SOLUZIONE. se 0 x < 1. Tracciare un grafico di f(x) su R, scrivere la sua serie di Fourier e determinare un intero positivo N tale che S N f f 1 10.

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1 Università di Milano - Bicocca Corso di laurea di primo livello in Sciene statistiche ed economiche Corso di laurea di primo livello in Statistica e gestione delle informaioni Analisi Matematica II SOLUZIONE ) Sia f() la funione di periodo tale che f() = π se <. Tracciare un grafico di f() su R, scrivere la sua serie di Fourier e determinare un intero positivo N tale che S N f f. Soluione. Il grafico di f () su R è Calcoliamo i coefficienti di Fourier. f () = (π ) d = π. Per n abbiamo ] = f (n) = (π ) e πin d = [(π ) e πin e πin πin = πin d = π πin π πin + = πin. Allora la serie di Fourier di f () è π + n πin eπin. Infine, poiché S N f f = n N+ f (n) e πin, l identità di Parseval implica S N f f π + n=n+ π N n N+ n = π f (n) + N n N+ πin d π 5 5 N > = N > π 9 N 6. π [ ] =+ =N n N+ n

2 ) Sia F (, ) = i) Determinare estremo superiore, estremo inferiore, eventuali massimi e minimi locali e globali di F (, ) su R. Soluione. Abbiamo sup F (, ) = +, (,) R poiché F (, ) = Abbiamo + + per +. Quindi F (, ) non ammette massimo su R. inf F (, ) = min F (, ) =, (,) R (,) R poiché F (, ) = e F (, ) = > per ogni (, ) (, ). Si tratta quindi di un minimo assoluto forte. Per stabilire se esistono altri punti di estremo studiamo F (, ) = ( 3 +, 3 + ) = (, ) Dunque non esistono altri punti di estremo. { 3 + = 3 + = { ( + ) = ( + ) = (, ) = (, ). ii) Quale di questi grafici può rappresentare F (, ) sul quadrato {(, ) R :, }? A : B : C : D : Soluione. Solo B può rappresentare F (, ), poiché è l unico compatibile con un punto di minimo assoluto nell origine. iii) Scrivere l equaione del piano p (, ) tangente al grafico di F (, ) nel punto (, ). Dimostrare che p (, ) F (, ) per ogni (, ) R. Soluione. Poiché F (, ) = 7 e F (, ) = (, ) abbiamo p (, ) = 7 + (, ) (, ) = + 6.

3 3 Per dimostrare che p (, ) F (, ) per ogni (, ) R è sufficiente osservare che F (, ) è convessa su R, e questo è vero poiché [ ] 3 H F (, ) = è definita positiva su R. iv) Sia D = {(, ) R : F (, ) = }. Determinare la quota massima e la quota minima assunte dalla funione H (, ) = + su D. Soluione. Osserviamo che F (, ) = ( 3 +, 3 + ), H (, ) = (, ). Allora, applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, dobbiamo risolvere il sistema 3 + = λ { { 3 + = λ 3 + = = = 3 + = =, { { ( ) ( ) = = = = Per giustificare l ultimo passaggio osserviamo che > per ogni (, ) R ; infatti = ( + = + ) > per ogni (, ) R. Un altra via per dimostrare che 3 + = 3 + = è di osservare che la funione t t 3 + t è strettamente crescente (poiché la sua derivata è strettamente positiva), e allora implica Dunque il sistema precedente è equivalente a { { = = = + =. Poniamo = t e risolviamo l equaione t + t =, ottenendo le due radici ± 3. Solo quella positiva è accettabile e così abbiamo i due punti staionari ( ) ( ) ,,,, nei quali, essendo H (, ) = +, ( ) ( ) H, =, H, =. ( ) Per concludere che 3, 3 è punto di massimo e ( ) 3, 3 è punto di minimo, resta da osservare che l insieme D = {(, ) R : F (, ) = } è chiuso e limitato e possiamo quindi applicare il teorema di Weierstrass. Mostriamo che D è chiuso, cioè che D = { (, ) R : F (, ) } è aperto. Infatti, se (, ) soddisfa F (, ), allora, per la continuità di F (, ), esiste un intorno di (, ) nel quale F (, ) è ancora diversa da ; dunque D è aperto e quindi D è chiuso. Mostriamo che D è limitato. Infatti, sia ad esempio (, ) un punto esterno al cerchio centrato nell origine con raggio, cioè un punto tale che (, ) = + > ; allora almeno uno tra e è maggiore di 5, e non può essere =.

