Appunti Esercitazioni per il corso di Telecomunicazioni Stefano Savazzi

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1 Appunti Esercitazioni per il corso di Telecomunicazioni Stefano Savazzi Parte 1 Trasformata discreta di Fourier - DFT per segnali sinusoidali Si calcoli la trasformata discreta di Fourier (DFT) dei primi campioni di un segnale discreto costante di ampiezza B infatti per k 6 0 (k) B exp( jπ k n)bδ k exp jπn k ½ per k 0 δ k 0 per k 6 0 exp jπn k cos(πn k ) j sin(πn k )0 in quanto entrambe le somme sono eseguite su k 6 0periodi ( campioni) delle rispettive sinusoidi. Si calcoli la trasformata discreta di Fourier (DFT) del segnale cos(πn p )w [n],,..., 1 con p 1,..., 1, w [n] u(n) u(n ). Dalla definizione (k 0,..., 1) (k) 1 cos(πn p )exp( jπ k n) exp(jπn p )+exp( jn p ) exp( jπn k p )+1 exp( jπ k n) exp( jπn k + p ) si ha (k) δ k p + ½ / per k p e k p δ k +p 0 altrimenti Infatti per k 0,..., 1 e. exp jπn exp jπn ½ (k p) per k p δ k p 0 altrimenti (k + p) δ k +p ½ per k p. 0 altrimenti Si noti che per k 6 p il segnale exp ³ jπn (k p) cos(πn (k p) sinusoidi (parte reale e immaginaria) che fanno k p giri in campioni, la somma e nulla, quindi exp jπn (k p) per k 6 p cos(πn (k p) ) j ) j sin(πn(k p) ) ècostituitodadue (k p) sin(πn )0 1

2 Vale la stessa cosa per P exp ³ cos(πn (k+p) ) j sin(πn(k+p) ) inoltre exp jπn (k + p) jπn (k+p) per k 6 p ³,infattiperk 6 p il segnale exp cos(πn (k + p) ) j (k + p) sin(πn )0 jπn (k+p) pochèlasommaèeseguitasuunk 6 p cicli delle sinusoidi. Ovviamente per k p exp jπn p + p Convoluzione circolare di DFT exp ( jπn) Si calcoli la DFT di z n cos(π16 n )cos(πn ), 0 n 15, 16. La sequenza z n x n y n è il prodotto di due sequenze, la DFT di z n è quindi la convoluzione circolare delle DFT delle due sequenze x n e y n ovvero (k) e Y (k), rispettivamente (si deve anche tener conto di un fattore di scala pari a 1/ ) DFT[z n ]Z(k) 1 (k) ~ Y (k) Il calcolo della convoluzione circolare richiede 1) il calcolo della convoluzione lineare (e scalatura di 1/ ) S(k) (1/ ) (k) Y (k) tra i singoli periodi {(k)} k0 e {Y (k)} k0 delle due DFT ) periodicizzazione di S(k) a passo campioni 3) Z(k) S(k) k0,..., Come visto nell esercizio precedente La convoluzione lineare tra (k) Y (k) La periodicizzazione a passo DFT[x n ] DFT[cos(π n 16 )] (k) 8δ k 1 +8δ k 15 DFT[y n ] DFT[cos(π n )] Y (k) 8δ k 4 +8δ k 1 S(k) (1/ ) (k) Y (k) 1 16 [8δ k 1 +8δ k 15 ] 8δ k 4 +8δ k [8δ k 1 +8δ k 15 ] 8δ k [8δ k 1 +8δ k 15 ] 8δ k δ k 5 + δ k 19 + δ k 13 + δ k 7 S(k) p δ k 5+p16 + δ k 13+16p + δ k 3+16p + δ k 11+16p Z(k) 1 4 [δ k 3 + δ k 5 + δ k 11 + δ k 13 ],k0,...,15 Per verificare il risultato possiamo verificare che z n cos(πn16 1 )cos(πn ) 1 cos(6π 16 n )+ 1 la DFT e la somma delle due DFT dei segnali sinusoidali. n10 cos(π 16 ), quindi

