Laboratorio 4 G. Bernasconi,

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1 Laboratorio 4 G. Bernasconi, bernasco@elet.polimi.it Crosscorrelazione e Autocorrelazione (filtro adattato) La funzione crosscorrelazione tra due segnali continui x(t) ed y(t) è definita come: + R xy ( τ ) = x( t) y( t + τ ) dτ La crosscorrelazione fornisce una misura della similitudine tra i due segnali x(t) ed y(t) ed è funzione del ritardo (o dell anticipo) τ tra i due segnali. Se x(t) ed y(t) sono lo stesso segnale si parla di funzione di autocorrelazione del segnale x(t): + R xx ( τ ) = x( t) x( t + τ ) dτ Si osservi che, per τ=0, si ha il massimo della funzione di autocorrelazione, corrispondente all energia del segnale x(t). In MATLAB è possibile calcolare la correlazione tra due sequenze utilizzando il comando xcorr. In particolare: xcorr(x,y) calcola la crosscorrelazione tra le sequenze x ed y; xcorr(x,y, coeff ) calcola la crosscorrelazione, normalizzata rispetto al massimo del suo valore assoluto, tra le sequenze x ed y; xcorr(x,x) calcola l autocorrelazione di x. Le sequenze x e y devono avere la stessa lunghezza. Se così non è, la sequenza più corta viene allungata con zeri fino alla lunghezza della più lunga. Se le due sequenze sono composte da M campioni la correlazione è composta da 2M+1 campioni e il campione in posizione M corrisponde al valore della correlazione nell origine (τ=0). Il chirp Il chirp è un segnale molto utilizzato come ondina sorgente sia in applicazioni sismiche che in applicazioni radar per due motivi: 1. non è un segnale impulsivo e quindi è più facile da generare, sia con apparati meccanici che con apparati elettrici o elettronici; 2. è un segnale con funzione di autocorrelazione (uscita del filtro adattato) tanto più stretta quanto maggiore la banda del chirp (al limite impulsiva). Il chirp è una sinusoide la cui frequenza varia con una certa legge. L espressione analitica più generale possibile per un segnale di questo tipo è: t x t) = sin(2π f ( τ ) dτ + ϕ ) ( 0 0 Un esempio del segnale chirp è mostrato in figura 1. In questo caso il segnale è osservato per 2 secondi e la frequenza varia linearmente da 1 a 5 Hz. Figura 1: Esempio di chirp. t=0:.001:2; f1=1;f2=5; x=chirp(t,f1,2,f2); plot(t,x) xlabel('tempo [s]') % asse tempi % freq.iniziale e finale chirp % costruzione chirp % figura

2 Autocorrelazione del chirp Consideriamo, ad esempio, un chirp di durata T C = 1 s, frequenza iniziale f1 = 5 Hz e frequenza finale f2= 10 Hz e calcoliamone in MATLAB la funzione di autocorrelazione. Il segnale è osservato nell intervallo t= [0, 3s) e campionato con frequenza fc =1kHz. % File es4a.m % Parametri esempio fc=1e3; dt=1/fc; tobs=3; t=0:dt:tobs-dt; N=length(t); % freq. campionamento % intervallo campionamento % tempo di osservazione % asse dei tempi % nr. campioni asse tempi % Chirp tra 5 e 10 Hz TC=1; % durata chirp f1=5; f2=10; % freq.iniz. e finali chirp x=chirp(t,f1,tc,f2); x(find(t>tc))=0; % azzero segnale per t>tc! % Calcolo correlazione normalizzata Rx=xcorr(x,x,'coeff'); % Asse ritardi di correlazione tau=[-n+1:n-1]*dt; % Visualizzazione figure(1); subplot(211); plot(t,x); axis([0 tobs ]); title('chirp'); xlabel('tempo t [s]'); subplot(212); plot(tau,rx); axis([-tc TC ]); title('autocorrelazione Normalizzata Chirp'); xlabel('ritardo \tau [s]') Il risultato prodotto con il codice MATLAB è mostrato in figura 2. Figura 2: Chirp (durata 1 s, variazione di frequenza lineare tra 5 Hz e 10 Hz) e relativa funzione di autocorrelazione.

3 Osserviamo che la funzione di autocorrelazione del chirp è effettivamente un segnale compatto centrato in τ=0: l autocorrelazione è massima quando il segnale e la sua copia ritardata coincidono! Ripetiamo l esercizio utilizzando come frequenza finale del chirp f2=25hz. Figura 3: Chirp (durata 1 s, variazione di frequenza lineare tra 5 Hz e 25 Hz) e relativa funzione di autocorrelazione. In figura 3 si osservi una diminuzione della larghezza del lobo principale dell impulso: questo è causato dall aumento della frequenza finale del chirp e, conseguentemente, dalla banda del segnale. L esercizio seguente rappresenta un esempio, semplice ma significativo, del processing relativo ad un acquisizione sismica che utilizzi come sorgente un segnale tipo chirp. Esercizio Si consideri un esperimento sismico a zero offset (sorgente e ricevitore nella stessa posizione in superficie) realizzato sul modello di velocità mostrato in figura 4. h 1 =750m, V 1 =1500m/s, R 1 =0.7 h 2 =250m, V 2 =2000m/s, R 2 =-0.45 h 3 =500m, V 3 =2500m/s, R 3 =0.2 Figura 4: Modello di velocità per esperimento sismico a zero offset: spessore,velocità e coefficiente di riflessione. I segnali coinvolti nell esperimento sono osservati nell intervallo di tempo t=[0,3s) e campionati con frequenza fc=1khz. La sorgente sismica genera un chirp di durata T C =1s, frequenza iniziale f1 = 5 Hz e frequenza finale f2 = 25 Hz. Si simuli un acquisizione ideale e si visualizzino: 1. il segnale sorgente; 2. la risposta all impulso del terreno; 3. il segnale ricevuto; 4. la crosscorrelazione tra il segnale ricevuto ed il segnale sorgente.

