METODI MATEMATICI PER LA FISICA

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1 MEODI MAEMAICI PER LA FISICA PROVA SCRIA - 6 SEEMBRE 6 Si risolvano cortesemente i seguenti problemi PRIMO PROBLEMA (PUNEGGIO: 6/3) Si calcoli l integrale S arccos() + 3 Suggerimento È utile iniziare con una integrazione per parti SOLUZIONE DEL PRIMO PROBLEMA Facendo un integrazione per parti integrando in particolare il rapporto di polinomi /( + 3) si ha S arccos() + 3 dove si è posto P ( + 3) π 8 P ( + 3) La funzione integranda di P è polidroma e ha punti di diramazione in ± Consideriamo allora l integrale P (z + 3) z dove Γ ε è il percorso chiuso ad "osso" mostrato in figura Im(z) Γ ε z Γ ε L ε + γ ε + γ ε Re(z) L ε z 6 settembre 6 page of 9

2 ale percorso è l unione di due tratti rettilinei e due archi infinitesimi cioè Γ ε L + L γ γ + con L ε ± {z : z ± iεsen(ε) ( + η η) η ε cos(ε)} γ ε ± {z : z ± εe iθ θ (ε π ε)} L integranda ha due poli semplici indicati in figura con il simbolo " " nei punti z ±i 3 Studiando la radice e scegliamo le fasi dei due fattori come z f (z)f (z) f (z) ± z ± z e iθ θ ( π) θ ( π π) in questo modo tagli di f (z) e f (z) sono entrambi in avanti quindi la loro sovrapposizione fa sì che risulti come unico taglio il segmento ( ) Studiamo il comportamento della radice sui tratti rettilinei L ± ε In particolare si hanno L ε + : θ + θ z L ε : θ π θ + z e iπ I contributi sugli archi sono nulli nel limite ε ovvero lim ε (z + 3) z ciò consegue dai limiti uniformi lim ε γ ε ± z (z + 3) z In definitiva lim ε P lim ε Γ ε (z + 3) z P ( + 3) Per il teorema dei residui si ha anche lim iπ Res z z + Res z z ε (z + 3) z (z + 3) z (z + 3) z Γ ε ne consegue che l integrale P può essere ottenuto dalla somma dei residui P iπ Res z z + Res z z (z + 3) z (z + 3) z 6 settembre 6 page of 9

3 Al fine di calcolare i residui è necessario valutare la radice che compare nell integranda tenendo conto delle scelte delle fasi Nel polo z i 3 si ha z ( + i 3) ( 3) e i arctan( 3)+arctan( 3) e i π/3 π/3 }{{}}{{} f (z ) f (z ) il primo angolo è θ e deve essere definito in ( π) il secondo è θ che è invece definito in ( π π) Allo stesso modo nel polo z i 3 avremo z ( i 3) ( + 3) e i arctan( 3)+arctan( 3) e i 5π/3+π/3 }{{}}{{} f (z ) f (z ) dove θ essendo definito in ( π) deve essere fissato a 5π/3; mentre θ vale π/3 poiché come già detto è definito in ( π π) Alla luce di questi risultati i residui sono uguali infatti Res z z (z + 3) z Res z z (z + 3) z i 3 4i 3 i 3 ( ) 4i 3 L integrale P vale P iπ Res z z + Res z z iπ (z + 3) z (z + 3) z i 3 π 3 da cui il risultato finale S π 8 P π 8 π 4 3 π 4 3 SECONDO PROBLEMA (PUNEGGIO 6/3) Si calcoli il residuo nell origine della funzione SOLUZIONE DEL SECONDO PROBLEMA f (z) (z + )4 sen(z ) z 99 È facile dedurre che l origine rappresenta un polo di ordine 97 per la funzione f (z) ne consegue che se si volesse ottenere il residuo con la formula integrale di Cauchy sarebbe necessario calcolare la derivata 96-esima della funzione f (z) z 97 Per quanto questa sia una strada percorribile la lunghezza e la tediosità del conto la rendono quanto mai dispendiosa in tempo e sforzo intellettivo L altra possibilità è quella di calcolare il coefficiente C della serie di Laurent della funzione centrata nell origine sfruttando lo sviluppo noto della funzione seno Ovvero si ha (z + )4 f (z) () k z(k+) (k + )! z4 + 8z 3 + 4z + 3z + 6 () k z(k+) (k + )! z 99 k z 99 k 6 settembre 6 page 3 of 9

