Regolatori PID digitali

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1 Regolatori PID digitali Alessandro De Luca Automazione

2 Sistema di controllo digitale schema generale MIMO di controllo in feedback schema di controllo digitale - qui, caso scalare (SISO) - con passo di campionamento T c - con convertitori A/D e D/A - segnali a tempo continuo e discreto - utilizza un microprocessore (con codifica binaria) digitale Automazione 2

3 Campionamento e ricostruzione conversione analogico-digitale (A/D): segnale campionato ogni T c e quantizzato in livelli (per troncamento o arrotondamento) x k = x(kt c ) [= x q (kt c )] conversione digitale-analogica (D/A): segnale ricostruito da un organo di tenuta (qui, di ordine zero = ZOH) ZOH = Zero-Order Hold x r (t) = x(kt c ), t " [kt c,(k +1)T c ) Automazione 3

4 Campionamento a impulsi campionamento = segnale a tempo continuo! treno di impulsi di Dirac x * (t) = x(t)" Tc (t) " Tc (t) = "(t # kt c ) dallo spettro X(j!) del segnale x(t) e dallo sviluppo in serie di Fourier del treno di impulsi di Dirac l andamento spettrale del segnale campionato x * (t) è $ % k =0 il tempo di campionamento è un fattore di scala! $ % X * ( j") = 1 T c X( j" # jn" c ) n =#$ " c = 2# /T c pulsazione di campionamento Automazione 4

5 Teorema di Shannon e aliasing spettro di un segnale limitato in banda a! M spettro del relativo segnale campionato componenti complementari componente primaria campionamento a pulsazione! c " 2! M fenomeno di aliasing campionamento a pulsazione! c < 2! M filtro ricostruttore ideale (non realizzabile) $ G R ( j") = T c " # " c /2 % & 0 else anche se usassimo un filtro ricostruttore ideale... comportamento approssimato dallo ZOH (per T c piccolo a sufficienza) ricostruzione del segnale (idealmente) perfetta... Teorema di Shannon...ricostruzione del segnale (sempre) corrotta Teorema di Shannon conclusione: i segnali hanno sempre componenti a frequenza sufficientemente alta (rumore) filtraggio anti-aliasing Automazione 5

6 Ricostruzione: Zero-Order Hold risposta dello ZOH ad un impulso unitario in ingresso (differenza di due gradini unitari, con il secondo ritardato) h 0 (t) = " #1 (t) # " #1 (t # T c ) (nel dominio della frequenza) H 0 ( j") = 1 j" # 1 j" e# j"t c = 1 # e# j"tc j" H 0 ( j") = 1 j" # 1 j" e# j"t c = e j"tc / 2 # e # j"tc / 2 j" e # j"t c / sin("t 2 = T c /2) c e # j"t c / 2 "T c /2 H 0 ( j") = T c sin("t c /2) "T c /2 # T c per "T c <<1 lo ZOH approssima il ricostruttore (recuperando la scala!) per T c sufficientemente piccolo lo ZOH introduce nell anello di controllo un ritardo pari a T c /2, con problemi indotti di instabilità Scelta del passo di campionamento T c sufficientemente piccolo evita perdita di informazione e instabilità T c non troppo piccolo cresce il costo computazionale (vincoli real time) "# M $ # c $10"# M " 5#$ M % T c % 2" #$ M " # [5 10] parametro di progetto Automazione 6

7 Specifiche nel progetto di controllo stabilità asintotica! prestazioni statiche (errori a regime permanente) prestazioni dinamiche (sul transitorio) spesso sulla risposta a gradino (risposta indiciale), con legami da/per la risposta armonica specifiche riferimento-uscita specifiche disturbo-uscita sforzo di controllo limiti fisici (attuatori) realizzazione digitale (passo di campionamento e altro) Automazione 7

8 Specifiche sulla risposta indiciale tempo di salita T s (da 10% al 90% del regime) tempo di assestamento T a (errore inferiore al 3-5%) massima sovraelongazione S S = y(t m ) " y # y # istante di massima sovraelongazione T m Automazione 8

