Processi aleatori. X t X

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1 Processi aleatori stazionari X(t) processo aleatorio stazionario, x(t) funzione campione di X (t) Funzione di auto-correlazione R E X t X t Funzione di auto-correlazione di una funzione campione r R T / lim x t x t d T T E r T / Funzione di auto-covarianza E Funzione di auto-covarianza di una funzione campione C X t X X t X T / c lim x t x xt x d T T T / C E c Funzione Matlab : xcorr.m [c, lags] = xcorr (x, y, maxlags, option ) R xy (m) = E[X n+m Y n ] Fornisce la funzione di cross-correlazione nell intervallo di ritardi temporali (-maxlags,+ maxlags) option = unbiased

2 stazionari Densità di potenza spettrale (psdf) Densità di potenza spettrale di una funzione campione S i C e d x lim T s T T S E sxx Proprietà fondamentale della psdf (regola di normalizzazione) Altre definizioni della psdf G Processi aleatori X G X d S S d 4 S n n W n X W d n n n Funzione Matlab : pwelch.m [Pxx, n] = pwelch (x, Nwin, Noverlap, Nfft, ns) Valuta la one-sided psdf (W xx (n)) del vettore x usando il metodo di Welch Il vettore è suddiviso in segmenti di lunghezza Nwin, con sovrapposizione Noverlap, Ogni segmento è moltiplicato per una finestra Hamming, la FFT di ogni segmento è valutata usando un numero di punti Nfft, ns è la frequenza si campionamento usata per costruire il vettore frequenza n

3 Processi aleatori stazionari Relazione tra la funzione di auto-covarianza e la densità di potenza spettrale (Equazione di Wiener-Khitchine) S C e i d i C S e d A meno di un fattore /, la psdf di un processo aleatorio stazionario è la trasformata di Fourier della funzione di auto-covarianza

4 Processi aleatori stazionari particolari Rumore bianco w hite nois e x(t) - t [s ]. S (n) n [H z ] R () [s ] Matlab file: random_processes_ideal.m

5 Processi aleatori stazionari particolari Processo a banda larga broad band x(t) - t [s ]. S (n) n [H z ] R () [s ] Matlab file: random_processes_ideal.m

6 Processi aleatori stazionari particolari Processo a banda stretta. narrow band x(t) -. t [s ]. S (n) n [H z ] -3 x R () [s ] Matlab file: random_processes_ideal.m

7 Processi aleatori stazionari particolari Processo armonico harm onic x(t) - t [s ] S (n) n [H z ] R () [s ] Matlab file: random_processes_ideal.m

8 Processi aleatori stazionari particolari Processo armonico + rumore harm onic + nois e x(t) - t [s ] S (n) n [H z ] R () [s ] Matlab file: random_processes_ideal.m

9 stazionari. Processi aleatori Relazione tra la funzione di auto-covarianza e la densità di potenza spettrale C i S e d Esempio : accelerazione sisimica Esempio : turbolenza atmosferica Spettro Kanai-Tajimi modificato, Parametri del terremoto di Mexico City 6 S UU (). S UU () [rad/s] [rad/s] R UU (). R UU () [s] Matlab files: corr_from_psdf.m psd_kt.m Suvw.m [s]

10 Processi aleatori stazionari Esempio : velocità del vento misurata Storie temporali Funzioni di auto-correlazione t [s] t [s] t [s] t [s] R UU () R UU () R UU () R UU () [s] [s] [s] Data file: northstr.txt Matlab function: xcorr.m Matlab file: random_processes.m [s]

11 Processi aleatori stazionari Esempio : velocità del vento misurata Storie temporali Densità di potenza spettrali t [s] t [s] t [s] t [s] S UU (n) S UU (n) S UU (n) S UU (n) n [Hz] n [Hz] Data file: northstr.txt Matlab function: pwelch.m Matlab file: random_processes.m n [Hz] n [Hz]

12 Processi aleatori stazionari Esempio : pressioni del vento misurate Storie temporali Processi aleatori U Funzioni densità di probabilità Data file: pafw Matlab file: wind_pressures.m

13 stazionari Processi aleatori Esempio : pressioni del vento misurate 3 4 U Funzioni di auto-covarianza Densità di potenza spettrali Data file: pafw Matlab file: wind_pressures.m

14 Simulazione digitale di processi aleatori Gaussiani stazionari Metodo delle fasi aleatorie N j j cos j j x t S t j j = angoli di fase aleatori con distribuzione di probabilità uniforme nell intervallo [,] S = two-sided psdf in funzione della pulsazione Matlab function: Matlab file: rand.m simrp.m

15 Simulazione digitale di processi aleatori Gaussiani stazionari 3 Esempio : Turbolenza atmosferica longitudinale Solari and Piccardo () turbulence psdf z= m z =. m u * =. m/s U=9 m/s a t m o s p h e r i c t u r b u l e n c e t w o - s i d e d p s d f - a t m o s p h e r i c t u r b u l e n c e s i m u l a t e d t i m e h i s t o r i e s Su() t [ s ] 9 8 a t m o s p h e r i c t u r b u l e n c e o n e - s i d e d p s d f o f t h e s i m u l a t e d t i m e h i s t o r i e s 3 3 [ r a d / s ] 7 6 n Wu(n) 4 3 Matlab file: Suvw.m Digital_simulation.m n [ H z ]

16 Simulazione digitale di processi aleatori Gaussiani stazionari Esempio : accelerazione sismica Psdf Kanai-Tajimi modificata, parametri del terremoto di Taft... s e i s m i c a c c e l e r a t i o n s i m u l a t e d t i m e h i s t o r i e s Su() x - 3 s e i s m i c a c c e l e r a t i o n t w o - s i d e d p s d f t [ s ] [ r a d / s ] n Wu(n) s e i s m i c a c c e l e r a t i o n o n e - s i d e d p s d f o f t h e s i m u l a t e d t i m e h i s t o r i e s. Matlab file: - - psd_kt.m Digital_simulation.m n [ H z ]

17 Simulazione digitale di processi aleatori Gaussiani non stazionari Esempio : accelerazione sismica non stazionaria s e i s m i c a c c e l e r a t i o n fi l t e r e d s i m u l a t e d t i m e h i s t o r i e s t [ s ] Matlab file: psd_kt.m Jennings.m Digital_simulation.m