4 Un approccio apparentemente diverso consiste nel visualiare le curve di livello di H (, ) e utiliare il teorema delle funioni implicite per determinare i punti della curva F (, ) = dove la tangente ha coefficiente angolare. Per questo basta trovare i valori di (, ) per ciascuno dei quali la funione ivi definita implicitamente soddisfa () = (, ()) = 3 + (, ()) 3 () + () =. Questo conduce al sistema { 3 + = = che abbiamo risolto sopra. Dalle curve di livello è poi chiara la determinaione del punto di massimo e del punto di minimo. v) Verificare che l equaione F (, ) = 3 definisce implicitamente, in un intorno del punto (, ), il grafico di una funione = (). Scrivere lo sviluppo di Talor al secondo ordine di (), centrato in =, e tracciare un grafico di () in un intorno di =. Soluione. Poiché F (, ) = 3, (, ) = 3 +, (, ) =, il teorema di Dini ci assicura l esistena di un intorno I di in R e di un unica funione = () definita su I, tale che () =, F (, ()) = 3 per ogni I e Calcoliamo Allora () = (, ()) = 3 + (, ()) 3 () + (), () =. () = (3 + ) ( 3 () + ()) (3 () () + ()) ( 3 + ) ( 3 () + ()), () =. () = + o ( ) è lo sviluppo di Talor al secondo ordine di (), centrato in =, e quindi il grafico di () in un intorno di = ha la forma

5 5 vi) Siano A = { (, ) R : + }, B = { (, ) R : }. Calcolare F (, ) dd e stabilire se l integrale A B Soluione. In coordinate polari = F (, ) dd = A π π ( r5 ( cos θ + sin θ ) + r3 F (,)+ dd esiste finito. ( r cos θ + r sin θ + r cos θ + ) r sin θ r drdθ ) [ ] r r= [ ] r 6 r= π ( drdθ = π + cos θ + sin θ ) dθ. 8 Per trattare l integrale in θ possiamo usare le identità di Eulero (cos θ = eiθ +e iθ, sin θ = eiθ e iθ i ): cos θ + sin θ = ( e iθ + e iθ) ( + e iθ e iθ) 6 6 = ( e iθ + e iθ e iθ + e iθ + e iθ e iθ + 6 e iθ + e iθ) 6 = ( e iθ + + e iθ) cos (θ) = Oppure possiamo osservare che cos θ + sin θ = cos θ + cos θ sin θ + sin θ cos θ sin θ = ( cos θ + sin θ ) sin (θ) = ( ) cos (θ) = 3 cos (θ) +. Allora Ora studiamo F (, ) + dd = B A r= F (, ) dd = π + π ( cos (θ) + 3 ) arctan + π/ r= dθ = 5π 6. r cos θ + r sin θ + r cos θ + r sin θ + r drdθ. Osserviamo che l integranda è positiva e che per π/ θ arctan abbiamo sin θ /. Mostriamo che l integrale dd esiste finito. Infatti, sul dominio di integraione, B F (,)+ Dunque B r cos θ + r sin θ + r cos θ + r sin θ + r r r sin θ + r 6 r +. F (, ) + dd arctan + π/ r 6 r + drdθ = ( arctan π ) + r 6 r + dr e quest ultimo integrale è finito poiché l unico problema di integraione è per r +, e in questo r caso (che è integrabile per r + ). Quindi l integrale dd esiste finito. r 3 B F (,)+ 6 r + 6 vii) positivi? Quale è la quota minima che la funione F (m, n) assume quando m ed n sono interi

6 6 Soluione. I punti a coordinate interi positivi sono quelli evideniati nel disegno Ora osserviamo che (, ) = 3 + = ( + ) > > (, ) = 3 + = ( + ) > > Quindi nel primo quadrante i segni delle derivate pariali sono evideniati dalle direioni delle frecce ed è allora chiaro che F (, ) < F (m, n) per ogni (m, n) (, ). Dunque la quota minima richiesta è F (, ) = 3/.