Corso di SEGNALI a.a Corso di SEGNALI. anno accademico Convoluzioni e Correlazioni discrete: esercizi d esame

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1 Corso di SEGNALI anno accademico Convoluzioni e Correlazioni discrete: esercizi d esame 1. Si calcoli la convoluzione delle seguenti sequenze per n = -2, -1,, 3: x(n) = cos (π n /2) y(n) = sin (3 π n /2) Successivamente si calcoli il valore della cross-correlazione Cxy(n) e si verifichi la validità della disuguaglianza di Schwartz. SOLUZIONE Per calcolare la convoluzione richiesta, sequenza che indicheremo con z(n), dapprima calcoliamo i valori che x(n) ed y(n) assumono al variare di n: 1 x(n) = [ ], per n = -2, -1,, 3 y(n) = [ ], per n = -2, -1,, 3 E ora immediato calcolare la convoluzione con il procedimento grafico (come somma di prodotti) ottenendo il risultato riportato in figura. Ovvero: z(n) = [ ], per n = -4,, 6 Allo stesso modo procediamo al calcolo della cross-correlazione secondo la definizione:

2 Cxy(n) = x * (-n) * y(n) Ottenendo quindi il risultato di figura: Cxy(n) = [ ], per n = -5,, 5 Verifichiamo che valga per ogni n la disuguaglianza di Schwartz. A tal proposito calcoliamo le autocorrelazioni di x(n) ed y(n), ottenendo: Cxx(n) 2 Cyy(n)

3 NOTA: si noti come le due autocorrelazioni siano, come da definizione, simmetriche e con il massimo nell origine (= energia della sequenza!!). Si noti, inoltre, come le due autocorrelazioni siano identiche in quanto l autocorrelazione di una funzione sinusoidale, dovendo essere pari, simmetrica e con un massimo nell origine, non può che essere ancora una funzione sinusoidale ed avere quindi l andamento di una funzione pari (tipo sinc)!! Per verificare la disuguaglianza di Schwartz, basterà ora verificare che: ( ) ( ) ( ) C n C 0 C 0, n xy xx yy prendiamo come esempio il valore di n per cui la cross-correlazione è massima ottenendo: n = 3, Cxy(3) = 2 che risulta < (3 x 3) ½, ovvero (2< 3), Q.E.D. C n C 0 C 0, n. NOTA: si noti come la disuguaglianza di Schwartz resti valida anche per la crosscorrelazione di y(n) con x(n): ( ) ( ) ( ) yx xx yy 3

4 2. Si calcoli la convoluzione delle seguenti sequenze per n = -3, -1,, 4: x(n) = sinc (n- ½) y(n) = e jπ n + e -jπ n Successivamente si calcoli il valore della cross-correlazione Cyx(n) e si verifichi la validità della disuguaglianza di Schwartz. SOLUZIONE Per calcolare la convoluzione richiesta, sequenza che indicheremo con z(n), dapprima calcoliamo i valori che x(n) ed y(n) assumono al variare di n: x(n) = [ ], per n = - 3, -1,, 4 y(n) = 2 cos (π n) = [ ], per n = -3, -1,, 4 E ora immediato calcolare la convoluzione con il procedimento grafico (come somma di prodotti) ottenendo il risultato riportato in figura. 4 Ovvero: z(n) = [ ], per n = -6,, 8 Allo stesso modo procediamo al calcolo della cross-correlazione secondo la definizione:

5 Cxy(n) = y * (-n) * x(n) Ottenendo quindi il risultato di figura C yx(n) = [ ], per n = -7,, 7 Verifichiamo che valga per ogni n la disuguaglianza di Schwartz. A tal proposito calcoliamo le autocorrelazioni di x(n) ed y(n), ottenendo: Cxx(n) 5 Cxx(n) = [ ], per n = -7,, 7 Cyy(n)

6 Cyy(n) = [ ], per n = -7,, 7 Per verificare la disuguaglianza di Schwartz, basterà ora verificare che: ( ) ( ) ( ) C n C 0 C 0, n yx xx yy prendiamo come esempio il valore di n per cui la cross-correlazione è massima ottenendo: n = -4, Cxy(-4) = che risulta < ( x 32) ½, ovvero (2.1342< ), Q.E.D. 6

7 3. Si calcoli la convoluzione delle seguenti sequenze per n = -3, -1,, 4: x(n) = e jπ n y(n) = e -j π n Successivamente si calcoli il valore della cross-correlazione Cxy(n) e si verifichi la validità della disuguaglianza di Schwartz. SOLUZIONE Per calcolare la convoluzione richiesta, sequenza che indicheremo con z(n), dapprima calcoliamo i valori che x(n) ed y(n) assumono al variare di n: x(n) = [ ], per n = -3, -1,, 4 y(n) = [ ], per n = -3, -1,, 4 E ora immediato calcolare la convoluzione con il procedimento grafico (come somma di prodotti) ottenendo il risultato riportato in figura. 7 Ovvero: z(n) = [ ], per n = -6,, 8 Allo stesso modo procediamo al calcolo della cross-correlazione secondo la definizione: Cxy(n) = x * (-n) * y(n) Ottenendo quindi il risultato di figura

8 Cxy(n) = [ ], per n = -7,, 7 Verifichiamo che valga per ogni n la disuguaglianza di Schwartz. A t calcoliamo le autocorrelazioni di x(n) ed y(n), ottenendo sono identiche): Cxx(n) o Cyy(n) al proposito (le due autocorrelazioni 8 Cxx(n) = [ ], per n = -7,, 7 Per verificare la disuguaglianza di Schwartz, basterà ora verificare che: ( ) ( ) ( ) Cxy n Cxx 0 Cyy 0, n prendiamo come esempio il valore di n per cui la cross-correlazione è massim ottenendo: a n = 0, C xy(0) = 8 che risulta = (8 x 8) ½, ovvero (8 = 8), Q.E.D.