4 Possiamo considerare cinque serie di Laurent una per ognuno dei termini del polinomio a numeratore e ottenere il coefficiente C totale come somma dei coefficienti corrispondenti di ciascuna serie Le cinque serie sono: f (z) k () k z(k+) j k C () z j + (k + )! + 8 k () k z(k+) 98 j () k z(k+) 96 j (k + )! + 4 k (k + )! + 6 () k z(k+) 99 (k + )! k C () z j + C (3) z j + C (4) z j + il coefficiente cercato è C C () + C () + C (3) + C (4) + C (5) Per ottenere C () procediamo come segue il coefficiente ha la forma C () ()k (k + )! j () k z(k+) 97 j (k + )! C (5) z j dove k deve essere scelto in in modo tale che l esponente corrispondente (k +) 95 sia uguale a ovvero k deve verificare l equazione (k + ) 95 da cui Per C () si ha la forma e l equazione per k k + 47 k 3 C () 47! 8 ()k (k + )! C () (k + ) 96 (k + ) 95 C () il coefficiente è nullo poiché questa equazione non ha soluzione in Per il terzo e quarto coefficiente si ottiene un risultato analogo infatti le corrispondenti equazioni non hanno soluzioni ovvero Il quinto infine (k + ) 97 k + 48 C (3) (k + ) 98 (k + ) 97 C (4) 6 ()k (k + )! C (5) non è nullo l equazione che lo definisce è (k + ) 99 quindi Il residuo cercato è k + 49 k 4 C (5) 6 49! C C () + C (5) 47! ! 47! settembre 6 page 4 of 9

5 ERZO PROBLEMA (PUNEGGIO 6/3) Usando la formula integrale di Cauchy si calcolino gli integrali M f (z) R Re f (z) I con z z f (z) z + z + z Im f (z) SOLUZIONE DEL ERZO PROBLEMA Al fine di usare la formula integrale di Cauchy è necessario scrivere il modulo quadro la parte reale e quella immaginaria in forma analitica ovvero come espressioni dipendenti solo della variabile z senza quindi fare uso della variabile complessa coniugata z Ciò è possibile grazie al fatto che sulla circonferenza unitaria si ha l identità z /z Per le tre quantità cercate avremo f (z) f (z)f (z) z + z + z + z + z + z + /z + /z + z + z + z Re f (z) f (z) + f (z) Im f (z) f (z) f (z) i Gli integrali sono M R I z z z z + z + + /z + /z + z + z + /z /z i z4 + z 3 + z + z + z z4 + z 3 z iz f (z) z + z + z iπ d z + z + iπ z z Re f (z) z 4 + z 3 + z + z + z iπ d z 4 + z 3 + z + z + iπ z z Im f (z) z 4 + z 3 z iz π d z 4 + z 3 z π z z 6 settembre 6 page 5 of 9

6 QUARO PROBLEMA (PUNEGGIO 7/3) Siano { u k } N k e {λ k} N k gli insiemi degli autovettori ortonormali e autovalori dell operatore normale  definito nello spazio di Hilbert a dimensione finita E N Si dimostri che l operatore ˆB j  + u j v definito in termini di un dato autovettore u j e un generico v E N diverso dal vettore nullo e non autovettore di  ha gli stessi autovalori di  ad eccezione del j-esimo che vale λ j + v u j Ovvero detto {β k } N k l insieme degli autovalori di ˆB j si ha β k λ k + δ k j v u j k N Nel caso particolare in cui l operatore  definito in E 3 sia rappresentato dalla matrice A si costruisca la matrice B j A + u j v scegliendo opportunamente l indice j e il vettore v affinché tutti gli autovalori di B j siano uguali ovvero si abbia massima degenerazione SOLUZIONE DEL QUARO PROBLEMA L insieme di autovettori { u k } N k rappresenta una base ortonormale dello spazio E N la rappresentazione rispetto a tale base dell operatore ˆB j è data dalla matrice B j di elementi (B j ) k m u k ˆB j u m u k  + u j v u m δ k m λ m + δ k j v u m k m N In dettaglio la matrice B j ha la forma λ λ B j v u v u λ j + v u j v u N λ N tutti gli elementi diagonali coincidono con quelli di A ad eccezione del j-esimo che ha il termine aggiuntivo v u j inoltre tutti gli elementi non diagonali sono nulli ad eccezione di quelli della j-esima riga Ne consegue che l equazione secolare è λ β det(b j β I) det dai cui si ottiene che gli autovalori sono λ β λ j + v u j β λ N β β k λ k + δ k j v u j k N N (λ k + δ k j v u j β) k 6 settembre 6 page 6 of 9

