Metodi di estrazione di segnali dal rumore

Transcript

1 Metodi di estrazione di segnali dal rumore Sorgenti di rumore elettronico: Rumore Johnson: Causato dal moto termico degli elettroni è presente in qualsiasi condizione di misura. Ha uno spettro bianco. Shot noise: Esempio: fluttuazione di corrente in un tubo elettronico legate alla fluttuazione nell emissione di elettroni da parte del catodo Spettro costante a bassa frequenza e poi tende a zero Rumore di generazione/ricombinazione: Dovuto alla generazione/ricombinazione casuale di coppie elettrone-lacuna. Ha uno spettro limitato perché dipende dal tempo di vita media dei portatori ( 0-7 sec) Rumore /f Spettro che va come /f per frequenze minori di KHz (circa) Sembra essere legato a fluttuazioni nel numero di portatori dovute alla possibilità che i portatori dei semiconduttori siano trattenuti in livelli energetici trappola

2 Metodi per estrarre segnale dal rumore ) Filtro passa-basso - Media temporale 2) Autocorrelazione o crosscorrelazione 3) Media digitale: Boxcar averager 4) Detezione sincrona: Lock-in Filtro P. B. Funziona in caso di rumore bianco Inutile se il rumore dominante è /f Media temporale Il filtro restituisce in uscita la media sull intervallo T del segnale in ingresso t0 t0 Vout ( t 0 ) = V in ( τ ) dτ = Vout ( t 0 ) = T h( t τ ) Vin ( τ ) dτ t T 0 Con h(t) /T t-t Funziona per segnali variabili lentamente nel tempo e affetti da rumore bianco. Se rumore /f aumentando i tempi di misura aumentiamo la sensibilità al rumore a basse frequenze: si guadagna poco o nulla

3 Autocorrelazione e crosscorrelazione Con l autocorrelazione cerchiamo se entro il segnale c è qualche componente correlata con se stessa su tempi opportunamente lunghi Con la crosscorrelazione cerchiamo se c è una componente correlata con un segnale di riferimento. Bisogna però conoscere il periodo del segnale da estrarre dal rumore Supponiamo che il segnale x(t) sia composto dal segnale da misurare s(t) e da rumore n(t) entrambi a media nulla Se non conosco la periodicità del segnale originario posso ricavarla dalla autocorrelazione; infatti: C xx T T ( τ ) = x ( t ) x ( t τ ) dt = τ T T 0 [ s ( t ) + n( t ) ][ s ( t τ ) + n( t ) ] 0 dt Cioè: C ( τ ) = C ( τ ) + C ( τ ) + C ( τ ) + C ( τ ) xx ss sn ns nn C sn ( τ ) C ( τ ) Ma e sono nulli e C nn va molto rapidamente a zero per cui: ns C ( τ ) C ( τ ) su tempi lunghi xx Ricavo l informazione sul periodo del segnale cercato ss Se conosco il periodo posso ricorrere alla crosscorrelazione: creo un segnale y(t) che abbia la stessa frequenza di s(t) C ( τ ) = C ( τ ) + C ( τ ) xy sy ny con (τ ) C ny che tende rapidamente a zero

4 Esempio Autocorrelazione: Onda quadra immersa nel rumore

5 Media digitale: Boxcar averager Sfrutta la ripetitività di un fenomeno fisico come ad esempio la risposta all impulso di un circuito Si effettua una somma coerente dei contributi del segnale ad un tempo t e se ne fa la media. È possibile solo in presenza di un segnale di trigger. Boxcar ad un canale: Permette la rivelazione di un segnale ripetitivo di sui si conosce istante di apparizione e cadenza se s ( t ) = s ( t + nt ) n intero e x ( t ) = s ( t ) + n( t ) Acquisendo M campioni ciascuno a distanza τ dal trigger e somandoli, si ottiene: x ( τ ) = = s ( τ ) + M M n = 0 M x ( τ + it ) M n = 0 n( τ + it ) = M M [ s ( τ + it ) + n( τ + it )] n = 0 = Se i campionamenti di n(t) sono indipendenti ed essendo il rumore a media nulla, la sommatoria tende a zero al crescere di M

6 Boxcar averager a più canali Ad ogni start si inizia il campionamento e K valori campionati ad istanti diversi vengono posti in K celle di memoria La striscia di celle di memoria contiene la versione discretizzata della funzione d onda La frequenza di campionamento dovrà essere almeno K volte quella del segnale Acquisizione in tempo reale Se il segnale è lento rispetto alla frequenza di campionamento posso effettuare K acquisizioni ogni start e mediare poi su M sequenze Acquisizione in tempo equivalente Se il segnale è molto veloce effettuo l acquisizione di un unico valore alla volta cambiando ad ogni start il tempo di ritardo τ. Mi serviranno K*M acquisizioni

