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1 Slide del corso di Controllo digitale Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell Informazione Università di Siena, Dip. Ing. dell Informazione e Sc. Matematiche Parte IV Campionamento e ricostruzione Gianni Bianchini c Il presente documento è rilasciato nei termini di licenze Creative Commons come indicato su giannibi/teaching 1

2 SPETTRO DI FOURIER DI UN SEGNALE Definizione. Lo spettro(trasformata) di Fourier di un segnale f(t) è una funzione F(j) : R C definita da F(j) = + f(t) e jt dt N.B. Per segnali tali che f(t) = 0 t < 0, F(j) coincide con la trasformata di Laplace F(s) valutata sull asse immaginario, i.e. per s = j, R. Teorema (Antitrasformata di Fourier). Sotto ipotesi opportune, il segnale f(t) è determinato dal suo spettro e si ha f(t) = 1 + 2π F(j) ejt d Scomponendo F(j) in modulo e fase si ha f(t) = 1 + 2π F(j) ej(t+arg[f(j)]) d e quindi, molto qualitativamente, si può affermare che il segnale f(t) risulta dalla composizione (integrale) rispetto a di sinusoidi infinitesime di pulsazione ed ampiezza F(j) d. Il modulo dello spettro di Fourier, F(j), è detto contenuto frequenziale di f(t), poiché esprime quali frequenze contribuiscono a comporre il segnale ed in quale misura F(j) 2

3 SPETTRO DEL SEGNALE CAMPIONATO Teorema. Tra la trasformata di Laplace F(s) di f(t) e la trasformata di Laplace F (s) di f (t) sussiste la relazione F (s) = 1 T + k= F(s jk s ) ; s = 2π T (dimostrazione su Franklin, par. 5.2) Calcolo dello spettro di f (t) F (j) = 1 T + k= F[j( k s )] L andamento dello spettro del segnale f (t) è costituito da infinite repliche (alias) dello spettro del segnale originale f(t) spaziate tra loro della pulsazione di campionamento s e scalate di un fattore 1/T. F(j) f f T F (j) 2 s f s 2 s s f 3

4 RICOSTRUZIONE E ALIASING Sia dato un segnale f(t) a banda limitata, il cui spettro non si estende cioè oltre una data pulsazione f F(j) f f F(j) = 0 > f Problema. Data la sequenza di campioni f k = f(kt) k 0 di un segnale a banda limitata, ricostruire il segnale originale f(t). Idea. Applicare un filtro passa-basso ideale al segnale f (t), che isoli lo spettro del segnale originale eliminando così gli alias e riproducendo quindi f(t) Se s > 2 f, il filtro rivela lo spettro corretto del segnale originale Se s < 2 f, il filtro isola lo spettro del segnale originale sovrapposto a componenti spurie dovute alle repliche segnale continuo campionamento filtro passa-basso segnale con aliasing Sotto la condizione s > 2 f il risultato può essere ottenuto con un filtro la cui risposta in frequenza G PB (j) vale T per s /2 s /2 e zero altrove. G PB (j) T N N G PB (j) = Trect(/ N ) ; N = s /2 4

5 RICOSTRUZIONE E ALIASING Teorema (di Shannon). Dato un segnale f(t) a banda limitata f, i.e. F(j) = 0 > f esso è ricostruibile a partire dalla sequenza di campioni f k = f(kt) k 0 se e solo se risulta dove N = s 2 = π T f < N (pulsazione di Nyquist) Poiché lo spettro F(j) è pari allo spettro F (j) filtrato per un passa basso ideale che taglia a N [G PB (j) = Trect(/ N )], il segnale ricostruito f(t) sarà dato dalla convoluzione di f (t) con la risposta impulsiva del passa basso, la quale vale Dunque g PB (t) = 1 + 2π G PB(j)e jt d = sin( Nt) N t f(t) = g PB (t) f (t) = + k= f(kt) sin[ N(t kt)] N (t kt) < t < + La risposta impulsiva del filtro passa basso ideale è non nulla per t < 0, dunque tale filtro è non causale! La caratterizzazione data non ha quindi validità pratica per le applicazioni di controllo, poiché in queste si ha interesse a ricostruire il segnale in linea, ovvero conoscendo solo i campioni passati. Dalla formula (*) è evidente che il calcolo di f(t) richiede ad ogni t la conoscenza di tutti i campioni di f(kt). Il teorema di Shannon fornisce comunque una condizione necessaria per la ricostruibilità del segnale dai campioni: se le sue ipotesi non sono soddisfatte, il segnale non è ricostruibile nemmeno in condizioni ideali ( ) 5

6 FILTRO ANTI ALIASING Per evitare fenomeni di aliasing, di solito dovuti al campionamento di rumore ad alta frequenza, si introduce un filtro passa-basso (analogico) a monte del campionatore Il filtro anti-aliasing deve necessariamente tagliare tutte le pulsazioni superiori a N, deve cioè eliminare tutto il contenuto frequenziale che verrebbe campionato in condizioni di aliasing. Se il segnale, senza rumore, ha componenti a pulsazione maggiore di N, allora è scelto male il tempo di campionamento, non il filtro. Il filtro anti-aliasing non può essere un filtro ideale, dunque sono necessari particolari accorgimenti nelle applicazioni di controllo (vedremo successivamente). Esempio: sinusoide a 1 Hz affetta da rumore a 60 Hz con frequenza di campionamento f s = 28 Hz 6

7 RICOSTRUZIONE IDEALE Formula di ricostruzione di Shannon f(t) = + k= f(kt) sin[ N(t kt)] N (t kt) L espressione del segnale ricostruito può essere vista come il risultato dell applicazione di un filtro passa-basso ideale al segnale impulsivo f (t) che rappresenta f k = f(kt) G PB (j) T N N G PB (j) = Trect(/ N ) N.B. Il passa basso ideale ha sfasamento nullo a tutte le pulsazioni. Dall espressione del segnale ricostruito si osserva che per calcolare f(t) al generico istante t è necessario disporre del valore di tutti i campioni, anche futuri. Questo si può vedere come la non causalità del filtro passa basso ideale da applicare a f (t) per ottenere f(t). In alcune applicazioni di telecomunicazioni si introduce un ritardo nel calcolo della risposta del ricostruttore, in modo da acquisire un certo numero di campioni successivi, approccio impraticabile nei sistemi di controllo in retroazione, poiché i ritardi compromettono la stabilità 7

8 RICOSTRUZIONE CON ZOH I mantenitori (ad es. lo ZOH) sono filtri causali ma non realizzano la formula di Shannon, per cui ricostruiscono, anche in assenza di aliasing, solo un approssimazione del segnale originale. Poiché la ricostruzione con ZOH equivale al filtraggio di f (t) con G ZOH (s), la differenza tra ricostruzione ideale e con ZOH si interpreta un frequenza con il confronto della risposta in frequenza di G ZOH (s) con quella del passa-basso ideale G ZOH (j) = 1 e jt j = T sin(t/2) e jt/2 T/ s s s 2 s 2 s s s 2 s Modulo (T = 1) Fase (T = 1) Lo ZOH introduce attenuazione anche nella banda tra = 0 e = N ZOH 0 0 Filtro ideale 2 3 Lo ZOH introduce, rispetto al passa basso ideale, uno sfasamento pari a quello di un elemento di ritardo τ = T/2 nella banda tra = 0 e = s. 8