Analisi dei segnali nel dominio delle frequenze 21/12/ /01/2007

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1 Analisi dei segnali nel dominio delle frequenze 2/2/26 //27

2 INDICE 2 Indice Esercizio Serie di Fourier 3 2 Trasformata di Fourier 3 3 Esercizio Trasformata di Fourier 6 4 Note: finestratura 9 5 Note: averaging 9 6 Note: zero padding 7 Riepilogo 8 Esercizio

3 ESERCIZIO SERIE DI FOURIER 3 Esercizio Serie di Fourier Consideriamo un onda quadra a valore medio pari a.5 e ampiezza 2.5. Si calcoli lo spettro di tale funzione e si disegni il grafico della funzione data e si sovrapponga la funzione ricostruita al variare del numero di coefficienti della serie di Fourier che sono stati considerati Figura : Onda quadra (esempio cin 7 coefficienti) 2 Trasformata di Fourier La trasformata di Fourier è uno strumento matematico utile per l analisi in frequenza di funzioni. Come abbiamo visto, nel caso di segnali periodici, la serie di Fourier ci consente di rappresentare un segnale periodico in una sommatoria di infinite sinusoidi con frequenze multiple intere di una sinusoide fondamentale.

4 2 TRASFORMATA DI FOURIER 4 Quando si analizzano segnali di cui non è garantita la periodicità tale strumento non può essere più utilizzato e sotto certe condizioni, la funzione può essere analizzata con la trasformata di Fourier. Nella pratica i segnali che devono essere analizzati non sono noti come delle funzioni continue ma sono campionati con una certa frequenza e quindi invece di usare la trasformata di Fourier si usa la trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT); quando il segnale è anche periodico infine si usa la trasformata di Fourier discreta (DFT). Anche in questo caso, in generale non è nota a priori la periodicità del segnale però il calcolo dei coefficienti X k risulta molto numericamente più agevole rispetto al calcolo della DTFT. Infatti si utilizza un algoritmo noto come fft. Tale funzione è implementata in maniera leggermente diversa dai produttori di software in base alla definizione usata per i coefficienti. Ad esempio Matlab (help fft) definisce: FFT Discrete Fourier transform. FFT(X) is the discrete Fourier transform (DFT) of vector X. For matrices, the FFT operation is applied to each column. For N-D arrays, the FFT operation operates on the first non-singleton dimension. FFT(X,N) is the N-point FFT, padded with zeros if X has less than N points and truncated if it has more. FFT(X,[],DIM) or FFT(X,N,DIM) applies the FFT operation across the dimension DIM. For length N input vector x, the DFT is a length N vector X, with elements N X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-)*(n-)/n), <= k <= N. n= The inverse DFT (computed by IFFT) is given by N x(n) = (/N) sum X(k)*exp( j*2*pi*(k-)*(n-)/n), <= n <= N. k= See also fft2, fftn, fftshift, fftw, ifft, ifft2, ifftn. Come si vede, nella fft non c è alcuna informazione relativa alla frequenza di campionamento utilizzata per registrare il segnale, quindi i vari coefficien-

5 2 TRASFORMATA DI FOURIER 5 ti della trasformata fanno riferimento alle ampiezze di sinusoidi a frequenze comprese fra ed N. Inoltre essi non rappresentano le vere ampiezze delle sinusoidi ma c è di mezzo un fattore di scala pari ad N come si può vedere dalla definizione dei coefficienti stessi. Per riscalare sia i coefficienti che le frequenze alle quali essi corrispondono si procede come segue. Dato il segnale campionato x, si calcola la sua trasformata discreta con nfft coefficienti (grafico in fig. 2(a)): X = abs( fft( x, nfft ) ); (a) Output della fft (b) Coefficienti scalati Figura 2: Coefficienti DFT si riscalano i coefficienti in modo da ottenere le ampiezze delle sinusoidi che compongono il segnale (grafico in fig. 2(b)): mx = X / nfft; si riordinano i coefficienti in modo da poter assegnare a ciascuno di essi la corrispettiva frequenza (grafico in fig. 3(a)): mx = fftshift( mx ); nota la frequenza di campionamenti fs si crea il vettore delle frequenze (grafico in fig. 3(b)):

