Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Recupero del 10 Settembre 2004

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1 Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Recupero del 10 Settembre 2004 Gli esercizi devono essere risolti solo sui ogli dei colori indicati. Per esiti e soluzioni si veda il sito web del corso: Per contattare il docente: nicoli@elet.polimi.it. Esercizio 1 (oglio azzurro): Filtraggio di segnali Si consideri il sistema rappresentato in gura con risposta all impulso h(t), costituito dalla cascata di tre sistemi con risposta all impulso: Il segnale x(t) in ingresso al sistema vale h 1 (t) = sinc 2 (t); h 2 (t) = 2000 sinc(t); h 3 (t) = (t 0:001): x(t) = cos(500t) + 4 sin(2600t + =4): 1. Calcolare la risposta in requenza H()del sistema complessivo. 2. Disegnare modulo e ase di H(). 3. Scrivere (giusti cando la risposta) se il sistema introduce distorsioni di ase e/o di ampiezza. 4. Calcolare il segnale y(t) all uscita del sistema. 5. Calcolare energia e potenza dei segnali x(t) ed y(t). 6. Come cambia l uscita y(t) se si utilizza il ltro con risposta all impulso g(t) = h(t=3) al posto del ltro h(t)? Si rappresenti gra camente la risposta in requenza G() del nuovo ltro. x(t) h 1 (t) h 2 (t) h 3 (t) y(t) h (t) Esercizio 2 (oglio verde): Codi ca PCM e trasmissione in banda-base Una otocamera acquisisce 10 otogra e in bianco e nero al secondo, ognuna composta da pixel. Il segnale PCM risultante viene trasmesso con un sistema 4PAM. Si ipotizza di usare impulsi di Nyquist a banda minima. Il canale, supposto ideale, introduce un attenuazione = 20 db e un rumore additivo gaussiano bianco con densità spettrale di potenza S w () = N 0 =2 = 110dBW/Hz. Si ipotizza di utilizzare un ltro adattato in ricezione. 1. Calcolare il numero di bit di quantizzazione dei livelli di grigio modo da garantire un rapporto segnalerumore di quantizzazione minimo SNR= 50dB. Ipotizzare per il segnale una densita di probabilita delle ampiezze uniorme tra 0 e Determinare il bit rate R b della sequenza PCM. 3. Calcolare la banda B del canale necessaria per la trasmissione del segnale PCM. 4. Determinare la potenza di trasmissione necessaria per garantire una probabilità di errore P b (E) = (se lo si ritiene necessario, si puo trascurare il coe ciente moltiplicativo uori dalla unzione Q(.)). 5. Calcolare il numero di bit errati in un ora di trasmissione. 6. Scrivere e rappresentare gra camente la orma d onda trasmessa g(t).

2 7. Si supponga di voler trasmettere a divisione di tempo (TDMA) due segnali con le stesse caratteristiche e la medesima codi ca PCM sopra considerate (numero di livelli di quantizzazione come al punto 1). Volendo mantenere la stessa occupazione di banda B del punto 3, calcolare il numero di livelli PAM necessari per la trasmissione. Esercizio 3 (oglio bianco - 6 punti): Matlab Il segnale y(t) = x(t) + w(t) + k(t) è campionato con passo di campionamento dt = 1 ms nell intervallo di osservazione T = 1 s ed e la somma di: un segnale x(t) dato dalla somma di una sinusoide di di requenza 1 = 20 Hz e ampiezza A 1 = 2 V e di una sinusoide di requenza 2 = 100 Hz e ampiezza A 2 = 1 V; un processo casuale bianco w(t), con distribuzione gaussiana a media nulla e varianza 2 w = 0:5. un processo casuale k(t), con distribuzione gaussiana e unzione di autocorrelazione triangolare di durata 5 ms e ampiezza massima unitaria. Si scriva il codice MATLAB per: 1. Simulare i segnali x(t) e w(t) (memorizzandoli nei rispettivi vettori x e w) 2. Simulare il segnale k(t) = v(t) u(t) (avente unzione di autocorrelazione triangolare) convolvendo un processo casuale bianco u(t) con distribuzione Gaussiana a media nulla con un opportuna risposta all impulso v(t). 3. Costruire il ltro passabanda b p (t), con requenza centrale = 100 Hz, modulando un ltro avente risposta all impulso triangolare (di durata T h = 50 ms) con una cosinusoide di opportuna requenza. 4. Filtrare il segnale y(t) con il ltro b p (t), simulando la convoluzione tempo-continua in Matlab. 5. Rappresentare gra camente il segnale ltrato z(t).

