscita y(t) per un t=t, dipende dai valori dell ingresso x(t) solo per valori della variabile tt. La condizione di causalità è molto importante se la variabile indipendente è il tempo: in questo caso un sistema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse infatti il sistema sarebbe in grado di predire il futuro. Condizione da rispettare per garantire la causalità: P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 18

19 Sistemi L.T.I. causali (II) Talvolta si utilizzano risposte impulsive del tipo: Questa risposta impulsiva non è causale: puo essere resa causale attraverso opportuni troncamenti (nel tempo, se h(t) si estende da - a +) e ritardi. Utilizzare h(t) invece che h1(t) significa trascurare (cioe sottintendere) i ritardi necessari a rendere causale la risposta all impulso. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 19

20 Risposta in frequenza dei sistemi LTI (I) Se il segnale d ingresso di un sistema Lineare Tempo-Invariante (LTI) e un esponenziale complesso l uscita sara ancora un esponenziale complesso con la stessa frequenza, ma con ampiezza e fase modificate. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 20

21 Risposta in frequenza dei sistemi LTI (II) L ampiezza e la fase iniziale dell uscita dipendono da H(f). H(f): denominata Risposta in frequenza o Funzione di Trasferimento: E la funzione della frequenza che descrive come vengono modificate ampiezza e fase di un esponenziale complesso quando passa attraverso un sistema LTI. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 21

22 Funzione di trasferimento e Trasformata di Fourier La risposta in frequenza H(f) e una funzione complessa della frequenza che dipende solo dalla risposta all impulso del sistema h(t). L operatore che consente di ottenere la risposta in frequenza H(f) a partire dalla risposta all impulso del sistema h(t), viene detto trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier puo essere calcolata per un generico segnale x(t), non solo per la risposta all impulso di un sistema LTI: P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 22

23 Segnali come somma di esponenziali complessi La trasformata Inversa di Fourier ha la seguente interpretazione: un qualsiasi segnale x(t) puo essere scomposto nella somma (integrale) di esponenziali complessi le cui ampiezze (infinitesime) e fasi iniziali in funzione della frequenza sono date dalla trasformata di Fourier X(f) : P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 23

24 Risposta in frequenza di sistemi reali Se il sistema LTI ha risposta all impulso h(t) reale, la risposta in frequenza H(f) e una funzione con simmetria complessa coniugata: H(f) = H*(-f) (come si verifica facilmente dalla definizione di H(f)). Dunque il modulo di H(f) e pari (simmetrico rispetto all origine) e la fase di H(f) e dispari (antisimmetrica rispetto all origine). P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 24

25 Risposta in frequenza di sistemi reali (II) Sistemi LTI: sistemi che sono allo stesso tempo Lineari e Tempo Invarianti P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 25

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29 Sistemi LTI: legame ingresso-uscita in frequenza - Se l ingresso e un esponenziale complesso x(t) = A exp{ j 2f t }, l uscita e y(t)= H(f) A exp{ j 2f t } -Un generico segnale x(t) puo essere scomposto nella somma (integrale) di esponenziali complessi (di ampiezza infinitesima) del tipo X(f) exp{ j 2f t } df -L uscita y(t) di un sistema LTI per un generico segnale d ingresso x(t) e data dalla somma (integrale) di esponenziali complessi H(f) X(f) exp{ j 2f t } df - L uscita y(t), come tutti i segnali, puo essere scomposta nella somma di esponenziali complessi del tipo Y(f) exp{ j 2f t } df Quindi: Questo risultato corrisponde ad una importante proprieta della trasformata di Fourier: la trasformata della convoluzione y(t) = h(t)* x(t) e il prodotto delle trasformate Y( f )H( f )X ( f ) P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 29

30 TRASFORMATA DI FOURIER dell IMPULSO P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 30

31 TRASFORMATA DI FOURIER dell IMPULSO P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 31

32 Sintesi caratterizzazione filtri Risposta Impulsiva (dominio del tempo): Uscita del filtro in risposta a un ingresso di tipo delta di Dirac; Risposta in frequenza Funzione di trasferimento (dominio della frequenza) Trasformata di Fourier della risposta impulsiva; Risposta del filtro ad un ingresso esponenziale è pari allo stesso esponenziale pesato da H(f 0 ). (t) e j2f 0t x(t) X(f) LTI Filtro h(t) H(f) y(t)=h(t)*(t)=h(t) Y(f)=H(f)1=H(f) Y(f)=H(f 0 ) e j2f 0t y(t)=x(t)*h(t) Y(f)=X(f)H(f) P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 32

