ANALISI DI FOURIER. Segnali a tempo continuo:

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1 ANALISI DI OURIER Segnali a tempo continuo: Segnali aperiodici Segnali periodici Introduzione alla Trasformata Continua di ourier - Derivazione intuitiva della TC a partire dallo Sviluppo in Serie di ourier - Spettro di ampiezza e fase - Proprietà TC Estensione della TC a segnali periodici Campionamento dei segnali - Analisi nel dominio del tempo e della frequenza

2 Introduzione alla Trasformata Continua di ourier Un segnale aperiodico si può rappresentare come la sovrapposizione di componenti sinusoidali di ampiezza infinitesima e di frequenza variabile con continuità tra - e + Antitrasformata o Trasformata Inversa dove, la trasformata Continua di ourier s( t S( ) f + + j2πft = S( f ) e df j2πft ) = s( t ) e dt È possibile arrivare a dimostrarlo in modo intuitivo andando a vedere come cambia lo spettro di n segnale periodico, quando il periodo viene fatto tendere all infinito, ovvero viene reso aperiodico.

3 Introduzione alla Trasformata Continua di ourier s(t) = +# $ "# S( f )! e j2! ft df " s(t) = S n e j2! nt/t # 0 n=!" +# $ "# S( f ) = s(t)! e " j2! ft dt S = 1 t +T 0 0 " s(t)e! j2! nt/ T 0dt n T 0 t 0

4 Introduzione alla Trasformata Continua di ourier Consideriamo un treno di impulsi s p (t) S p (t) -T/2 +T/2 T 0 Dove s p (t) può essere scritto come ( t) = + n= t nt rect T 0 sp rect(t/t) -T/2 +T/2 L impulso centrato in zero può essere pensato come il limite per T 0 che tende a + di s p (t)

5 - n = 0 Introduzione alla Trasformata Continua di ourier S 0 = 1 T 0 +T / 2 "!T / 2 Adt = AT T 0 È il valore medio del segnale. - n 0 S n = 1 +T /2 Ae! j2!nt / T 0 " dt = 1 # A e! j2!nt / T & +T / 2 0 % ( T 0!T /2 T 0 %! j2!n / T $ 0 ( '!T / 2 ) T, ) = A!2 jsin +!n. * T 0 - = AT sin!n T, +. * T 0 - T 0! j2!n / T 0 T 0!n T = AT ) sinc n T, +. T 0 * T 0 - T 0! j!n T + j!n T = A T e 0 T! e 0 = T 0! j2!n / T 0 N.B. in realtà la sinc(n) è definita anche per n=0

6 Introduzione alla Trasformata Continua di ourier Visualizziamo i coefficienti dello sviluppo in serie di ourier del treno di impulsi rettangolari s p (t) al variare di T 0 a parità di T. T 0 =2T T 0 =4T T 0 =8T Si nota come l ampiezza dei coefficienti diminuisce all aumentare del periodo, come si evince dalla formula dei coefficienti S n = T T 0 T 0 2 s p ( t) e j2π nt/t 0dt

7 Introduzione alla Trasformata Continua di ourier I coefficienti sono stati visualizzati rispetto a n: ad ogni n corrisponde la frequenza f n =n/ T 0 e quindi, visto che T 0 differisce in ciascun grafico, le frequenze per ogni n sono differenti T 0 =kt con k=2,4,8. È possibile visualizzare lo spettro in funzione di f=n/ T 0 =n/(kt). Inoltre, se vogliamo svincolarci dalla particolare scelta di T, possiamo usare la frequenza normalizzata ft. Dal confronto degli spettri si vede come all aumentare di T 0 le righe si infittiscano: la differenza tra due valori successivi nei quali sono definiti gli S n è Δf=(n+1)f 0 -nf 0 =f 0 Nel limite T 0 questa differenza diventa infinitesima, df, ed è possibile definire una variabile continua f=nf 0