7 Rapporto Segnale - Rumore Si definisce rapporto segnale-rumore su un intervallo di frequenza Δf il rapporto: S = potenza totale del segnale in Δf potenza totale del rumore in Δf Tale grandezza indica quanto difficoltosa sarà la misura della grandezza fisica in esame Potenza totale del rumore: densità spettrale di potenza integrata su Δf 2 P = W xx ( f ) df = lim X ( f ) T df T Valore efficace di tensione di rumore in una certa banda B: V eff = x t T ( ) 2 T dt = W f ( ) B Da cui tensione media di rumore nella stessa banda: V = 2 W f ( ) B

8 LOCK-I Il Lock-in è uno strumento che sfruttando la rivelazione sincrona permette la misura di segnali periodici con banda spettrale molto stretta (D.C. o pseudo D.C.) anche in condizione di rapporto S/ <<. È utilizzato per: -Estrarre segnale dal rumore -Misurare la derivata di una funzione (risposta di un processo fisico) S(t) Amplificatore (selettivo) X Filtro P.B. uscita R(t) Sfasatore Squadratore S(t) segnale modulato R(t) segnale di riferimento Per poterlo utilizzare è necessario conoscere la frequenza del segnale in ingresso in modo da creare il corretto segnale di riferimento per la rivelazione sincrona. Tipicamente un esperimento è progettato appositamente per utilizzare il lock-in eccitando il sistema in esame con una sequenza ripetitiva (onda quadra, sinusoidale etc) e lo stesso segnale serve come riferimento per il lock-in.

9 Il metodo consiste in: - Modulazione un processo fisico - Amplificazione selettiva - Demodulazione sincrona - Filtraggio (Passa-Basso) LOCK-I X(t) segnale a banda limitata X(f) Modulo a f 0 >>B -B +B f -B -f 0 +B -B f 0 Entra rumore +B f Filtro selettivo -B -f 0 +B -B f 0 +B f Demodulazione -B -f 0 +B -B f 0 +B f Passa-Basso f

10 Modulazione del segnale: Il segnale da misurare diventa l ampiezza di un onda periodica di frequenza f M Conviene effettuarla il prima possibile per evitare di trasportare ad alta frequenza anche il rumore Si può eseguire con mezzi meccanici o agendo sull alimentazione della sorgente di eccitazione Esempi: Modulazione meccanica con Chopper luce o elettroni Campione in esame LED Foto diodo rivelatore segnale riferimento Modulazione elettrica: Misura della resistenza di un materiale con corrente sinusoidale I campione segnale LOCK-I riferimento A che frequenza modulare (f M )? Se segnale pseudo DC f max segnale Hz f M può essere scelta a partire da qualche decina di Hz (non 50, 00,..) per evitare rumore /f meglio sopra il khz

11 V Ricostruzione del segnale originario: demodulazione sincrona e filtro passa basso Può avvenire utilizzando un onda quadra (più semplice) o un onda sinusoidale di ampiezza unitaria avente la stessa frequenza del segnale di riferimento. 4 Onda quadra: r ( t ) D( t ) = sen[ ( 2n + ) ωmt ] π n 2n + Supponiamo che il segnale sia V(t)=V S (t)+v (t) con OUT V ( t ) = V0sen( ω t ) V ( t ) = V sen( ω t ) S M V 0 segnale da misurare, V S segnale modulato in ingresso al LOCK- I e V rumore (armonico per semplicità) Allora dopo il moltiplicatore: ( t ) = 4 2 V0 sen π 4 V sen π ( VS ( t ) + V ( t )) D( t ) = ( ω t ) + sen( ω t ) sen( 3ω t ) + sen( ω t ) sen( 5ω t ) ( ω t ) sen( ω t ) + sen( ω t ) sen( 3ω t ) + sen( ω t ) sen( 5ω t ) +... M M M M M M 5 M M Cioè: V OUT 4 + V π ( t ) 4 = V0 π 2 ( sen ( ω t ) + termini a media nulla) M ( termini a media nulla) + Dopo il filtro passa basso quindi: V OUT 2 ( t ) = V0 π

12 Se il segnale di riferimento ha stessa frequenza del segnale modulato ma diversa fase: 4 VOUT ( t ) = V0sen( ω Mt + ϕ) D( t ) = V0 2 Mt + π 2 ( cos( ϕ) cos( ω ϕ) ) (trascurando il rumore e considerando solo il termine per n=) Dopo il passa basso quindi: 2 V OUT ( t ) = V0 cosϕ π Importanza di controllare la differenza di fase tra s(t) e D(t) Operativamente spesso si aggiusta la fase in modo da avere uscita nulla e poi si cambia di π/2

13 el caso di onda quadra, oltre alla frequenza corrispondente all armonica fondamentale f M, moltiplico il segnale anche per tutti i multipli dispari di f M Porto a zero anche componenti di segnale/rumore presenti a 3f M, 5f M... Si ovvia al problema anteponendo un filtro passa-banda al rivelatore sincrono

