Campi conservativi ed energia potenziale

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1 Campi conservativi ed energia potenziale Definizione di campo conservativo Come abbiamo visto, la formula L= AB fornisce il lavoro compiuto dalla forza del campo nello spostamento di un corpo materiale da a a B lungo l'arco di curva. A tale proposito, sussiste una interessante proprietà: percorrendo la stessa curva, ma in senso inverso, cioé da B ad A, si inverte il segno del lavoro: AB =- BA Per convincersene, basta pensare a come è definito l'integrale del lavoro, cioé come limite della somma dei lavori elementari: se percorriamo la stessa curva in verso opposto, ogni singolo tratto verrà percorso in senso inverso, dunque darà alla somma finale un contributo identico in modulo ma di segno opposto, per cui sussiste la formula sopra riportata. Fissiamo ora l'attenzione su due punti A e B del campo ed uniamoli con due curve diverse tra loro: e 2. Ci chiediamo se ci sia un qualche motivo per cui debba risultare necessariamente = 2 Dopo qualche riflessione, ci rendiamo conto che un motivo valido in realtà non c'é: anche se il punto iniziale resta sempre A ed il punto d'arrivo resta ancora B, cambiando curva può cambiare il risultato. Per i più scettici, ecco un esempio. Consideriamo il campo F 3 x 2 y, x e scegliamo come punto iniziale A, 0 e come punto d'arrivo B, 0. Calcoliamo una prima volta il lavoro lungo il segmento che ha per estremi A e B: il risultato è 0. Come seconda curva (gli estremi devono essere gli stessi, e nello stesso ordine) scegliamo la semicirconferenza di centro l'origine e raggio. Su questo secondo arco il lavoro calcolato è pari a Π J, quindi diverso dal precedente! 8

2 2 Campi Conservativi e teorema del lavoro.nb 2 0 A B 2 Possiamo dare per accertato il fatto che, in generale, il lavoro compiuto nello spostamento tra due punti di un campo dipende anche dalla curva, e non solo dai due estremi. Esistono, tuttavia, campi di forze in cui le cose stanno diversamente: vale a dire il lavoro fra due estremi A e B dipende soltanto da tali punti e mai dalla curva percorsa. Si tratta, come abbiamo visto, di un fatto non comune, e che quindi merita un nome: chiameremo conservativi quei campi in cui questa circostanza si verifica, attenzione, per ogni coppia di punti. Conservatività e curve chiuse La proprietà espressa dalla formula AB =- BA consente di esprimere la conservatività di un campo in modo particolarmente interessante. Consideriamo infatti una curva chiusa nel campo, che supponiamo conservativo. Se su individuaimo due punti A e B scelti a caso, allora possiamo individuare un tratto di, che va da A a B, da indicare con, ed un altro tratto, che da B torna ad A, che indicheremo con 2. Ora, avendo supposto il campo conservativo, il avoro lungo il primo tratto e quello lungo il secondo tratto risulteranno uguali ed opposti, dunque la loro somma risulterà nulla. Viceversa, se il campo non è conservativo, allora esiste almeno una coppia di punti, diciamo P e Q, tali che il lavoro da P a Q sia diverso su almeno due curve, chiamiamole Γ e Γ 2. Ma le due curve, percorse in successione, portano da P a Q e poi di nuovo in P, quindi formano un ciclo chiuso (con una piccola complicazione se si intrecciano, peraltro facilmente risolvibile). Quanto viene il lavoro su questo ciclo? Zero non può venire, perché i lavori su Γ e Γ 2 sono diversi, quindi la loro somma non può essere nulla. Tiriamo le somme: nella prima parte abbiamo dimostrato che se il campo è conservativo allora qualunque integrale su curva chiusa deve venire 0; nella seconda parte è mostrato che, se il campo non è conservativo, allora esiste un integrale su curva chiusa diverso da zero. Resta quindi dimostrato che condizione necessaria e sufficiente affinché un campo sia conservativo è che l'integrale del lavoro su qualunque curva chiusa sia uguale a zero: Campo conservativo 0