3 3 Campionamento in frequenza della TdF di sequenze Si spieghi qual e la procedura per calcolare i campioni della trasformata di Fourier del segnale x n cos(πn 3 16 )w 16[n] per Φ k/18 con k 63,...,+64 usando la DFT. E noto che i campioni della DFT ( campioni) coincidono con il campionamento a passo k/, k 0,..., 1 della TdF (Φ) del segnale discreto x n, ovvero (k) (Φ) Φk/ con 16. Dato che serve una risoluzione in frequenza maggiore calcoliamo la trasformata discreta di Fourier del segnale cos(πn16 3 ) per n 0,...,15 in cui si aggiungono P campioni nulli alla fine della sequenza (x n cos(πn16 3 )[u(n) u(n 16)]), come noto dalla teoria cio equivale a sovracampionare in frequenza la trasformata di Fourier di x n apassok/18. Il numero di campioni della DFT vale ora 18, (k) 15 cos(πn 3 16 )exp( jπ k 18 n) In figura 1 si e confrontato il risultato ottenuto (DFT 18 campioni - la linea tratteggiata unisce i campioni Figura 1: ottenuti) con la DFT del segnale di lunghezza 16 campioni (campioni in blu). Il codice e mostrato in figura. Si calcoli la trasformata di Fourier di x n in forma algebrica e si confronti il risultato con la DFT su 64 campioni. La trasformata di x n si puo calcolare anche algebricamente x n cos(πn 3 16 )[u(n) u(n 16)] (Φ) 1 δ Φ δ Φ + 3 sin(16πφ) 16 sin(πφ) exp( j15πφ) ed è plottata in Fig. 3 (linea scura) a confronto con la DFT calcolata per 64 campioni (campioni in rosso).. LaDFTinFig.3none altroche(φ) Φk/64 (k). 4 Traslazione circolare e DFT Sia dato il segnale discreto di 5campioni x n δ n δ n 1 +3δ n δ n 3 + δ n 4. Detta { k } 4 k0 la DFT della sequenza x n si trovi l espressione della sequenza y n chehacomedft Y k k exp(j4πk/5), k 0,...,4. 3

4 Figura : Figura 3: 4

5 Risolviamo prima l esercizio algebricamente, poi lo verifichemo tramite Matlab. Moltiplicare la DFT di x n per exp(jπkn 0 /5) equivale nei tempi a traslare la sequenza x n n 0 campioni (verso sinistra - anticipo), ovvero x n n0 circolare DFT k exp(jπkn 0 /5) Per ottenere la traslazione circolare della sequenza, occorre ricordare che la trasformata di Fourier della sequenza x n periodicizzata a passo 5, x n P + p x n 5p e descritta dai soli campioni della DFT k di x n (la trasformata e infatti un segnale discreto e periodico di campioni, dove il periodo e cosituito dai campioni dell DFT { k } k0 - si veda la teoria). E noto dalla propieta del ritardo che x n+q k exp(j πkq ) el nostro caso q infatti x n+ k exp(j 4πk 5 ) quindi la sequenza y n con DFT k exp(j 4πk 5 ) e il periodo base (es tra 0 e 1) del segnale discreto periodico x n+, ovvero y n 3δ n δ n 1 + δ n + δ n 3 δ n 4. y n si puo ottenere equivalentemente applicando una traslazione circolare asinistradiq campioni del segnale discreto x n. Le sequenza x n e y n sono visualizzate in Fig 4 y n 6 x n+ OTA BEE!! ỹ n x n+,y n [ỹ n ],..., SI!! Il codice Matlab per risolvere l esercizio e mostrato in Fig. 5 (file matlab: traslazione_circolare.m). 3 x n, DFT ( k ) x(n) x~n y n, DFT ( k ) exp( j 4 π k / 5) y(n) x n ~ y ~ n x n+ y n Figura 4: 5 DFT della sequenza ritardata Si consideri la sequenza di lunghezza x 5x n δ n δ n 1 +3δ n δ n 3 + δ n dell esercizio precedente. Si descriva una procedura per ricavare la sequenza ritardata di q campioni x n q apartiredax n usando la DFT (k). Un traslazione circolare può coincidere con una traslazione lineare solo inserendo nella sequenza x n un numero opportuno di campioni nulli in modo da annullare l effetto del ricircolo dei campioni dovuto alla 5

6 Figura 5: circolarita della traslazione. La seguente procedura consente di ottenere la DFT di x n q apartiredalladft della sequenza x n in cui si sono aggiunti un numero opportuno di zeri: 1) inserire P q zeri alla sequenza x n, la sequenza (quindi il periodo base se si considera il segnale discreto periodicizzato) è ora composta da x + P campioni ) (k) P x n exp( jπkn/) èladftdix n dopo l aggiunta di zeri (k 0,..., 1) 3) Z(k) (k)exp( j πkq ) èladftdix n q (k 0,..., 1) Codice Matlab in figura 6 per il caso q (M-file: traslazione_lineare.m) Figura 6: 6 ConvoluzionecircolaredisequenzeeDFT Si consideri la sequenza x n δ n +δ n 1 +3δ n +4δ n 3 +5δ n 4,conDFT (k), sicalcoli 1) la sequenza z n che ha DFT (k); ) la sequenza q n che ha DFT (k) ; 3) la sequenza p n che ha DFT (k) (il simbolo sta per complesso coniugato) 6