33 Richiamo filtri ideali Filtro passa-basso (LPF: Low Pass Filter) H(f) 1 -B B f Filtro passa-alto (HPF: High Pass Filter) H(f) 1 -B B f H H f f f f f f B B Il filtro lascia passare inalterate le basse frequenze [0 B] ed elimina le alte frequenze. B B Il filtro lascia passare inalterate le alte frequenze [B ) ed elimina le basse frequenze. Filtro passa-banda (BPF: Band Pass Filter) -B 2 H(f) -B 1 B 1 1 B 2 P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 33 H f B 1 f f f B B B Il filtro lascia passare inalterate le frequenze nella banda passante [B 1 B 2 ] ed elimina le frequenze al di fuori di tale banda

34 Filtri Tutti i segnali devono essere, in varia misura, condizionati dai filtri, prima di essere trasmessi, elaborati o registrati in forma analogica o digitale. Durante e dopo l'amplificazione il filtro provvede a trattare il segnale con diversi scopi: Separare il segnale utile dal rumore Eliminare segnali non desiderati mescolati a quello utile Eliminare le frequenze in eccesso alla banda utile del segnale biologico. Eliminare frequenze molto basse (anche la corrente continua) Caratteristiche fondamentali dei filtri Frequenza di taglio ( -3dB, cutoff frequency) La frequenza di taglio o di cutoff (-3dB) è la frequenza alla quale l'ampiezza del segnale in uscita dal filtro è ridotta a 0,7071 volte l'ampiezza del segnale in ingresso. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 34

35 Tipo di filtro (I) Un filtro passa-basso (low-pass) elimina tutte le armoniche a frequenza alta e lascia passare quelle inferiori alla frequenza di taglio (cut frequency). Un filtro passa-alto (high-pass) elimina le armoniche al di sotto della frequenza di taglio. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 35

36 Tipo di filtro (II) Un filtro passa-banda elimina le armoniche inferiori e superiori ad una determinata banda di frequenze. Un filtro a reiezione di banda (notch) elimina solamente le armoniche all'interno di una determinata banda e lascia passare quelle esterne. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 36

37 Tipo di filtro (III) Ordine del filtro. Un semplice filtro costituito da un condensatore e da un resistore è detto filtro di primo ordine. Mettendo in serie vari filtri di primo ordine, se ne costruiscono di ordine superiore. Più è elevato l'ordine del filtro e maggiore è l'eliminazione delle armoniche fuori banda. Nel filtro di primo ordine l'attenuazione del segnale oltre la frequenza di taglio aumenta di 6 db/ottava, e cioè 20 db/decade. Struttura del filtro: Attivo, passivo, digitale. I filtri attivi sono costruiti con resistori, condensatori ed amplificatori operazionali. I filtri passivi usano solamente resistori e condensatori (eventualmente anche induttori). I filtri attivi hanno il vantaggio di non costituire un carico significativo per la sorgente del segnale e di non attenuarlo. I filtri digitali sono implementati con del software: consistono in una serie di calcoli matematici che processano i dati. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 37

38 Tipo di filtro (IV) Con i filtri attivi possono essere implementate diverse funzioni di trasferimento. I filtri più comuni sono:ellittico, Cauer, Chebyshev, Bessel e Butterworth.Ciascuno di questi presenta caratteristiche particolari per quanto riguarda la forma della curva di risposta, il ritardo di fase e l'attenuazione fuori banda. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 38

39 Tipo di filtro (V) Terminologia dei filtri. Attenuazione L'attenuazione è il reciproco del guadagno. Un'attenuazione di 10 corrisponde ad un guadagno di 0,1. Banda passante (Pass Band ) La banda passante è la regione di frequenze al di sotto della frequenza di taglio. Banda soppressa (Stop Band ) La banda soppressa è la regione di frequenze al di sopra della frequenza di taglio. Spostamento di fase (Phase Shift ) Le fasi delle varie componenti sinusoidali del segnale di ingresso sono spostate dal filtro in varia misura dai vari tipi di filtro. I filtri che hanno piccoli spostamenti di fase producono piccole distorsioni nel segnale. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 39