9 ! Azione Proporzionale-Integrale-Derivativa (sull errore) Regolatore PID! soluzione industriale standard: oltre il 95% dei dispositivi di controllo in uso, per lo più di tipo digitale, hanno una legge di controllo PID! molteplici versioni e varietà di prodotti, differenti per feature aggiuntive! semplice taratura dei parametri (tuning), ora spesso automatica! facile interpretazione dei termini/effetti nella legge di controllo e(t) = y rif (t) " y(t) $ u(t) = K p e(t) + 1 t de(t) ' & # e(")d" + T T d ) % i dt ( u(t) = K p e(t) + K i 0 t de(t) # e(")d" + K d dt 0 due espressioni equivalenti del PID (in forma analogica) Automazione 9

10 Regolatore PID digitale discretizzazione con passo T c delle azioni del PID sull errore e(t) = y rif (t) " y(t) K p e(t) " K p e(kt c ) = K p K p 1 K p T d de(t) dt k t # e(") d" $ K p T 0 T c e integrazione rettangolare in avanti % j i (detta anche di Eulero a sinistra) j =0 " K p T d # #1 T c derivazione all indietro (backward) u k = K p + K pt c k " e j + K pt d j =0 T c ( # #1 ) forma di posizione del PID digitale u i,k = u i,k "1 + K p T c u k = K p + K pt d T c ( " "1 ) + u i,k implementazione ricorsiva della forma di posizione del PID digitale Automazione 10

11 Regolatore PID digitale u k = K p + K p T c u k "1 = K p "1 + K p T c k " e j + K T p d j =0 k "1 e j j =0 T c ( # #1 ) # + K T p d (e T k "1 " "2 ) c facendo la differenza di due campioni di controllo successivi... "u k = u k # u k #1 = K p ( # #1 ) + K p T c u k = u k "1 + #u k + K T p d ( e T k # 2 #1 + #2 ) c forma di velocità del PID digitale introducendo l operatore di ritardo z -1 =1/z (di un passo T c )... y k "1 = z "1 y k ( 1" z "1 ) u k = K p ( 1 " z "1 ) + K T p c # u k = K p + K p % $ T c 1" z "1 + K p T c T d 1 " z "1 + K T p d ( 1 " 2z "1 + z "2 )e T k c = 1 " z "1 ( ) & ( = PID(z) ' ( ) 2 Automazione 11

12 Schema PID digitale u i,k u k u d,k controllore PID digitale Automazione 12

13 Derivata filtrata in banda... $ u(t) = K p e(t) + 1 t de(t) ' & # e(")d" + T T d ) % i dt ( 0 il termine derivativo puro del PID non è realizzabile ( ) " u(s) = K p s + T s % $ d # & ' e(s) = K (1/T ) + s + T s 2 p i d s e(s) funzione di trasferimento impropria (non causale) K p T d s " K p T d s 1+ (T d /N) s aggiunta di un polo in alta frequenza (la derivazione viene filtrata in banda) si considerano N campioni a tempo discreto con 5 " N " 20 realizzazione solo con blocchi causali e K p N 1 1+ T d N s + # u d Automazione 13

14 u d,k + T d N u d,k = u d (s) = K p T d s 1+ T d N s e(s) u d,k " u d,k "1 T c = K p T d " "1 T c 1 1+ T d NT c T c...e sua realizzazione digitale " 1+ T d $ # N s % ' u & d (s) = K p T d s e(s) derivate realizzate con le differenze all indietro # T d u NT d,k "1 + K pt d " K pt d & % e c T k "1 ( u d,k = $ c ' # 1+ T d " T & d % z "1 ( u $ NT c NT d,k = K pt d ( 1" z "1 )e c ' T k c K p T d ( 1 " z "1 ) T c 1+ T d NT c " T d NT c z "1 u i,k = u i,k "1 + K pt c u k = K p + u i,k + u d,k # % u k = K p + K p % % $ % T c 1 " z + K pt d 1 " z "1 "1 T c 1+ T d " T d NT c & ( ( = PID * (z) z "1 ( NT c '( Automazione 14

15 Schema PID* digitale u i,k u k u d,k controllore PID digitale con derivata filtrata in banda = PID* Automazione 15

16 Schemi realizzativi del PID schema standard con tutte le azioni P+I+D sull errore I quando e(t)!0, a causa dei rumori di misura il rapporto S/N peggiora PD PI azione P+D calcolata sull uscita (il solo termine integrale recupererà l errore): evita saturazioni da salto a gradino del riferimento e(t)! PI Lead u(t)! azione derivativa calcolata solo sull uscita (per riferimento costante a lungo o a tratti): evita spikes dovuti a variazioni di r a gradino r = cost " de(t) dt = # dy(t) dt azione derivativa assimilata a quella di una rete anticipatrice opportuna: facilita il tuning del PID con le regole del loop shaping in frequenza Automazione 16

