Corso di Fisica generale

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1 Corso di Fisica generale Liceo Scientifico Righi, Cesena Anno Scolastico 2014/15 3B Appunti su Forze Conservative, Dissipative, e conservazione della Energia Totale di un Sistema Riccardo Fabbri 1 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

2 Forze Conservative Quando il lavoro di una forza non dipende dal percorso fatto, ma solo dagli estremi del percorso, ovvero dal punto di partenza e di arrivo del punto materiale la forza è detta conservativa In questa situazione il lavoro può essere naturalmente espresso come differenza di una funzione U dipendente solo dalle coordinate dei punti: L A B = U A U B La funzione U (P)= U(x, y, z), indicando con P un punto generico, è detta Energia Potenziale della forza conservativa considerata Osserviamo come l'energia potenziale sia definita a meno di una costante arbitraria, ovvero come dal punto di vista fisico sia ininfluente l'aggiunta di una costante Aggiungendo infatti una costante U 0 alla funzione U P U P U ' P = U P +U 0, risulta immediatamente che il lavoro fatto da una forza conservativa è invariante rispetto a questa ridefinizione della energia potenziale: L A B = U A U B =(U ' A U 0 ) (U ' B U 0 )= U ' A U ' B Quindi, per una forza conservativa il lavoro eseguito per portare un corpo Riccardo Fabbri 2 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

3 dalla posizione A alla posizione B è uguale alla differenza della rispettiva energia potenziale: L A B = Δ U BA = (U B U A ) La funzione Energia Potenziale esiste (è definita) solo per le forze conservative Osserviamo che gli estremi A e B del percorso coincidono (circuito chiuso) il lavoro è nullo La forma funzionale dell'energia potenziale può essere determinata considerando caso per caso la forza in gioco Esempi di Forze Conservative: Forza Peso Con la forza peso l'individuazione dell'energia potenziale è immediata Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano con il verso positivo dell'asse delle ordinate rivolto verso l'alto; in questo caso la forza peso è F(P)= mg ẑ in ogni punto P sulla e nei pressi della superficie terrestre ( ẑ è il vettore di modulo unitario con direzione e verso dell'asse delle ordinate) Sia un corpo di massa m lasciato cadere dal punto A al punto B Riccardo Fabbri 3 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

4 Dalla definizione di lavoro risulta L A B = F Δ S= mg ẑ Δ S = mg ẑ ( h B ẑ h A ẑ) = +mg h A mg h B = +mg( h A h B )= mg h Dimostriamo che la forza Peso è effettivamente conservativa, ovvero che il lavoro fatto da questa forza non dipende dal particolare percorso eseguito Supponiamo, senza perdere di generalità, un percorso come in figura, e calcoliamo esplicitamente il lavoro nel percorso AC + CB: L A C B = F Δ S AC +CB = F ( Δ S AC + Δ S CB ) = F Δ S AC + F Δ S CB = mg Δ S AC cosθ 1 + mg Δ S CB cosθ 2 = mg h AC + mg h CB = mg h Il lavoro eseguito dalla forza peso sul corpo è quindi indipendente dal percorso eseguito, e la forza è conservativa Possiamo definire la funzione Riccardo Fabbri 4 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

5 energia potenziale di un corpo di massa m in un punto P =(x, y, h P ) come U P = mg h P dipendente soltanto dall'altezza h P del corpo dal suolo, da cui L = Δ U p In modo simile a quanto visto con la forza peso, si può dimostrare che anche le forze uniformi (costanti nei punti dello spazio) sono conservative; una forza costante in modulo, direzione e verso (come la forza peso) è un esempio di forza uniforme Esempi di Forze Conservative: Forza Elastica Supponiamo un corpo materiale vincolato alla estremit à libera di una molla di massa trascurabile (consideriamo l'altra estremit à della molla fissata rigidamente ad un supporto) Inizialmente la molla non è deformata, ed il corpo non è soggetto ad alcuna forza lungo l'asse della molla Spostiamo ora il corpo ad una distanza x dalla posizione di equilibrio O; la molla così deformata esercita sul corpo la forza elastica F = k x diretta verso il centro x O = 0 della forza, punto di equilibrio della molla Questa forza equilibra la forza esterna applicata per portare il corpo nella posizione x La forza elastica varia con la deformazione della molla, e, nel calcolo del lavoro fatto, non possiamo usare il formalismo dato per una forza costante Riccardo Fabbri 5 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