6 3 ESERCIZIO TRASFORMATA DI FOURIER (a) Coefficienti traslati (b) Coefficienti associati alle frequenze Figura 3: Coefficienti DFT F = fs * [ -nfft/2 : nfft/2 - ] / nfft; Il problema della periodicità viene sorpassato immaginando che il segnale acquisito sia periodico e la sua periodicità sia pari alla finestra di osservazione (anche se questo comporta dei problemi di leakage). 3 Esercizio Trasformata di Fourier Si consideri un segnale composto da due sinusoidi a frequenza ed ampiezza rispettivamente [, 5] Hz e [2, ] V. Il segnale continuo nel tempo, viene campionato ad una frequenza f s ed osservato per un tempo t o. Usando la trasformata di Fourier con un numero di punti pari ad n fft si calcoli lo spettro del segnale al variare dei parametri indicati in modo da ottenere: Uno spettro del segnale coerente con il risultato teorico. Uno spettro corretto in frequenza ma affetto dal fenomeno del leakage. Uno spettro sbagliato a causa del fenomeno dell aliasing Si calcoli infine lo spettro di un segnale disturbato con un rumore biancoo Per ognuno di essi si ricostruisca il segnale a partire dalla sua trasformata. Si usi la funzione fft di Matlab leggendo attentamente il suo manuale ed in particolare la definizione dei suoi coefficienti.

7 3 ESERCIZIO TRASFORMATA DI FOURIER 7 3 f = [. 5.] Hz, A = [2..] V 2 Ampiezza [V] 2 Coefficients Magnitude tempo [s] f s = 52. Hz, N fft = 52, t o =. s Frequency [Hz] Figura 4: Spettro corretto 3 f = [.3 5.] Hz, A = [2..] V 2 Ampiezza [V] 2 Coefficients Magnitude tempo [s] f s = 52. Hz, N fft = 52, t o =. s Frequency [Hz] Figura 5: Leakage

8 3 ESERCIZIO TRASFORMATA DI FOURIER 8 3 f = [. 5.] Hz, A = [2..] V 2 Ampiezza [V] 2 Coefficients Magnitude tempo [s].5.5 f s = 22. Hz, N fft = 22, t o =. s Frequency [Hz] Figura 6: Aliasing f = [. 5.] Hz, A = [2..] V Ampiezza [V] 5 5 Coefficients Magnitude tempo [s] f s =. Hz, N fft =, t o =.9 s Frequency [Hz] Figura 7: Spettro di un segnale affetto da rumore

9 4 NOTE: FINESTRATURA 9 4 Note: finestratura Per ridurre il fenomeno del leakage, è possibile pre trattare il segnale tramite l uso di una finestra temporale che permette di eliminare la discontinuità fra l inizio e la fine della storia temporale acquisita permettendo di avere un segnale più periodicizzabile. (Ad esempio in Matlab si veda l help delle funzioni hanning, hamming, boxcar, blackman, eccetera). 5 Note: averaging Data una storia temporale con N campioni, non è necessario utilizzare un numero di punti della fft pari ad N, specialmente quando questo è grande. Del resto Storiatemporalex(t) non ha neanche senso acquisire una storia temporale lunghissima per poi scartarne la maggior parte. Per questo solitamente si procede al calcolo di più fft su finestre consecutive della storia temporale per poi fare la media finestrafft(numeropunti) dei coefficienti. Questo porta anche ad un benefico effetto di riduzione del rumore. Tale processo è detto averaging. Storiatemporalex(t) fft_ fft_2 media fft_3 fft_4 (averaging Figura 8: Averaging

10 6 NOTE: ZERO PADDING 6 Note: zero padding Storiatemporalex(t) finestrafft(numeropunti) Viceversa, quando la storia temporale ha un numero di campioni minore rispetto al numero di coefficienti della fft richiesti, l algoritmo allunga il vettore fino a farlo coincidere con nfft e riempiendo la parte mancante con degli zero. Tale operazione è nota col nome di zero padding. Figura 9: Zero padding 7 Riepilogo Quando si ha la necessità di acquisire dei segnali per poi analizzarli nel dominio delle frequenze, è necessario stabilire a priori alcune caratteristiche della catena di misura in base alle specifiche richieste. Specifiche Risoluzione in frequenza Ampiezza della banda di interesse Parametri Frequenza di campionamento (ampiezza banda/aliasing) Tempo di acquisizione (risoluzione/leakage) Numero di punti della fft (risoluzione) 8 Esercizio Creare 3 serie di segnali a proprio piacimento e analizzarli nel dominio della frequenza (si utilizzino segnali di base come l onda quadra (square), l onda a dente di sega (sawtooth) e onde sinusoidali (sin)).