FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE 5 Laboratorio

Transcript

1 FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE 5 Laboratorio Paolo Mazzucchelli mazzucch@elet.polimi.it Campionamento di segnali In MATLAB, qualunque segnale continuo è approssimato da una sequenza campionata. Si può simulare il campionamento di un segnale continuo, semplicemente riducendo il suo passo di campionamento (decimazione della sequenza). Il comando che permette di decimare un vettore, che approssima il segnale y(t) è: tc=t(1:step:end); yc=y(1:step:end); (dove step rappresenta il rapporto tra il nuovo e il vecchio passo di campionamento) La visualizzazione più adatta ai segnali campionati è ottenuta con il comando: stem(tc,yc); Il segnale y(t) (somma di due sinusoidi di frequenza f 1 =5 Hz f 2 =20 Hz, e ampiezza A 1 =2, A 2 =1) originariamente campionato con passo dt=1 ms, viene sottocampionato con passo dt=10 ms. Si disegni il segnale originale ed il segnale sottocampionato. La durata dell osservazione è T=1 sec. dt=0.001; t=[0:dt: ]; y=3*sin(2*pi*5*t)+sin(2*pi*20*t); tc=t(1:10:end); yc=y(1:10:end); plot(t,y,'r'); hold on; stem(tc,yc); 1

2 Campionamento ed equivocazione L effetto della discretizzazione di un segnale continuo è replicare la risposta in frequenza del segnale a passo f c =1/dt. In prima approssimazione quindi le uniche frequenze rappresentabili sono limitate all intervallo ±1/(2*dt). Frequenze più elevate vengono interpretate come altre frequenze nell intervallo definito in precedenza (equivocazione). Date due sinusoidi campionate con freq. di campionamento f c =20 Hz, la prima a frequenza f 1 minore di f c /2 (non equivocata) e l altra a frequenza f 2 =f 1 +f c, si può verificare come i campioni delle due sinusoidi si sovrappongono perfettamente (equivocazione). fc=20; % freq. campionamento dt=1/fc; % intervallo campionamento t=[0:dt:2]; % asse campione tempi f1=2; % freq. non aliasata f2=f1+fc; % freq. aliasata figure subplot(2,1,1), plot(t,sin(2*pi*f1*t),'*',t,sin(2*pi*f2*t),'o') xlabel('tempo') subplot(2,1,2), t1=[0:dt/10:2]; plot(t1,sin(2*pi*f1*t1),t1,sin(2*pi*f2*t1),t, sin(2*pi*f1*t),'*') xlabel('tempo') 2

3 Ricostruzione di segnali Il segnale può essere ricostruito correttamente, se il segnale campionato, definito nei soli istanti y(n*dt), (e quindi con trasformata periodica di periodo fc=1/dt), viene filtrato con un filtro passa-basso nell intervallo 1/2dt, 1/2dt. Questo può essere fatto convolvendo con la risposta all impulso del filtro ideale, ovvero il sinc(t). Quindi, per poter effettuare la ricostruzione: % spettro del segnale continuo N =length(t); df=1/(n*dt); f=[n/2+[0:n-1]]*df; % N è pari Y =fftshift(fft(y))*dt; % spettro del segnale impulsivo yi=zeros(size(y)); yi(1:10:end)=yc; YI =fftshift(fft(yi))*dt; % ricostruzione sinc th=[-1:dt:1]; h =sin(pi*100*th)./(pi*100*th); h(find(th==0))=1; yr=conv(yi,h); tr=th(1)+t(1)+[0:length(yr)]*dt; set=find(tr>=0 & tr<1); yr=yr(set); YR=fftshift(fft(yr))*dt; subplot(3,1,1), plot(t,y,'--r',t,yr,'b'); subplot(3,1,2), semilogy(f,abs(yi),'b'); grid, axis([ e-3 1]); subplot(3,1,3), semilogy(f,abs(yr),'b',f,abs(y),'--r'); grid, axis([ e-3 1]); Possiamo interpretare l esempio presentato come simulazione del comportamento del filtro analogico necessario per la ricostruzione, ma anche come sovracampionamento numerico (esempio, il classico sovracampionamento 8:1 utilizzato nei cd-player), che permette di semplificare lo stadio analogico successivo comunque necessario. Infatti, il sovracampionamento (o interpolazione) numerico, permette di allontanare le repliche spettrali (per il sovracampionamento 8:1, il periodo diventa 8fc!) e quindi di richiedere la realizzazione di filtri analogici con piccole pendenze. Ovviamente nella ricostruzione di segnali continui si impiegheranno filtri di breve durata, per rendere l operazione possibile in tempo reale. Ad esempio si potranno utilizzare il mantenitore, l interpolatore lineare, cubico. In MATLAB, questo tipo di ricostruzione può essere simulata con il comando interp1. La risposta in frequenza del corrispondente filtro di ricostruzione sarà 3