3 H() Frequenza [Hz] radianti ase[h()] Frequenza [Hz] Soluzione esercizio 1 1. La risposta in requenza complessiva è il prodotto delle risposte in requenza parziali H 1 () = tri H 2 () = 2 rect j2 H 2 () = exp e quindi e H() = 2 tri rect exp j2 : 2. Il segnale tri va da - Hz a Hz e viene nestrato dal rettangolo, che va da -500 Hz a 500 Hz. Il modulo della risposta in requenza complessiva e 2tri(/) nell intervallo compreso tra 500Hz e 500Hz. La ase e lineare e vale [ ]. 3. Il sistema introduce distorsioni di ampiezza poichè non ha modulo costante, mentre non introduce distorsioni di ase, poichè ha ase lineare. 4. Essendo il sistema LTI reale, segnali sinusoidali applicati all ingresso vengono modi cati in modulo e ase all uscita secondo la relazione dove y(t) = H(0)3 + jh(250)j2 cos[2250t + 6 H(250)] + jh(600)j4 sin[2600t + =4 + 6 H(600)] H(0) = 2 jh(250)j = 1:5; 6 H(250) = 2250= jh(600)j = 0; 6 H(600) = 2600= Si ottiene: y(t) = cos[2250t =2] = sin(2250t) 5. Sono segnali a potenza nita, l energia e in nita e la potenza vale: P x = [potenza costante+potenza sinusoidi] = =2 + 42=2 = 19 P y = [potenza costante+potenza sinusoide] = =2 = 40:5

4 6. La risposta in requenza viene compressa di un attore 3 nelle requenze, quindi la banda si dimezza e passa solo la costante: y(t) = 18 Soluzione esercizio SNR = 6K 50dB! K 8:3! K = 9 [bit] R b = 10[otogrammi/s] [pixel] 9[bit/pixel] 94:4[Mbit/s] 3. R b = 2B log 2 4 B = R b =4 = 94:4=4[MHz] 23:6[MHz] 4. E b N 0! P b (E) = 3 r 4 4 Q = r 4 E b Q = 5 =) 2E b = N 0 N 0 2 = 18dB E b = = 92dBJ P tx = EbR b = log 10 (94: ) = 7: 7dBW 5. [Bit errati in un ora] = [Bit trasmessi in un ora] P (E b ) = 84[Mbit/s] 3600[s] [bit] 6. L impulso di trasmissione e un seno cardinale con zeri a passo T s = 1=R s con R s = R b =2 = 84=2[MHz]= 42[MHz] g(t) = sinc( t) 7. Il bit-rate R b raddoppia rispetto alla trasmissione della singola sorgente, la banda occupata deve rimanere la stessa, quindi e necessario raddoppiare il numero di bit per simbolo (log 2 M): Soluzione esercizio 4 Costruzione del segnale y(t)=x(t)+w(t) dt=0.001; s t=[0:dt:1-dt]; N=length(t); x=2*sin(2*pi*20*t)+1*sin(2*pi*100*t); w=randn(1,n)*sqrt(0.5); k=conv(randn(1,n),[1 1 1]/3); y=x+w+k(1,n); Costruzione del iltro bandpass bp(t) Th=0.05/2; h=ones(1,th/dt)/th; h=conv(h,h)*dt; log 2 M = 4! M = 16

5 bp=h.*cos(2*pi*200*t(1:length(h))); Filtraggio del segnale y(t) z=conv(y,bp)*dt; tz=[0:length(z)-1]*dt; igure, plot(tz,z); xlabel( tempo [s] ); Visualizzazione della trasormata di Fourier Z=tshit(t(z,N))*dt; d=1/(n*dt); =[-N/2+[0:N-1]]*d; igure, subplot(2,1,1); plot(,abs(z), -b ); subplot(2,1,2); plot(,angle(z), -b ); xlabel( Frequenza [Hz] );