6 Lo strumento matematico degli integrali permetterà di trattare il lavoro finito come "somma" di lavori su tratti infinitesimi, considerando lo spostamento finito come somma di infiniti spostamenti infinitesimi nei quali la forza può essere considerata costante Determiniamo qui il lavoro fatto dalla forza elastica quando la molla è lasciata libera di ritornare nella posizione di equilibrio (una volta rilasciata la molla) mediante la sua rappresentazione geometrica nel piano cartesiano F vs x, ovvero come l'area (cambiata di segno) sottesa dalla funzione forza durante uno spostamento generico Δ x = x B x A Geometricamente si ricava che l'area sottesa è L A B = ( 1 2 kx x 1 B B 2 kx x )= ( 1 A A 2 kx 2 1 B 2 kx 2 )= 1 A 2 kx 2 1 A 2 kx 2 B Osserviamo che l'espressione trovata ci permette di affermare che la forza elastica è conservativa; il lavoro compiuto dipende solo dalle posizioni iniziale e finale, e non dal particolare percorso eseguito Riccardo Fabbri 6 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

7 Nel caso in cui il punto di equilibrio x O della molla non sia nell'origine si ricaverebbe, in modo simile, che L A B = ( 1 2 k( x x B 0 )2 1 )2) 2 k( x x A 0 Da quanto ricavato è naturale definire energia potenziale elastica di una molla sottoposta ad una deformazione Δ x = x x la quantità 0 U e = 1 2 k Δ x2, da cui L = Δ U e Benché non trattate direttamente in questi appunti, dobbiamo comunque menzionare altre due importanti forze conservative, la forza gravitazionale F g m 1 m 2 2 d 12 r 12, agente tra due masse m 1 m 2 poste a distanza d 12, e la forza elettrostatica e F e q q d 12 d 12 r 12, agente tra due cariche q 1 e q 2 poste a distanza Riccardo Fabbri 7 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

8 Conservazione dell'energia Meccanica Abbiamo visto che ad ogni risultante di forze agenti su un corpo corrisponde un lavoro uguale alla sua variazione di energia cinetica, L = Δ K = K B K A Questa conseguenza è indipendente dal tipo di forze agenti Nel caso di una forza conservativa il lavoro risulta essere uguale anche all'opposto della variazione dell'energia potenziale, L = Δ U =U A U B Solo per le forze conservative possiamo uguagliare le due espressioni trovate per il lavoro fatto su un corpo ovvero L = K B K A = U A U B, K A + U A = K B + U B = costante, la somma dell'energia cinetica e potenziale si mantiene costante in ogni stato del corpo Avendo definito questa somma come energia meccanica, concludiamo che in presenza di forze conservative l'energia meccanica si mantiene costante Riccardo Fabbri 8 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

9 Questa proprietà è conosciuta come conservazione dell'energia meccanica: E meccanica = K + U = costante Mantenendosi l'energia meccanica costante deduciamo un trasferimento o trasformazione di energia dalla forma potenziale a quella cinetica, e viceversa, durante il moto del corpo Consideriamo ad esempio il moto di un corpo soggetto alla sola forza elastica Nel punto di massima espansione il corpo inverte il moto; la velocità si annulla e tutta l'energia meccanica si presenta sotto forma di energia cinetica Dopo l'inversione del moto il corpo acquista velocit à a scapito dell'energia elastica Nel punto di equilibrio della molla l'energia potenziale è nulla, e tutta l'energia è sotto forma di energia cinetica Cosa accadrebbe in presenza di più forze conservative agenti sul corpo? Calcoliamo il contributo al lavoro dato dalle diverse forze in gioco nel caso particolare di forze uniformi: L AB = F tot Δ S = F 1 Δ S + + F N Δ S 1 = L AB = U A 1 U B 1 N + + L AB + + U A N U B N Riccardo Fabbri 9 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