8 Introduzione alla Trasformata Continua di ourier j2 ( t) = S e Il segnale s p (t) può essere scritto come + πnf s 0 p n n= È possibile dimostrare gli S n si possono scrivere come S n =f 0 S(nf 0 ), dove S(f) è stata definita precedentemente, e che, al limite di T 0 gli S n si possono scrivere come S n =S(f)df A questo punto la sommatoria dello sviluppo in serie di ourier può essere interpretata come la somma di infinite funzioni oscillanti complesse date da S( f ) df j2πft e t Queste sono dei fasori di ampiezza infinitesima S(f) df e fase pari a 2π ft + θ( f ) con θ(f) fase di S(f) Il processo al limite comporta la trasformazione della sommatoria nell integrale, ottenendo la formula + s( t j2πft ) = S( f ) e df

9 Introduzione alla Trasformata Continua di ourier Con S(f) si indica la Trasformata Continua di ourier (TC) che identifica univocamente il segnale aperiodico s(t) Se si scrive S jθ ( f ) ( f ) = S( f ) e Possiamo definire lo spettro di ampiezza S(f) e lo spettro di fase θ(f) È possibile usare anche la rappresentazione parte reale parte immaginaria ( f ) = R( f ) ji( f ) S +

10 Introduzione alla Trasformata Continua di ourier Come esempio calcoliamo la TC dell impulso rettangolare rect(t/t) S( f = + sin( πft) πf T sin( πft) πft + T T j2πft ( e ) j2 ft j2 ft j2 ft 1 + ) = π s( t) e dt = π rect( t / T ) e dt = π e dt = j2πf = + -T/2 = T sinc(ft) +T/2 / 2 / 2 T / 2 T 72 Essendo lo spettro reale è sufficiente un solo grafico per rappresentarlo. Si deve notare che all aumentare di T (impulso + lento), la sinc, e quindi il contenuto frequenziale si concentra alle basse frequenze. Sarà maggiore il contenuto alle alte frequenze al diminuire di T (impulso + veloce) =

11 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Vediamo cosa succede allo spettro se ritardiamo l impulso ad esempio di T/2. rect(t/t) " rect$ # t!t / 2 T % ' & -T/2 +T/2 +T

12 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Nelle rappresentazioni seguenti vengono mostrati gli spettri di ampiezza e fase delle TC dell impulso rettangolare senza ritardo (sinistra) e con ritardo (destra)

13 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Proprietà del ritardo s( t)! S ( f ) " y( t) = s( t # t 0 )! Y ( f ) =S( f )e # j2!t 0 f La trasformata di y(t) in modulo è uguale a quella del segnale non ritardato Il ritardo nel tempo comporta la somma alla fase di S(f) di un termine di fase lineare Quindi nel caso della rect vista precedentemente ritardata di T/2 S( f ) = T sinc(ft)e! j2! f T 2! j! ft = T sinc(ft)e

14 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Nel caso del impulso centrato attorno all origine, essendo la TC reale, la fase può valere π, π (numero negativo) o 0 (positivo). Il ritardo dello impulso di T/2 equivale ad aggiungere alla fase dello spettro precedente un termine lineare con f pari a -2πfT/2. La visualizzazione spezzata della fase in questo caso è dovuta alla visualizzazione tra [-π:π]. Si deve ricordare che, nel caso di segnali reali la fase risulta simmetrica rispetto all origine

15 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Di seguito elenchiamo alcune delle proprietà della TC Linearità La TC di una combinazione lineare di segnali è la combinazione lineare secondo gli stessi pesi, delle TC dei singoli segnali ( ) = a i x i ( t) s t N! i=1 con x i ( t) " S f N! ( ) = a i X i ( f ) i=1 " X i f ( ) #i