3 Campi Conservativi e teorema del lavoro.nb 3 Condizioni affinché un campo sia conservativo Si tratterebbe adesso di individuare quali caratteristiche debba presentare il campo per essere conservativo. Il problema, nella sua formulazione generale, non è affatto semplice: nella presente trattazione ci limiteremo a campi le cui componenti siano espresse da funzioni polinomiali in x ed y. Tali campi rientrano in una categoria per la quale è possibile applicare un test relativamente semplice, basato su un teorema di analisi vettoriale chiamato Teorema di Schwartz. Limitatamente ai campi sopra specificati, è condizione necessaria e sufficiente perché il campo F X x, y, Y x, y sia conservativo è che risulti X Y y x Ne deriva un metodo per accertare se un campo (sempre nei limiti che ci siamo dati) è conservativo: ad esempio il campo F 2 xy, x 2 è conservativo, infatti derivando 2xy rispetto ad y otteniamo 2x, che è uguale alla derivata di x 2 rispetto ad x. Facciamo un altro esempio: F xy, xy 2 : la derivata di xy rispetto ad y è x, mentre la derivata di xy 2 rispetto ad x è y 2, diversa dalla precedente, quindi il campo è non conservativo. L'energia potenziale Abbiamo dato l'attributo conservativo ad un campo se l'integrale del lavoro risulta dipendere soltanto dal punto iniziale e dal punto finale ma non dalla curva seguita per unirli. Scegliamo alllora un punto A arbitrario nel campo, e calcoliamo l'integrale del lavoro da A ad un altro punto P. Il valore che viene fuori, per quanto detto, dipende esclusivamente da P, e tale discorso può ripetersi per ogni punto del campo. Resta quindi definita in ogni punto del campo una funzione, che prende il nome di energia potenziale, solitamente indicata con la lettera U. Per la verità, la definizione di energoia potenziale è la seguente: U P U A A P La scelta del segno negativo deriva dal fatto che si vuole che l'energia potenziale diminuisca quando le forze del campo compiono lavoro, aumenti in caso contrario. L'energia potenziale elastica Consideriamo una molla di costante elastica k che viene compressa della lunghezza x. Dal momento che la forza e lo spostamento sono sulla stessa retta il prodotto scalare diventa un prodotto ordinario. Posta l'energia potenziale uguale a zero quando la molla si trova nella sua posizione di riposo, si avrà: L'energia potenziale della forza peso U x 0 x kx x 2 kx2 La forza peso può essere ritenuta all'incirca costante e data da F mg, diretta lungo l'asse z (il segno negativo indica che è rivolta verso il basso). Poniamo l'energia potenziale nulla al livello del mare; otteniamo: L'energia potenziale della forza gravitazionale U z 0 z mg z mgz La forza gravitazionale tra due corpi di masse m ed m 2 separati dalla distanza r è data da F G m m 2 r 2 Si noti che la forza è radiale, quindi qualunque spostamento che non vari la distanza tra iu due corpi non determina lavoro. Per comodità, poniamo nulla l'energia potenziale quando la distanza tra le masse è infinita. Otteniamo: Calcolo dell'energia potenziale U R R G m m 2 r 2 r Gm m 2 R r Gm m 2 R Dato un campo conservativo, vogliamo trovare l'espressione della sua energia potenziale. Spieghiamo con un esempio come si fà. E' dato il campo F 2 xy 3, 3 x 2 y 2. Verifichiamo che. Poniamo

4 4 Campi Conservativi e teorema del lavoro.nb U 0 0 e calcoliamo l'energia potenziale in P x, y come l'opposto del lavoro da O a P. Per effettuare il calcolo, utilizziamo due segmenti: il primo orizzontale, che va dal punto O 0, 0 al punto P x, 0 ; il secondo verticale, che congiunge P x, 0 con P x, y. L'espressione parametrica del primo segmento è x t OP : y 0 da cui ds, 0 dt. Ne deriva per l'integrale: OP OP 0 s 0. Invece, lungo il 0 t x x x secondo segmento si ha: OP 2 : y t 0 t y da cui ds 0, dt. Calcoliamo l'integrale: P P 2 0 y 2 xt 3, 3 x 2 t 2 0, t 0 y 3 x 2 t 2 t x 2 0 y 3 t 2 t x 2 t 3 0 y x 2 y 3 Per la funzione energia potenziale otteniamo quindi U x, y 0 x 2 y 3 x 2 y 3 Legame fra energia potenziale e campo di forze - il gradiente Un'interessante conseguenza della definizione di energia potenziale, che purtroppo non possiamo dimostrare, è sintetizzata dalla formula dove F grad U grad U U x, U y Come detto, possiamo soltanto verificare questa formula, ma non dimostrarla. Nel caso visto sopra avevamo trovato U x, y x 2 y 3 da cui U x che è esatto. In conclusione, si può scrivere 2 x e U y 3 x2 y 2. Quindi, come si può facilmente verificare, F grad U U x, U y 2 x, 3 x2 y 2 A B grad U s U B U A che è la versione vettoriale del teorema fondamentale del calcolo integrale. Il Teorema del lavoro e dell'energia cinetica - L'energia meccanica totale Il teorema del lavoro Come sappiamo, il lavoro elementare svolto dalla forza F lungo lo spostamento infinitesimo ds è dato da dl F ds Come sappiamo, dalla seconda legge di Newton si ha F m a m v che sostituiamo, ottenendo dl m v ds m d s d v m v dv t dt Se ora calcoliamo tale lavoro lungo una curva tra due punti A e B, otteniamo L AB A B m v v 2 m v2 A B 2 m v B 2 2 m v A 2 La quantità 2 m v2, che dipende dalla velocità v, prende il nome di energia cinetica e di solito si indica con la t

5 Campi Conservativi e teorema del lavoro.nb 5 2 lettera k. Con questa simbologia, il teorema del lavoro e dell'energia cinetica si esprime con la seguente formula: L AB K B K A Si noti che questo teorema non richiede la conservatività del campo. L'energia meccanica totale Nei campi conservativi, il teorema del lavoro e dell'energia cinetica, accanto alla definizione di energia potenziale: consente di scrivere per confronto: L AB K B K A U B U A L AB U A U B K B K A U A K A U B K B e dal momento che i punti A e B sono completamente arbitrari, si conclude che nei campi conservativi la somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica è una quantità costante. Tale quantità, che è somma di energie, dunque anch'essa un'energia, prende il nme di Energia Meccanica Totale e si indica solitamente con la lettera E, per cui: E U K costante Questa formula ci dice che, in un campo conservativo, all'aumentare del'enrgia cinetica diminuisce in misura uguale l'energia potenziale e viceversa, in quanto la somma delle due si mantiene costante.