10 Per il teorema dell'energia cinetica risulta K B K A = U A 1 U B U A N U B N da cui riotteniamo la conservazione dell'energia meccanica nel caso di pi ù forze agenti con lavoro non nullo K A + U A U A N = K B + U B U B N E = K + 1 N U 1 = costante Nel caso più generico di lavoro possiamo arrivare alle stesse conclusioni usando lo strumento matematico degli integrali Forze Dissipative Definiamo forze dissipative quelle forze per le quali non si conserva l'energia meccanica di un corpo Calcoliamo il lavoro compiuto da una conservativa F c e da una forza non conservativa F nc, considerando per semplicità le due forze costanti L = F tot Δ S = F c Δ S + F nc Δ S = Δ U + L nc Riccardo Fabbri 10 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

11 Per il teorema dell'energia cinetica è L = Δ K e, uguagliando le due espressioni dell'energia per cui Δ U + L nc = Δ K, Δ E mecc = Δ K +Δ U = L nc Quindi, nel caso di lavoro non nullo di una forza dissipativa l'energia meccanica E mecc = K + U non si conserva La forza di attrito è un caso di forza dissipativa ed il suo lavoro è sempre negativo, indipendentemente dal particolare percorso eseguito dal corpo materiale Nel caso di moto orizzontale senza variazione di energia potenziale il corpo osserva, in presenza di attrito, una diminuzione della energia cinetica La forza di attrito bench é costante, non è conservativa, poiché il suo verso di applicazione è sempre contrario al moto Quindi, per esempio, in un percorso chiuso il lavoro complessivo non è nullo Riccardo Fabbri 11 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

12 Conservazione della Energia Totale di un Sistema I corpi macroscopici sono composti a livello microscopico da particelle (molecole e atomi) che possiedono anch'esse le due forme di energia esaminate, cinetica e potenziale: al movimento delle particelle non corrisponde un movimento del corpo da esse costituito, ma quella forma di energia chiamata energia termica L'energia termica posseduta da un corpo è dovuta alla somma dell'energia cinetica di tutte le particelle che lo costituiscono l'insieme di particelle può essere considerato un serbatoio di energia potenziale Tale forma di energia è il risultato delle molteplici interazioni di tipo elettromagnetico che si stabiliscono tra le particelle (legami tra gli atomi, tra gli ioni, tra le molecole, eccetera), e per questo motivo essa viene chiamata energia chimica Si tratta comunque di energia potenziale perché determinata dalla reciproca disposizione delle particelle con le relative interazioni di tipo attrattivo e di tipo repulsivo queste particelle, a loro volta, sono dotate di propria energia interna che comprende tra componenti quali l energia delle interazioni fra elettroni e nucleo negli atomi, l energia nucleare dei legami fra protoni e neutroni all interno dei nuclei, e l energia delle particelle (quark e gluoni) all interno dei protoni e neutroni Riccardo Fabbri 12 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)

13 Il contenuto complessivo di energia delle sostanze è definito energia interna, e si compone di energia cinetica ed energia potenziale delle particelle In presenza di forze dissipative, dove va a finire l'energia meccanica persa dal corpo materiale, non più immediatamente disponibile per il moto? L'energia meccanica che manca si è trasformata in energia interna dei corpi, che di solito è percepita come aumento di temperatura (energia cinetica delle componenti microscopiche) Quindi, l'energia meccanica persa si è trasformata in energia delle molecole del corpo e, nel caso di attrito con una superficie, di quelle del terreno Se nel bilancio energetico consideriamo non solo l'energia meccanica ma anche tutte le altre forme di energia, in un sistema l'energia totale si conserva Questa affermazione, nota come conservazione dell'energia totale, è una conseguenza dimostrabile da principi primi (simmetrie) delle leggi delle interazioni fondamentali Potremmo osservare una variazione della energia totale di un sistema solo lasciandolo interagire con un sistema esterno ad esso Assumendo comunque il macro sistema costituito dai due sistemi isolato da sistemi terzi, allora l'energia totale del macrosistema rimarrebbe conservata Questa legge è stata sempre verificata sperimentalmente Riccardo Fabbri 13 (Dispense ed esercizi su wwwriccardofabbrieu)