7 1) Si utilizza la proprietà del prodotto di DFT: DFT[z n x n ~ x n ] (k) dove (k) e la DFT di x n. La sequenza z n chehacomedft (k) si ottiene dalla convoluzione circolare z n x n ~ x n.ilcalcolodiz n viene svolto in tre passi: a) calcolo della convoluzione lineare c n x n x n δ n +4δ n 1 +10δ n +0δ n 3 +35δ n 4 +44δ n δ n 6 +40δ n 7 +5δ n 8 (lunghezza della convoluzione 19campioni) b) periodicizzazione della convoluzione lineare: z n P + p c n 5p 1. c) valutazione del singolo periodo, la sequenza z n { z n } 4 45δ n +50δ n 1 +50δ n +45δ n 3 +35δ n 4 ha DFT (k) ) E noto che la DFT dell autocorrelazione circolare della sequenza x n vale (k), ovvero il modulo quadro dei campioni della DFT di x n DFT[q n x n ~ x n] (k) dove q n x n ~ x n.come nel punto precedente, il calcolo di q n viene svolto in tre passi: a) calcolo dell autocorrelazione della sequenza x n : a n x n x n 55δ n +40δ n 1 +40δ n+1 +6δ n + 6δ n+ +14δ n 3 +14δ n+3 +5δ n 4 +5δ n+4 (si noti che l autocorrelazione è una funziona pari) b) periodicizzazione dell autocorrelazione per ottenere l autocorrelazione della sequenza periodica: q n P + p a n 5p. c) q n q n,...,4 55δ n +45δ n 1 +40δ n +40δ n 3 +45δ n 4 ha DFT (k). Si noti che la sequenza periodica (autocorrelazione) q n èrealepari,lasuatrasformata(periodicaecostituita dai campioni (k) k 0,..., 1 come periodo base) è reale e pari. 3) La sequenza periodica p n x n ha trasfomata di Fourier (discreta e periodica) descritta dagli campioni della DFT (k), k0,.., 1. Il periodo base p n n 0,..., 1 di p n x n ha DFT (k), k 0,.., 1.La sequenza p n vale p n δ n +5δ n 1 +4δ n +3δ n 3 +δ n 4 ehadft (k). Le sequenze z n,q n,p n sono mostrate in figura 7, il codice e riportato in figura8(m-file: prodottodft.m) 7 Convoluzione lineare di sequenze tramite prodotto di DFT Si consideri la sequenza di x 3campioni x n δ n +δ n 1 + δ n,condft(k), e la sequenza w(n), finestra rettangolare di w campioni. Si calcoli la DFT della sequenza y n x n w(n). La DFT della convoluzione lineare di due sequenze coincide con il prodotto delle DFT delle sequenze in cui si e aggiunto un numero opportuno di zeri in modo che la convoluzione circolare x n ~ w(n) coincida con quella lineare nel singolo periodo. In particolare, dato che la lunghezza di y n x n w(n) e pari a x + w campioni, e sufficiente aggiungere x 1zeri a x n e w zeri a w(n).le due DFT (k),w(k), k0,..., 1, sono (k) W (k) x n exp( jπ nk ) 3 x n exp( jπ nk )1+exp( jπk )+exp( jπk) [4, j, 0, j] w(n)exp( jπ nk )1+exp( jπk )cos(π k 4 )exp( jπk 4 )[, cos(π 1 4 )exp( jπ1 4 ), 0, cos(π 3 4 ) e La DFT della sequenza y n x n w(n) δ n +3δ n 1 +3δ n + δ n 3 vale quindi (k)w (k) [8, 4j cos(π 1 4 )exp( jπ1 4 ), 0, 4j cos(π 3 4 )exp( jπ3 4 )] 1 Si noti che il segnale discreto e periodico z n ha TdF discreta e periodica di periodo 5campioni, descritta dagli campioni della DFT del periodo base z n, ovvero (k) Si noti che il segnale discreto e periodico q n ha TdF discreta e periodica di periodo 5campioni, descritta dagli campioni della DFT del periodo base q n, ovvero (k) 7

8 Figura 7: Figura 8: 8