16 Linearità Proprietà della Trasformata Continua di ourier s(t) A x 1 (t) A = - x 2 (t) A -T +T s( t) = x 1 ( t)! x 2 ( t) t -T +T " S f ( ) = X 1 f ( )! X 2 f ( ) t -T +T t N.B. Andando avanti troveremo la trasformata di x 2 (t) e potremmo risolvere questa trasformata

17 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Proprietà della Derivazione Dato un segnale s(t) con TC pari a S(f), la derivata di s(t) ha come trasformata j2πfs(f) s( t) s(t)! S ( f ) " y( t) = ds ( t ) A dt! Y f A ( ) = j2! f S( f ) ds( t) dt -T/2 +T/2 t -T/2 +T/2 t -A

18 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Y ( f ) = j2! f S( f ) = j2! f AT sinc( ft ) = j2! f AT = j2! f TA sin (! ft )! ft = j2asin (! ft ) sin (! ft )! ft = s(t) A A ds( t) dt -T/2 +T/2 t -T/2 +T/2 t -A

19 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Proprietà di Integrazione (non completo) s( t)! S f valido se S(0)=0 ( ) " y( t) = s! t % #$ ( )d!! Y f ( ) = S ( f ) j2! f Proprietà di Integrazione s( t)! S ( f ) " y( t) = % s! t #$ ( )d!! Y f ( ) = 1 2! f ( )S 0 ( ) + S ( f ) j2! f

20 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Esempio di applicazione della proprietà di integrazione Vogliamo calcolare la trasformata di s(t) ma siamo più bravi a calcolare la trasformata della derivata s(t) y( t) = ds ( t ) A A/T dt -T +T t -T +T t -A/T Quindi se riusciamo a calcolare la trasformata di y(t), possiamo poi calcolare la trasformata di s(t) visto che t s( t) = y (!)d! #!"

21 Proprietà della Trasformata Continua di ourier A/T ( ) = ds ( t ) y t dt ( ) = A T rect t +T / 2 # y t! " T $ &' A % T rect! t 'T / 2 $ # & " T % -T +T -A/T t Y ( f ) = Asinc( ft )e j2! ft /2 ' Asinc( ft)e ' j2! ft /2 = = Asinc ft ' j! ft ( ) = Asinc ft ( ) e j! ft ' e ( ) j2sin (! ft ) Quindi applicando il teorema di integrazione ( ) = Y ( f ) S f j2! f = Asinc( ft )T = Asinc( ft ) sin (! ft )! ft j2sin (! ft ) j2! f = AT sinc 2 ( ft ) =

22 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Proprietà del Cambiamento di scala s( t)! S f ( ) " s!t ( )! 1! S # f & % ( $! ' con!! ", costante Con α >1 abbiamo una compressione temporale alla quale corrisponde un espansione frequenziale Con α <1 abbiamo un espansione temporale alla quale corrisponde una compressione temporale

23 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Proprietà del Cambiamento di scala! t $ x( t) = rect# & ' X f " T %! 2t $ y( t) = rect# & ' Y f " T % ( ) = Tsinc( ft )! ( ) = T 2 sinc # f T " 2 $ & %

24 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Proprietà di Dualità esempi ( ) = rect s t s( t)! t $ # & ' S f " T %! S f ( ) " S t ( ) ( ) = T sinc( ft ) s( t) = sinc( At)! S( f ) = s (" f ) = 1 A rect " f % # $ A! s # f ( ) & ( = 1 ' A rect # f & % ( $ A '

25 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Proprietà Traslazione in frequenza s( t)! S ( f ) " s( t)e j2! f 0t con f 0 costante! S ( f # f 0) Da questo si può introdurre il teorema della modulazione s( t)! S ( f ) " s( t)cos( 2! f o t)! S f + f 0 2 È stato ottenuto applicando la formula di Eulero al coseno ( ) + S( f # f 0 ) Questo teorema può spiegare la modulazione di ampiezza dove un segnale s(t) modula un segnale portante, ad esempio nelle radiofrequenze, permettendo la trasmissione di diversi segnali associati a diverse portanti