7 Nel caso particolare della matrice A gli autovalori si ottengono come soluzioni dell equazione λ det(a λi) λ λ e sono Gli autovettori ortonormali corrispondenti u 6 (λ + ) [λ( λ) + ] λ λ λ 3 u u 3 3 Per ottenere tre autovalori uguali è necessario modificare il terzo sommando -3 quindi il vettore v dovrà essere tale da avere prodotto scalare con con u 3 uguale a -3 Consideriamo la forma generale v y z il prodotto scalare è v u 3 v u y + z è quindi sufficiente scegliere 3 3 e y z per avere il prodotto cercato In questo caso la matrice B 3 è 3 3 B 3 A + u 3 v Verifichiamo che ci sia massima degenerazione calcolando gli autovalori di B 3 ovvero risolvendo l equazione secolare in β 3 β det(b 3 β I) det β (β + ) 3 β si hanno tre soluzioni coincidenti gli autovalori sono tutti e tre uguali a - la matrice B 3 è completamente degenere QUINO PROBLEMA (PUNEGGIO 5/3) Si verifichi che la funzione senh() cosh(y) G( y) cosh() senh(y) < y y definita in ( π) ( π) rappresenta la funzione di Green dell operatore differenziale ˆD d 6 settembre 6 page 7 of 9

8 SOLUZIONE DEL QUINO PROBLEMA Per verificare quanto richiesto consideriamo l equazione differenziale ˆD u() f () dove u() e f () sono rispettivamente la funzione incognita e la funzione d ingresso Se G( y) è la funzione di Green la soluzione deve essere esprimibile come u() G( y)f (y)d y cosh() senh(y)f (y)d y sinh() cosh(y)f (y)d y Dimostriamo che una funzione così definita è soluzione dell equazione applicando su di essa dell operatore differenziale ˆD u() ˆD d d d cosh() senh(y)f (y)d y cosh() senh(y)f (y)d y sinh() cosh(y)f (y)d y sinh() cosh(y)f (y)d y senh() senh(y)f (y)d y cosh() senh()f () cosh() cosh(y)f (y)d y + senh() cosh()f () senh() senh(y)f (y)d y cosh() senh(y)f (y)d y senh ()f () cosh() senh(y)f (y)d y u() cosh() cosh(y)f (y)d y u() u() senh() cosh(y)f (y)d y + cosh ()f () u() senh() cosh(y)f (y)d y + f () u() } {{ } u() f () Ne consegue che G( y) rappresenta la funzione di Green dell operatore ˆD SESO PROBLEMA (PUNEGGIO 5/3) Si dimostri che la serie m e iπm rappresenta la serie di Fourier rispetto al sistema della fasi della distribuzione periodica di periodo > D() k δ( + k ) 6 settembre 6 page 8 of 9

9 SOLUZIONE DEL SESO PROBLEMA La distribuzione D() è per costruzione periodica con periodo infatti [ / /] e m si ha D( + m ) k δ( + k + m ) {k k m} k δ( + k ) D() Consideriamo la distribuzione D() nell intervallo [ / /] per cui il sistema delle fasi da utilizzare è ϕk () e iπk k infatti rappresenta un sistema ortonormale e completo per le funzioni della classe L ( / /) La serie di Fourier è D() k C k ϕ k () C k (ϕ k D) dove è il simbolo Hurwitz È facile vedere che i coefficienti di Fourier sono tutti uguali a / infatti C k (ϕ k D) / / ϕ k ()D() / / e iπk / D() / e iπk δ() nell ultimo integrale si considera solo il termine con k della serie che definisce D() in quanto tutti gli altri sono nulli nell intervallo di integrazione [ / /] Ne consegue che come volevasi dimostrare la serie completa è D() k C k ϕ k () k e iπk [ / /] Ovviamente l identità può essere estesa a tutto poiché le funzioni ϕ k () sono periodiche con lo stesso periodo di D() 6 settembre 6 page 9 of 9