4 un approssimazione tanto peggiore del filtro passa-basso ideale, quanto più bassa è la lunghezza della risposta impulsiva del filtro. % ricostruzione pratica di segnali yr=interp1(tc,yc,t,'nearest'); % provare anche con linear, % v5cubic, spline yr(find(isnan(yr))=0; YR=fftshift(fft(yr))*dt; subplot(2,1,1), plot(t,y,'--r',t,yr,'b'); subplot(2,1,2), semilogy(f,abs(yr),'b',f,abs(y),'--r'); grid, axis([ e-3 1]); Si analizzi la risposta impulsiva dei diversi interpolatori nel dominio delle frequenze (si calcoli la trasformata di Fourier della sequenza ottenuta interpolando 10:1 un singolo impulso) 4

5 Quantizzazione Il segnale tempo continuo y(t), campionato con passo di campionamento temporale dt, è quantizzato con B bit: presenta valori limitati all insieme rappresentabile dal numero di bit utilizzati (ad esempio, il formato cd-audio utilizza 16 bit per canale). Scriviamo quindi una funzione che permette di simulare in MATLAB la quantizzazione del segnale y(t): Yq=quantizza(Y,peak,livelli); (dove livelli è il numero di livelli utilizzabili (B bit= 2 B livelli) e peak rappresenta l ampiezza di picco rappresentabile, che deve essere superiore all ampiezza massima del segnale per evitare distorsione). function Yq=quantizza(Y,estr,livelli); % Quantizzazione del vettore Y, con N livelli, % e con ampiezza di soglia -estr...estr Yq=round(Y/estr*livelli/2-1)/(livelli/2-1)*estr; set=find(abs(yq)>estr); Yq(set)=estr*sign(Yq(set)); return, Errore di Quantizzazione Se il segnale in ingresso al blocco di quantizzazione ha distribuzione uniforme tra V p e +V p, l errore di quantizzazione e(t)=x(t)-xq(t) può essere modellizzato come un processo casuale stazionario a valor medio nullo e varianza: σ 2 =1/12*V pp 2 / 2 2B Si generi un processo x(t) (Il segnale è osservato per T=1 sec., con passo di campionamento dt=1 ms), con distribuzione uniforme tra 2 e +2. Si quantizzi x(t) con numero di bit B=2,4,6,8,12,16.. Qual è il numero di livelli corrispondenti? Si stimi la densità spettrale di potenza dell errore di quantizzazione e la si confronti con il risultato teorico noto % Generazione del processo x(t) N=1000; dt=0.001; t=[0:n-1]*dt; y=4*rand(1,n)-2; % quantizzazione L=2^16; yq=quantizza(y,2,l); E=var(y-yq); Et=2^2/(3*L^2); % visualizzazione plot(t,y,'b'); hold on, plot(t,yq,'.r'); 5

6 plot(t,y-yq,'-g'); xlabel('tempo [sec.]'); title (['Quantiz. con ',num2str(l),' livelli; potenza errore:',num2str(e), (Teorico:,num2str(Et), ) ]); % Densità spettrale df=1/(n*dt); f=[-n/2+[0:n-1]]*df; % N è pari semilogy(f,fftshift(abs(fft(y)).^2)/n,'r',f,fftshift(abs(fft(yyq)).^2)/n,'b',f,ones(size(f))*e,'g'); grid xlabel('frequenza [Hz]'); 6