17 schema a due gradi di libertà (con parametri!, ") r(t)! + # " + #T d s u(t)! 1+ 1 # s + T + ds K p G(s) Schema PID con feedforward aggiunta di un azione di feedforward (ffw) (per inseguimento di riferimento variabile e/o compensazione di disturbi) y(t)! schema equivalente con sole azioni di feedback (fbk) (dall errore e dall uscita misurata) da discretizzare come prima per ottenere un PID + ffw digitale! = 0# " = 0#! = 0# " = 1# r(t)! u(t)! + ( 1 " #) + 1 s + ( 1 " $ + )T d s K p G(s) # # y(t)!! = 1# " = 1# 0<!<1# 0<"<1#... " + #T d s vedi schemi pagina precedente Automazione 17

18 Schema PID* sull uscita u i,k u k y k u d,k controllore PID digitale con derivata (filtrata in banda) calcolata sull uscita = PID* y Automazione 18

19 saturazione fisica dell attuatore " u H, $ u a (t) = # u(t), $ % u L, u H & u(t) u L & u(t) & u H u(t) & u L (di solito simmetrica rispetto allo 0, ma non necessariamente) il comando attuato NON dipende più dall uscita del PID (ossia dall azione di controllo in feedback calcolata dall errore) Saturazione dell attuatore sotto PID ad esempio, attuatore saturato al suo valore massimo G(s) G(s) come fosse ad anello aperto (o con una riduzione dei guadagni) la saturazione del comando di controllo è critica se c è un azione integrale che accumula errore anche quando l attuatore è in saturazione Automazione 19

20 PID digitale anti-windup una possibile realizzazione anti-windup del regolatore PID digitale y k! w 1,k!! u 1,k! w k! u k! azione separata PD, PD*, o PD* y! si conosce una misura dell effettivo segnale attuato ($ dal controllo calcolato) oppure si usa un modello algebrico dell attuatore con stessi valori di saturazione! nello schema, ci sono due saturazioni: sulla sola azione PD e sul comando finale! l integrazione dell errore viene bloccata automaticamente quando c è saturazione! non evita saturazioni, ma solo l inutile accumulo dell azione integrale sull errore! andrebbe poi scaricata quando l errore si è ridotto, prima di poter rientrare nel dominio di linearità dell attuatore! si rallenterebbe quindi il recupero della corretta azione del PID Automazione 20

21 azione separata PD, PD*, o PD* y Analisi del comportamento anti-windup y k! w 1,k!! u 1,k! w k! u k! nella regione di linearità ( ) = 1 " z "1 u k = (w k =) u 1,k + K pt c e T k + u k "1 " u 1.k "1 i (= w 1,k ) ( )u 1,k + K pt c + z "1 u k 1" z "1 esegue l azione PD+I standard u k = u 1,k + K pt c entrambi i blocchi in saturazione (da almeno 1 passo di campionamento) u k "1 = u H u 1,k = u 1,k "1 = u H ad esempio, attuatore saturato al suo valore massimo u k = u H + K pt c + ( u H " u H ) = u H + K pt c e T k NON integra più! i Automazione 21

22 Effetto dell anti-windup nel PID uscita controllata comando di controllo (e versione effettivamente attuata) simulazione di un controllo in retroazione di tipo PID in presenza di saturazione dell attuatore: realizzazione standard (a-c) e realizzazione anti-windup (b-d) Automazione 22

23 Tuning del PID - 1 metodo basato su un modello semplice (guadagno, costante di tempo, ritardo finito) G(s) = K e"#s 1+ $s che approssima il processo fisico, ricavato da parametri della risposta ad un gradino $u esempi di deduzione per via grafica del modello di progetto G(s): processo del primo ordine (a) e processo di ordine superiore (b) nel caso (b), a volte si preferisce definire t 1 come l istante in cui la risposta raggiunge il 63% del valore di regime Automazione 23

24 1 metodo di Scelta dei parametri del PID nel caso di PID digitale, si tiene conto del passo di campionamento T c e si pone " # " D = " + T c 2 PID analogico (e sue varianti più semplici) utilizzando nella tabella " D Automazione 24 # $ per KK p, /#, T d /#