26 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Esempio sul teorema di modulazione! ( )rect# " s( t) = cos 2! 5t ( ) = 2sinc 2 ( f + 5 ) S f t 2 $ & % ( ) + 2sinc( 2( f! 5) ) 2 ( ) + sinc( 2( f! 5) ) = sinc 2( f + 5) La trasformata è ottenuta traslando la trasformata del segnale modulante in corrispondenza a f=5 e f=-5

27 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Proprietà della convoluzione date x( t)! X f " ( ) e y( t)! Y f ( ) z( t) = x( t) # y( t)! Z ( f ) = X ( f )Y ( f ) Dove la convoluzione è definita come z( t) = x( t)! y( t) = x (! ) y t "! # $ ( )d! = $ x t "! "# # "# ( ) y! ( )d!

28 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Convoluzione z( t) = x( t)! y( t) = x (! ) y t "! # $ ( )d! = $ x t "! "# # "# ( ) y! ( )d!

29 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Convoluzione z( t) = x( t)! y( t) = x (! ) y t "! # $ ( )d! = $ x t "! "# # "# ( ) y! ( )d!

30 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Convoluzione z( t) = x( t)! y( t) = x (! ) y t "! # $ ( )d! = $ x t "! "# # "# ( ) y! ( )d!

31 Proprietà della Trasformata Continua di ourier z( t) = x( t)! y( t) " Z ( f ) = X ( f )Y ( f )! =! =

32 Convoluzione e TC La convoluzione è un operazione di rilievo nell Analisi dei Segnali e Sistemi Viene utilizzata ad esempio per determinare il comportamento di sistemi ingresso-uscita Per alcuni sistemi, come i sistemi Lineari tempo invarianti, l uscita ad un ingresso è data dalla convoluzione tra una funzione caratteristica, detta risposta impulsiva, e l ingresso stesso x(t) h(t) z(t) z( t) = x( t)! h( t)

33 Convoluzione e TC Coefficiente di attenuazione del tessuto miocardico ad oscillazioni ultrasoniche alle diverse frequenze Il tessuto attenua maggiormente le oscillazioni a frequenze maggiori Questa è una descrizione in frequenza del tessuto: detta risposta in frequenza Nel tempo il comportamento viene descritto dalla risposta impulsiva Kudo, N. et al, Ultrasound attenuation measurement of tissue in frequency range MHz using a multi-resonance transducer Ultrasonics Symposium, Proceedings., 1997 IEEE, vol. 2:

34 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Proprietà del prodotto Es. ( ) = 1 B rect f # Z f date x( t) ( ) = sinc( Bt) s t! X f " ( ) e y( t)! Y f ( ) z( t) = x( t) y( t)! Z ( f ) = X ( f ) # Y ( f ) 2!" # $ = sinc ( Bt )sinc Bt! $ & ' 1 " B % B rect! # " f B $ & % ( ) = x( t) x( t) 1/B X(f) -B/2 -B/2 f

35 Proprietà della Trasformata Continua di ourier 1/B X(f) Z ( f ) = X ( f )! X ( f ) 1/B X(f) -B/2 +B/2 f -B/2 +B/2 f 1/B Z(f) -B +B f L operazione di moltiplicazione nel tempo ha causato l aumento della banda del segnale. La convoluzione di due segnali a banda limitata comporta la nascita di un segnale la cui banda è la somma delle due bande.

36 Proprietà della Trasformata Continua di ourier Diamo una seconda interpretazione dell operazione appena vista. L operazione nel tempo è una operazione non lineare. Astraendoci da questo caso particolare, è possibile dire che un operazione non lineare su un segnale, comporta la nascita di componenti frequenziali non presenti in precedenza Es. Il segnale a destra è ottenuto applicando la funzione modulo a quello di sinistra Per entrambi i segnali rispondere alle domande -qual è la freq. ondamentale del segnale? -qual è il valore medio del segnale? -quante sono le componenti necessarie per descrivere il segnale?