40 Tipo di filtro (VI) Ottava (octave ) Un'ottava è l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è doppia della minore. Decade (decade ) La decade è l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è dieci volte la minore. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 40

41 Tipo di filtro (VII) Overshoot Quando lo spostamento di fase nella banda passante non è linearmente dipendente dalla frequenza della componente sinusoidale il segnale filtrato presenta overshoot. In questo caso la risposta ad un impulso rettangolare è distorta. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 41

42 Decibels (db) Voltaggio Potenza Decibels Rapporto di voltaggio Rapporto di potenza 3 db 1,414:1 2:1 6 db 2:1 4:1 20 db 10:1 100:1 40 db 100: :1 60 db 1.000: :1 66 db 2.000: :1 72 db 4.000: :1 80 db : :1 100 db : :1 120 db : :1 P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 42

43 Ordine Poli Ordine Pendenze (slope) 1 polo 1 ordine 6 db/ottava 20 db/decade 2 poli 2 ordine 12 db/ottava 40 db/decade 4 poli 4 ordine 24 db/ottava 80 db/decade 8 poli 8 ordine 48 db/ottava 160 db/decade P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 43

44 Esempi di filtri Filtro passa-basso Filtro passa-alto f 1 2πRC P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 44

45 Filtri reali (I) Filtri reali possono essere ottenuti mediante circuiti con elementi resistivi, capacitivi e induttivi Resistore (R) v t R it V f R I f Condensatore (C) i t C dv dt t I 1 j2fc f j2fc V f V f I f Induttanza (L) v t t di L dt V f j2fl If P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 45

46 Filtro RC passa-basso v in (t) v out (t) V V in out f f 1 R 2 1 I j2fc j fc f I f Funzione di trasferimento H LPF f V V out in f f 1 j2fc R 1 j2fc 1 1 j2frc H arg f 2 1 2fRC H f arctg2frc LPF LPF 1 0 Frequenza di taglio del filtro (banda passante) f T H LPF f T f T 1 2RC H LPF (f) (db) H LPF (f) (db) f/f t f/f t P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 46

47 Filtro RC passa-alto v in (t) v out (t ) V V in out f f 1 R I j2fc R I f f Funzione di trasferimento H HPF f V V out in f f Frequenza di taglio del filtro R j2frc R 1 j2fc 1 j2frc H arg HPF f 2 f RC 2fRC H f signf arctg2frc HPF f T H HPF f T f T 1 2RC H HPF (f) (db) f/f t P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 47

48 Filtro RLC passa-banda H v in (t) Funzione di trasferimento BPF f V V out in 1 f f R R j2fl 1 j2fc j2frc 2 2f LC j2frc Frequenza di risonanza e banda passante f 0 H BPF f f0 f H f f f BPF 0 Q v out (t) H BPF f H BPF (f) (db) V V in out f f 2 f RC j2fl j R I f 1 R I 2fC 1 f 0 2 LC 4f L 0 Q R f f LC 2fRC 1 f f f/f f f Q f f Q 0 0 P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 48

49 Esempi di filtri di pratico utilizzo Filtro di smoothing Filtri che eseguono medie mobili (comportamento di tipo passa-basso) tipicamente utilizzati per eliminare le fluttuazioni veloci su dati misurati ed evidenziare da tali dati l andamento medio. Filtro a spillo per rimozione interferenza Filtri che presentano funzioni di trasferimento tali da far transitare il segnale utile e eliminare eventuali segnali interferenti (zeri della funzione di trasferimento posti sulle frequenze interessate dai segnali interferenti). Filtro per la sintonizzazione di un canale radiofonico Filtri passa-banda accordati intorno ad un data frequenza con banda passante tale da far passare unicamente il segnale audio di interesse e eliminare tutto il resto. P. Lombardo DIET, Univ. di Roma La Sapienza Filtri - 49