14 Filtro passa basso in uscita: tempo di integrazione Il tempo di integrazione va scelto il più grande possibile per ridurre il rumore compatibilmente con le caratteristiche del segnale da rivelare Riduzione del rumore Supponiamo che il segnale da misurare sia una sinusoide 2 S A x ( t ) = s ( t ) + n( t ) = A cos( ωt ) + n( t ) = 2 2 σ n T σ n = V ( r. m. s.) = n ( t ) dt T Se filtro diminuisco la potenza associata al rumore del rapporto tra larghezza di banda del filtro e larghezza di banda originaria (ricordando che = W f ) V eff P 0 ( ) B 2 = σ con T tempo di integrazione B T da cui si vede che il rapporto segnale rumore aumenta linearmente con il tempo di integrazione ota: se fosse presente il filtro passa-banda allora P = σ 2 P = σ 2 Δf B P = σ 2 Δf B Δf T Rumore originario Passa Banda Rumore in uscita

15 Se il segnale da misurare non è costante ma varia su periodo T : Larghezza di banda B=/T t 0 Modulando con sinusoide di periodo T2 2 0 Dopo il filtro con costante di tempo T t 0 Se T T2 l uscita contiene componenti del segnale modulante Se T>>T2 ma T>T il filtro integra anche le componenti del segnale Se T>>T2 e T<<T ottengo il segnale corretto

16 Demodulazione con onda sinusoidale: Concettualmente più semplice (vedi modulazione e demodulazione in ampiezza) È presente solo nei modelli più recenti dei LOCK-I per la difficoltà di generare una sinusoide sincrona con un segnale di riferimento e in fase con esso. Si utilizzano i Phase Locked Loop (PLL) visti in precedenza LOCK-I digitale Il lock-in analogico ha alcune limitazioni dovute a: - Il rivelatore sincrono costituisce l elemento critico per la reiezione delle componenti non sincrone: asimmetrie nelle operazioni svolte dal rivelatore possono impedire la reiezione del rumore - Stabilità nel tempo degli amplificatori: limita la durata massima del tempo di integrazione Con l uso di ADC si possono eseguire in modo digitale tutte le operazioni svolte dal rivelatore sincrono Moltiplicazione per onda quadra = attribuzione di segno Filtro passa basso = filtraggio numerico

17 Uso del Lock-in: grandi modulazioni, piccole modulazioni, misura della derivata Supponiamo di voler misurare una certa legge fisica: y ( t ) = f ( x ( t )) y(t) x(t) ) Eseguo una ampia modulazione di x(t): onda quadra y(t) x 0 Δx x(t) x(t) y(t) Δx y(x 0 ) x 0 t t Variando lentamente il valore di x 0 posso ricostruire tutto il segnale da misurare Funziona se il segnale y(t) è nullo oltre un certo valore di x

18 2) Piccola modulazione di x y(t) Se y t ) x 0 x(t) Δx y = y ( x 0 + Δx ( t )) = y ( x ) + Δx x ( 0 y Δ x ( t ) = K cos( ωt ) allora y ( t ) = y ( x 0 ) + K cos( ωt ) x Demodulando trovo il valore della derivata del segnale iniziale Posso ricostruire y(t) variando lentamente x 0 e integrando l uscita del lock-in Posso misurare la derivata di un segnale (legge fisica)

19 Esempi di utilizzo del Lock-in Misura della mobilità dei portatori in un MOSFET La mobilità per effetto di campo è un parametro importante per il funzionamento dei dispositivi MOSFET: Dispositivo a tre terminali in cui la conducibilità di un canale (Source-Drain) viene controllata dall applicazione di una tensione ad un terzo terminale del dispositivo (Gate) Applicando una d.d.p. tra gate e canale modifico la densità di portatori nel canale variandone la conducibilità La conducibilità elettrica può esprimersi in termini di mobilità dei portatori come: σ = neμ con n densità dei portatori nel materiale in esame La mobilità per effetto di campo è definita come μ FE σ = e n

20 Ma n = n V ) ( g dipendente dalla capacità del dispositivo Il MOSFET può essere schematizzato semplicemente come un condensatore in cui un armatura è il gate metallico e l altra è il canale semiconduttore V Q nev = = n C C g V g r j = σe r σ j I SD μ FE = σ e n I e V SD g K 0-7 I SD [A] V g (V)

21 Il Lock-in può essere utilizzato per misurare sia le caratteristiche I(Vg) sia la mobilità el primo caso utilizzo un onda sinusoidale come tensione Source-Drain e misuro la corrente in uscita dal MOSFET al variare di Vg - + convertitore corrente-tensione el secondo caso mando un onda sinusoidale al gate con sovrapposta una rampa di tensione - + convertitore corrente-tensione

22 Mobilità Caratteristica I-V g Vg Misura della transcaratteristica I-V g e della mobilità in un MOSFET

23

24

25 Integratore R f V V out in Rf = R + jωr C in Guadagno in continua Frequenza di taglio f ω T f = R R f in R C f f R in C f Fase ϕ arctg ω ω = T Derivatore V V out in R f = R in ( + jωr C ) in in R in R f Guadagno in continua R R f in C in

26 Teorema di Parseval