37 Estensione della TC a Segnali a Potenza finita Abbiamo visto che per Segnali a tempo continuo, periodici è possibile utilizzare lo Sviluppo in Serie di ourier Mentre per segnali a tempo continuo aperiodici si deve utilizzare la Trasformata Continua di ourier ma è possibile estendere anche a segnali a tempo continuo, periodici la Trasformata Continua di ourier Come?

38 Estensione della TC a Segnali a Potenza finita Tramite l introduzione della funzione generalizzata, delta di Dirac! ( x) 1 Questa funzione è definibile attraverso le sue proprietà x +" #! ( x! x 0 ) f ( x)dx = #! ( x 0! x) f ( x)dx = f x 0!" Proprietà campionatrice +"!" ( ) x #! (")d! = u x!" ( ) 1 u( x) x u( x) =! # " # $ # 1 per x>0 0.5 per x=0 0 per x<0

39 Vediamo la TC della delta di Dirac 1 ( ) =! t! f Estensione della TC a Segnali a Potenza finita!( f ) +# $ ( )e j2! ft dt = e j2! ft =1 t=0 "# f Quindi la delta di Dirac è composta da tutte le frequenze Sfruttando le proprietà della TC è possibile calcolare le Trasformate di Segnali a Potenza media finita Trasformata di una costante (sfruttando la propr. di dualità) A! ( t)! A " A! A! ( # f ) = A! ( f ) A A! ( f ) A t f

40 Estensione della TC a Segnali a Potenza finita Trasformata di una fasore (sfruttando la propr. di traslazione in frequenza e la trasformata della costante) Ae j2! f ot! A! ( f " f 0) A! ( f! f 0 ) A f 0 f Il fasore è un segnale periodico e rappresenta una funzione della base di ourier È costituito da una sola frequenza: questo giustifica il fatto che la TC è una delta di Dirac centrata nella frequenza specifica

41 Estensione della TC a Segnali a Potenza finita Dalla relazione precedente si può calcolare la TC delle funzioni seno e coseno s( t) = Acos( 2! f o t) = Ae! j2! f ot + Ae j2! f ot 2 " S ( f ) = A! ( f + f 0) + A! ( f! f 0 ) 2 S(f) A/2 A/2 -f 0 f 0 f

42 Estensione della TC a Segnali a Potenza finita Dalla relazione precedente si può calcolare la TC delle funzioni seno e coseno s( t) = Asin( 2! f o t) =!Ae! j2! f ot + Ae j2! f ot -A/2j S(f) A/2j 2 j " S f ( ) =!A! ( f + f 0) + A! ( f! f 0 ) A/2 S(f) A/2 2 j -f 0 f 0 f -f 0 f 0 f π/2!s( f ) f 0 -f 0 -π/2 f

43 TC applicata allo Sviluppo in Serie di ourier Possiamo ora calcolare la TC di un segnale periodico generico, una volta noto lo sviluppo in serie di ourier s t +" # T 0 $ S f ( ) = S n e j2!n n=!" t +" # n=!" ( ) = S! ' f! n n & T 0 Dove è stata utilizzata la proprietà di traslazione in frequenza e la linearità della TC Quindi la TC di un segnale periodico è costituita da delta centrate a frequenze multiple della frequenza f 0 La forma è analoga a quella dello sviluppo in serie ma il significato è differente -il dominio non è discreto, ma è continuo -al posto dei coefficienti abbiamo delle delta il cui peso è pari ai coefficienti di ourier alla stessa frequenza % ( * )

44 TC applicata allo Sviluppo in Serie di ourier Ad esempio, riportiamo le rappresentazioni dei Coefficienti dello Sviluppo in serie di ourier, in alto, e della TC del segnale periodico onda quadra