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1 Cognome:... Nome:... Matricola: Università di Milano - Bicocca Corso di laurea di primo livello in Scienze statistiche ed economiche Corso di laurea di primo livello in Statistica e gestione delle informazioni Matematica II ) Si consideri la funzione f : R 3 R definita da f(,, t) = + t + +. a) Si determinino estremo superiore, estremo inferiore, eventuali massimi e minimi locali e globali della funzione. E facile vedere che la funzione è non negativa. In particolare è nulla in tutti i punti del tipo (,, ) con R : tali punti sono quindi di minimo assoluto per f e di conseguenza inf f(,, t) =. (,,t) R3 Facilmente si vede anche che lim t f(,, t) = lim t t = e quindi sup f(,, t) =. (,,t) R 3 Vediamo se ci sono altri punti di massimo e minimo (oltre ai punti di minimo già individuati): = ( + t ) ( + + ), = ( + t ) ( + + ), t = t + +. Il gradiente è nullo se e solo se = t =. E quindi gli unici punti stazionari candidati ad essere estremali per la funzioni li abbiamo già studiati. In conclusione, massimi locali e/o globali per f non ne esistono; i punti del tipo (,, ) sono di minimo globale. b) Si determini il piano tangente al grafico della funzione nel punto (,, ). I conti del punti precedente ci forniscono f(,, ) = (,, ). Essendo l equazione del piano tangente z = f(,, ) + f(,, ) (,, z ), otteniamo z = t. Lo studente che si inoltrasse a studiare le condizioni del secondo ordine, scoprirebbe che la matrice Hessiana è semidefinita positiva in ogni punto del tipo (,, ) : questo non permette di garantire che tali punti sono di minimo.

2 c) Si consideri, per ogni α, l insieme Ω α = {(,, t) R 3 : ( + ) < e αt, t }. Si determinino gli α per cui f(,, t)dddz <. Ω α Passando in coordiante cilindriche (,, t) = (r cos θ, r sin θ, t) otteniamo I α = f(,, t)dddz () Ω α = = e αt/ π e αt/ π r cos θ + t + r rdθdrdt r 3 cos θ dθdrdt + π + r e αt/ rt drdt. () + r Chiamiamo I α e I α i due integrali nella (). Si osservi che sia I α che I α sono positivi o valgono + : questo garantisce che I α è uguale alla somma dei due addendi I α e I α; inoltre I α è finito se e solo se sono finiti sia I α che I α. Cominciamo a studiare I α : I α = π = π = π e αt/ t r + r drdt t (log( + r ) ] e αt/ t log( + e αt )dt. dt Poichè t log( + e αt ) per t e per ogni α, abbiamo che I α =. Quindi l integrale I α proposto non è mai finito. ) Si consideri la funzione f : R R definita da f(, ) = + e l insieme A = {(, ) R : + 4,, ( ) + }. a) Si determinino estremo superiore, estremo inferiore, eventuali massimi e minimi globali della funzione f sull insieme A. L insieme A è

3 A Poichè A è simmetrico rispetto all asse e la funzione f è pari rispetto a, possiamo restringere lo studio all insieme A + = A {(, ) R : }. Chiamiamo inoltre γ l arco di circonferenza centrato nell origine e di raggio ; γ l arco di circonferenza centrato in (,) e di raggio ; γ 3 il segmento di estremi (, ) e (, ). 3 L insieme A + è compatto e la f è continua: quindi esistono sia il massimo che il minimo assoluto di f in A +. Cominciamo a studiare i punti interni di A + : = +, =. Chiaramente il gradiente non è mai nullo in A + : il massimo e il minimo si troveranno sul bordo 3