4 Figura 5: Esperimento sismico a zero offset: segnale chirp utilizzato come sorgente (sopra) e risposta all impulso del terreno (sotto). % File es4b.m % Parametri per l'acquisizione fc=1e3; % freq. campionamento dt=1/fc; % intervallo di campionamento tobs=3; % tempo di osservazione t=0:dt:tobs-dt; % asse dei tempi N=length(t); % nr. campioni asse dei tempi % Spessori ampiezze e ritardi (doppio tempo: andata e ritorno..) h1=750; v1=1500; A1=0.7; tau1=2*h1/v1; h2=250; v2=2000; A2=-0.45; tau2=tau1+2*h2/v2; h3=500; v3=2500; A3=0.2; tau3=tau2+2*h3/v3; % Segnale sorgente f1=5; f2=25; TC=1; s=chirp(t,f1,tc,f2); s(find(t>tc))=0; % Risposta del terreno g=zeros(1,n); p=round([tau1 tau2 tau3]/dt)+1; g(p)=[a1 A2 A3]; % Visualizzazione figure(1); subplot(211); plot(t,s); title('segnale sorgente'); subplot(212); plot(t,g); title('risposta all''impulso del terreno'); % Segnale ricevuto ri=conv(s,g)*dt; ri=ri(1:n); rdi=xcorr(ri,s,'coeff'); figure(2);

5 subplot(211); plot(t,ri); title('segnale ricevuto'); subplot(212); plot(t,rdi); title('uscita filtro adattato (deconvoluzione)'); Figura 6: Esperimento sismico a zero offset: sopra il segnale ricevuto; sotto il risultato della crosscorrelazione tra il segnale ricevuto ed il segnale sorgente. Si osservi come il filtro adattato permetta di evidenziare le riflessioni del segnale sorgente in corrispondenza delle interfacce. Esercizio Si consideri l esperimento sismico dell esercizio precedente. Si supponga che il processo di acquisizione sia disturbato da un rumore gaussiano bianco con deviazione standard σ paragonabile alla massima ampiezza del segnale ricevuto. Si rappresentino: 1. il segnale ricevuto con un singolo shot; 2. i segnali ottenuti con lo stack di 10 e di 100 shots. % File es4c.m % Parametri per l'acquisizione clear all fc=1e3; % freq. campionamento dt=1/fc; % intervallo di campionamento tobs=3; % tempo di osservazione t=0:dt:tobs-dt; % asse dei tempi N=length(t); % nr. campioni asse dei tempi % Spessori ampiezze e ritardi (doppio tempo: andata e ritorno..) h1=750; v1=1500; A1=0.7; tau1=2*h1/v1; h2=250; v2=2000; A2=-0.45; tau2=tau1+2*h2/v2; h3=500; v3=2500; A3=0.2; tau3=tau2+2*h3/v3; % Segnale sorgente f1=5; f2=25; TC=1; s=chirp(t,f1,tc,f2); s(find(t>tc))=0;

6 % Risposta del terreno g=zeros(1,n); p=round([tau1 tau2 tau3]/dt)+1; g(p)=[a1 A2 A3]; % Segnale ricevuto senza rumore ri=conv(s,g)*dt; ri=ri(1:n); rdi=xcorr(ri,s,'coeff'); rdi=rdi(n:end); % Solo ultimi N campioni % Visualizzazione figure(1); subplot(411); plot(t,s); title('segnale sorgente'); subplot(412); plot(t,g); title('risposta all''impulso del terreno'); subplot(413); plot(t,ri); title('segnale ricevuto'); subplot(414); plot(t,rdi); title('uscita filtro adattato senza rumore'); % Segnale ricevuto e rumore (single shot) sigma=5*max(abs(ri)); rs=ri+sigma*randn(1,n); rdi=xcorr(rs,s,'coeff'); figure(2); subplot(311); plot(t,rdi); axis([0 tobs min(rdi) max(rdi)]); title('uscita filtro adattato con rumore: single shot'); % Stack 10 shots rs=zeros(1,n); for i=1:10, rs=rs+ri+sigma*randn(1,n); end rs=rs/10; rdi=xcorr(rs,s,'coeff'); subplot(312); plot(t,rdi); axis([0 tobs min(rdi) max(rdi)]); title('uscita filtro adattato con rumore: stack 10 shots'); % Stack 100 shots rs=zeros(1,n); for i=1:100, rs=rs+ri+sigma*randn(1,n); end rdi=rdi/100; rdi=xcorr(rs,s,'coeff');

7 subplot(313); plot(t,rdi); axis([0 tobs min(rdi) max(rdi)]); title('uscita filtro adattato con rumore: stack 100 shots'); Figura 7: Esperimento sismico a zero offset in condizioni ideali. I risultati di figura 8 evidenziano come la procedura di stack faccia emergere dalla traccia le componenti coerenti (risposta all impulso del terreno) e mitighi l effetto delle componenti incoerenti (rumore gaussiano bianco). Figura 8: Esperimento sismico a zero offset in condizioni reali. Dall alto verso il basso: single shot, 10 shots stack e 100 shots stack.