7 Trasmissione in banda base Si vuole analizzare il comportamento di un sistema di trasmissione numerica in banda base, verificando l effetto del rumore sul calcolo della probabilità d errore. function [seq_ric,decisione]=pam(l,sequenza,snr), % trasmissione PAM a L livelli. % % [sequenzaricevuta,decisore]=pam(livelli,sequenzatrasmessa,d/sigma), % noise =randn(size(sequenza))/snr; seq_ric =sequenza-(l-1)/2+noise; [val,pos]=min(abs(seq_ric-sequenza*l-l/2)); decisione=sequenza(pos); Simboli=[0:L-1]-(L-1)/2; for k=1:length(sequenza), [val,pos]=min(abs(seq_ric(k)-simboli)); decisione(k)=simboli(pos)+(l-1)/2;; return, Si vuole visualizzare la sequenza ricevuta, con una trasmissione PAM a L livelli, fissato il rapporto (d/σ). Si stimi inoltre la probabilità di errore di ricezione di un simbolo. Si utilizzi come sequenza trasmessa una sequenza casuale con i simboli [0:L-1] equiprobabili. % disegno della costellazione M-PAM % L=16; Len=1000; colmap=hsv(l); cols=zeros(size(colmap)); for k=1:2:l-1, cols(k,:)=colmap(k,:); cols(k+1,:)=colmap(l-k+1,:); sequenza=floor(rand(1,len)*l); [seq_ric,decisione]=pam(l,sequenza,5); hold on, for k=0:l-1; X=find(sequenza==k); plot(seq_ric(x),zeros(size(x)),'marker','.','linestyle','none','color ',cols(k+1,:)); plot(sequenza-(l-1)/2,zeros(size(sequenza)),'ko'); errori=length(find((decisione-sequenza)~=0)); title(['simboli Errati [%]:',(num2str(errori/len*100))]); 7

8 Si mostri l andamento della probabilità di errore al variare del rapporto (d/σ) per differenti livelli L (si scelga (d/σ)=[0.1:0.2:10] ). Lo si confronti con l andamento teorico: P(ε)=2(1-1/L) Q(d/(2σ) )= 2(1-1/L) 0.5 erfc(d/(2 2σ) ) Trasmissione in banda passante Si vuole ora analizzare la trasmissione numerica in un canale passa-banda, modulando in fase e quadratura (trasmissione numerica QAM). function [seq_ric,decisione]=qam(l,sequenza,snr), % trasmissione QAM a L livelli. % % [sequenzaricevuta,decisore]=qam(livelli,sequenzatrasmessa,d/sigma), % L=floor(sqrt(L)); noise =( randn(size(sequenza))+i*randn(size(sequenza)) )/SNR*sqrt(2); seq_ric =(sequenza-(l-1)*(1+i)/2)*sqrt(2)+noise; decisione=zeros(size(sequenza)); Simboli=( repmat([0:l-1],l,1)-(l-1)/2+i*(repmat([0:l-1]',1,l)-(l- 1)/2) )*sqrt(2); for k=1:length(sequenza), [val,pos]=min(abs(seq_ric(k)-simboli(:))); decisione(k)=simboli(pos)/sqrt(2)+(l-1)*(1+i)/2; return, Si vuole visualizzare la sequenza ricevuta, con una trasmissione QAM a M=L 2 livelli, fissato il rapporto (d/σ). Si stimi inoltre la probabilità di errore di ricezione di un simbolo. Si utilizzi come sequenza trasmessa una sequenza casuale con i simboli (real,imag)=([0:l-1],[0:l-1]) equiprobabili. 8

9 % disegno della costellazione M-QAM % L=4; Len=10000; colmap=hsv(l^2); cols=zeros(size(colmap)); for k=1:2:l^2-1, cols(k,:)=colmap(k,:); cols(k+1,:)=colmap(l^2-k+1,:); sequenza=floor(rand(1,len)*l)+i*floor(rand(1,len)*l); [seq_ric,decisione]=qam(l^2,sequenza,4); hold on, for k=0:l-1; for h=0:l-1; X=find(real(sequenza)==k & imag(sequenza)==h); plot(real(seq_ric(x)),imag(seq_ric(x)),'marker','.','linestyle','none ','Color',cols(k*L+h+1,:)); plot((sequenza-(l-1)*(1+i)/2)*sqrt(2),'ko'); errori=length(find((decisione-sequenza)>1e-6)); title(['simboli Errati [%]:',(num2str(errori/len*100))]); 9