4 di A +. Studiamo f lungo il bordo di A +, definendo le funzioni g i come le restrizioni di f lungo γ i : essendo γ = {(, ) R : = 4,, } definiamo g : [, ] R, come g () = f (, ) = f(, 4 ) = + 4 γ da cui g () = 4 + > (, ); essendo γ = {(, ) R : =,, } definiamo g : [, ] R, come g () = f (, ) = f(, ) = γ da cui g () = 4 > (/4, ); essendo γ 3 = {(, ) R : =, } definiamo g 3 : [, ] R, come g 3 () = f (, ) = f(, ) = γ3 da cui g 3() = > per nessun (, ). I punti candidati ad essere massimi o minimi sono allora O = (, ), P = (/4, 7/4), Q = (, ) e R = (, ) : confrontando i valori che la funzione assume su questi 4 punti, scopriamo che R è punto di minimo assoluto per f in A + e che Q è punto di massimo assoluto per f in A +. Per quanto detto, R e (, ) sono punti di minimo assoluto per f in A e Q è punto di massimo assoluto per f in A. Quindi sup f (, ) = f(, ) = 6, (,) A inf f (, ) = f(, ±) = 4. (,) A b) Si determinino eventuali massimi e minimi locali della funzione f sull insieme A. Le informazioni del punto precedente dicono che gli unici punti candidati ad essere massimi e/o minimi locali per f in A + sono O e P. Osserviamo che > e in A+ ; da queste informazione e dallo studio di f lungo il bordo di A + (vedi punto a.) otteniamo R 3 O P /4 Q ove le frecce indicano le direzioni di crescita per spostamenti orizzontali, verticali o lungo il bordo di A +. Il punto P non è estremo locale: infatti, se ci spostiamo da P lungo γ, la funzione cresce; se invece ci spostiamo da P lungo un segmento orizzontale (interno ad A + ), la funzione decresce. Il punto O è punto di massimo locale: infatti, se ci spostiamo da O lungo γ o lungo γ 3, la funzione decresce; inoltre, preso un qualsiasi punto F interno ad A + e contenuto in un intorno di 4

5 (intorno di raggio sufficientemente piccolo), F può essere raggiunto da O con uno spostamento prima lungo γ e poi lungo un segmento orizzontale: lungo questo spostamento la funzione f è decrescente. c) Si calcoli, in almeno modi, l area della regione A. Primo modo: Area di A possiamo pensarla come l area del semicerchio di centro (,) e raggio a cui sottrarre l area del cerchio di centro (,) e raggio. Ricordando che l area del cerchio di raggio r è πr, abbiamo area(a) = π / π = π. Secondo modo: L area di A + è lo spazio di piano compreso fra la funzione = 4 (il cui grafico è γ ) e la funzione = (il cui grafico è γ ) per [, ]. Quindi area(a) = ( 4 )d =... = π. Terzo modo: Esprimiamo i punti di A + in coordinate polari (, ) = (r cos θ, sin θ). =(tg Chiaramente l angolo θ varia in [, π/]; fissato θ [, π/), il raggio r varia fra il valore di r per cui = (tan θ) interseca γ e il valore. Essendo + = r sin θ + r cos θ r cos θ = r(r cos θ) =, abbiamo A + = {(r, θ) [, ) [, π) : θ π/, cos θ r }. Da cui area(a) = = = 4 = 4 π/ π/ π/ π/ cos θ ( r ] r drdθ cos θ dθ ( cos θ)dθ sin θdθ ( = θ sin θ cos θ = π. Si osservi che in coordinate polari, fissato un θ e lasciando variare r, i punti (, ) = (r cos θ, r sin θ) rappresentano una retta di equazione = (tan θ). 5 ] π/

6 3) Siano C A e C B le circonferenze nel piano di raggio e aventi per centro rispettivamente i punti A = (, ), e B = (, ). a) Si fornisca l esempio di una funzione f : R R la cui curva di livello coincide con C A C B e tale che nell origine abbia un minimo. L insieme C A C B è chiaramente - Evidentemente g : R R definita come g(, ) = (( ) + )(( + ) + ) = ( + )( + + ) (3) è nulla se e solo se è nullo uno dei due fattori dell espressione precedente (si noti che i due fattori sono esattamente le equazioni delle due circonferenze C A e C B ). Definiamo ora la funzione f : R R definita come f(, ) = g(, ). Chiaramente f è nulla se e solo (, ) C A C B ed è non negativa. Quindi nell origine ha un minimo. b) Sia f : R R con curva di livello coincidente con C A C B. Si provi che non è necessario che f abbia un minimo o un massimo nell origine. La funzione in (3) è nulla lungo le due circonferenze, positiva in ogni punto esterno ad entrambe le circonferenze e negativa in tutti i punti che sono esterni a una circonferenza ed interni all altra. Quindi in (,) vale zero, ma in ogni suo intorno assume valori sia positivi che negativi: chiaramente non ha ne un massimo ne un minimo in (, ). 6