Metodi Matematici per la Fisica

Transcript

1 Metodi Matematici per la Fisica Prova scritta - 7 febbraio Eserciio (6 punti) Calcolare il valore principale di Cauchy dell integrale con a e b reali e a, b >. J = P.V. Soluione L integrale può essere scomposto come J = i P.V. = i ( P.V. J J sin x (x a) b dx e ix e ix (x x )(x x ) dx e ix dx P.V. (x x )(x x ) dove gli eri del denominatore sono: x = a b e x = a + b. Im() ) e ix (x x )(x x ) dx, Γ + R γ ɛ x = a b γ ɛ x = a + b Re() R Γ R Si ha che, per il lemma di Jordan, ( J = i lim lim R Γ + R e i x )( x ) d γ ɛ γ ɛ ) e i ( x )( x ) d,

2 dove Γ + R è il cammino chiuso che si estende nel semipiano delle parti immaginarie positive e non contiene le singolarità x e x, come mostrato in figura. Gli integrali sui cammini infinitesimi che aggirano tali singolarità devono essere sottratti al fine di ottenere il valore principale. si intendono percorsi in senso antiorario. Il primo integrale è nullo per il teorema dei residui, quindi Si invece che J = i lim lim R J = i lim γɛ γɛ ( Γ R e i ( x )( x ) d. ( x )( x ) d γɛ γ ɛ ) ( x )( x ) d, in questo caso Γ R contiene le due singolarità polari per cui Quindi: J = π Resx ] π Resx ] i lim = π b ei(a b) π b ei(a+b) i lim = iπ b eia sin b i lim γɛ γɛ J = J J = iπ b eia sin b + lim γɛ γɛ = iπ b cos a sin b π b sin a sin b + lim γ ɛ γ ɛ γ ɛ γ ɛ ( x )( x ) d ( x )( x ) d ( x )( x ) d. ( x )( x ) d γ ɛ γ ɛ ( x )( x ) d. Per il lemma d integraione su archi infinitesimi si ha che se una funione analitica g() è tale che: lim g()( ) unif. = A, allora, detto γ ρ un arco che sottende un angolo α, centrato in, di raggio ρ, si ha lim g() = i α A. ρ γ ρ Abbiamo due casi, la funione è sempre g() = ( x )( x ), ma i centri degli archi infinitesimi sono due: x e x ; quindi lim g()( x, ) unif. = ± sin x, sin(a b) =. x, x x b

3 L angolo sotteso a entrambi gli archi è α = π, essendo percorsi in senso orario. Infine abbiamo ] lim d = lim γɛ γ ( x ɛ )( x ) γ ( x ɛ )( x ) d + γ ( x ɛ )( x ) d Ma avevamo che = i π sin(a b) b + sin(a + b) b = i π sin a cos b cos a sin b sin a cos b cos a sin b] b = i π b J = iπ b cos a sin b π b cos a sin b. sin a sin b + lim γɛ γɛ = iπ b cos a sin b π b sin a sin b i π b cos a sin b ] ( x )( x ) d = π b sin a sin b. Eserciio (5 punti) Si calcoli con il metodo dei residui l integrale I = = d (e ). Nel cerchio unitario l integranda ha solo un polo in =, quindi ] d I = = iπ Res (e ) (e ), = Per calcolare tale residuo possiamo sfruttare il fatto che esso coincida con il primo coefficiente singolare, C, della serie di Laurent in = della stessa integranda. Sviluppando l integranda intorno a = si ha (e ) = ( + /! + 3 /3! +...) = 3 ( + /! + /3! +...) = ( ) 3! + 3! = 3 + ( ) + ( (! + ) +...,. ) 3! ]

4 da cui si ottengono i coefficienti singolari come: C 3 =, C =, C =. L integrale iniiale è I = = ] d = iπ Res (e ) (e ), = iπ C = iπ 6. Eserciio 3 (5 punti) Si verifichi la disuguagliana =R ln( n ) d = R ln( R) n ] d con n intero positivo e con il logaritmo in determinaione principale. Dalla disuguagliana di Darboux si ha ln( n ) d Ma, per = R, si ha =R ln( n ) = n ln() πr max =R ln(n ). = n ln + arg() ] / = n ln(r) + arg() ] / n ln(r) + π ] / = n ln( R) = ln ( R) n ]., Quindi inoltre avendo che =R ln( n ) d πr ln ( R)n ], = d = π 4

5 si ha la disuguagliana iniiale. Eserciio 4 (6 punti) Si sviluppi in serie di Laurent intorno a = fino all ordine compreso la funione f() = sin() sinh(). Si possono considerare gli sviluppi noti, intorno a =, delle funioni a denominatore: da cui si ottengono quelli per le inverse = ! 5! = ! 5! = ( + = 3 3! + 5 5! +..., sinh = + 3 3! + 5 5! +..., 3! 4 5! +... sinh = ! 5! = ! 5! = ( 3! + 4 5! +... ) ( + ) ( + 3! 4 5! ! + 4 5! +... ) +...] ) +...],. La funione completa è pari e ha il seguente sviluppo in serie sin() sinh() = ( ) ( ) + 3! 4 5! ! 4 5! ] ( ) ( ) 3! + 4 5! ! + 4 5! ] = ( + () + 5! 5! (3!) + (3!) + = ( ) = ( ) (3!) )

6 Eserciio 5 (6 punti) Data la matrice A = a a b a a, con a, b >. Per quali valori di a e b la matrice A rappresenta un proiettore? Si determinino, in questo caso, autovalori e autovettori. L equaione caratteristica è det a λ a b λ a a λ = (a λ) (b λ) a (b λ) = λ(λ a)(b λ) =, da cui gli autovalori λ =, λ = a, λ 3 = b. Per avere un proiettore dobbiamo richiedere che la matrice sia idempotente, ovvero che abbiamo autovalori o unitari o nulli, quindi a =, b =. Gli autostati si ottengono risolvendo l equaione agli autovalori / / α i α i β i = λ i β i, i =,, 3. / / γ i γ i In particolare si ha / / / / α β γ = u = α = γ = α = β = α + β + γ α β γ = 6

7 / / / / / / / / α β γ α 3 β 3 γ 3 = = α β γ α 3 β 3 γ 3 α = γ = α = β = u = α 3 = γ 3 = α 3 = β 3 = u 3 =. Eserciio 6 (6 punti) Risolvere l equaione integrale con: b > a >. f(y) e (y x) /a dy = e x /b L integrale del membro di sinistra è la convoluione di due funioni, ovvero: LHS = f(x) e x /a. La trasformata di Fourier è F k LHS] = F k f(x) e x /a ] = π F k f(x)]f k e x /a ]. La trasformata di Fourier della gaussiane è quindi F k e x /a ] = π = e k a /4 π = a e k a /4, e x /a e ikx dx e (x/a+ika/) dx F k LHS] = F k f(x)] π a e k a /4. La trasformata di Fourier del membro di destra è F k RHS] = F k e x /b ] = b e k b /4, 7

8 uguagliando si ottiene la trasformata di Fourier della soluione, ovvero F k f(x)] = b e k b /4 π a e k a /4 = π b a e (b a )k /4. L antitrasformata è f(x) = b ] π a F x e (b a )k /4 = π b/a b a e x /(b a ). 8