25 Esempio di tuning del PID processo da controllare (asintoticamente stabile) P(s) = 1 ( s) ( 1+ s) 2 ( 1+ 2s) Nota: il modello matematico del processo non è detto che sia noto, anzi... analisi grafica risposta indiciale può essere rilevata sperimentalmente (anche senza modello) K =1 " =1.46 s # = 3.34 s modello per il progetto del PID (uso delle tabelle) G(s) = e"1.46s s Automazione 25

26 Esempio di tuning del PID processo da controllare P(s) = 1 ( s) ( 1+ s) 2 ( 1+ 2s) vediamo prima cosa succede con delle leggi di controllo progettate per tentativi... con controllore solo proporzionale (qui K p = 2) tempo di salita più rapido (t s! 3 s) errore a regime permanente (! 33%) sovraelongazione pronununciata (! 35%) aumentando il guadagno, oscillazioni crescenti con controllore PID* (con derivata in banda) dopo molte prove: K p = 3, = 5, T d = 0.1 spesso instabile (con guadagni molto simili!) sovraelongazione eccessiva e molte oscillazioni tempo di assestamento troppo lungo (40 50 s) Automazione 26

27 processo da controllare P(s) = controllore PID sintonizzato usando la tabella con il 1 metodo di Ziegler-Nichols 1 ( s) ( 1+ s) 2 ( 1+ 2s) Esempio di tuning del PID " PID* (s) = K p 1+ 1 s + T d s % $ # 1+ (T d /N)s', & K p = 2.75, = 2.92, T d = 0.73, N = 5 derivata limitata in banda tempo di salita rapido (t s! 2,5 s) errore a regime permanente nullo poche oscillazioni tempo di assestamento! 16 s sforzo di controllo limitato [vedi prossima slide] sovraelongazione ancora elevata... Automazione 27

28 P(s) = 1 ( s) 1+ s ( ) 2 ( 1+ 2s) dall analisi grafica della risposta indiciale Versione digitale del PID e"1.46s G(s) = K s (K =1,# =1.46 s, $ = 3.34 s) processo da controllare modello per il progetto del PID (uso delle tabelle) regolatore PID digitale con T c = 0.3 s " # D = # + T c /2 = =1.61 " # D /$ = dalla tabella (1 metodo di Ziegler-Nichols) KK p = , /" = , T d /" = " K p = , = 3.22, T d = risposta indiciale (a tempo continuo) uscita del regolatore PID digitale (dopo organo ZOH) sforzo di controllo limitato nel transitorio Automazione 28

29 Tuning del PID metodo di Ziegler-Nichols (ad anello chiuso) [posizione di tuning b] 1. si chiude l anello di controllo con la sola azione proporzionale 2. si aumenta il guadagno K fino al valore critico K c che porta il sistema in oscillazione 3. si ricava il periodo P c dell oscillazione critica [posizione di operazione a] PID (o sue varianti), dopo la scelta dei guadagni come da tabella y d!k P c = 2%/& c. (-1,j0)!! interpretazione sul diagramma di Nyquist Automazione 29

30 stesso processo da controllare P(s) = controllore PID sintonizzato usando la tabella con il 2 metodo di Ziegler-Nichols 1 ( s) ( 1+ s) 2 ( 1+ 2s) Esempio di tuning del PID " PID*(s) = K p 1+ 1 s + T d s % $ # 1+ (T d /N)s', & K p = 3, = 3.13, T d = 0.78, N = 5 controllore P con guadagno critico K c = 5 periodo di oscillazione (tra picchi) P c = 6.27 s risultato molto simile al caso precedente (anche nella versione digitale) Automazione 30

31 2 metodo di Ziegler-Nichols (schema alternativo ad anello chiuso) [posizione di tuning b] 1. si chiude l anello con una funzione a relè di ampiezza d 2. la retroazione non lineare innesca una oscillazione critica dalla teoria delle funzioni descrittive: il segnale di uscita a regime è periodico quasi-sinusoidale di periodo P c la prima armonica dell uscita ha un ampiezza A = 4d/% Tuning del PID si misura il periodo P c dell oscillazione critica e dall ampiezza A dell uscita si ricava K c [posizione di operazione a] PID (o sue varianti), dopo la scelta dei guadagni come da tabella y d K c = 4d/%A Automazione 31