Metodi di Controllo Avanzati. Prof. Laura Giarré

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1 Metodi di Controllo Avanzati Prof. Laura Giarré

2 Metodi di controllo avanzati Compensazione in avanti del riferimento Prefiltraggio del segnale di riferimento Controllo in cascata Compensazione in avanti di un disturbo misurabile CA Prof. Laura Giarré

3 Compensazione in avanti del riferimento Uno schema consente di unire i vantaggi del controllo in avanti (feedforward), ovvero prestazioni ottime in condizioni nominali, con quelli del controllo in retroazione (feedback), ovvero robustezza rispetto alle incertezze è il seguente Progettato invertendo la dinamica dell impianto, al fine di avere inseguimento perfetto (e(t)=) in condizioni nominali Progettato al fine di garantire le specifiche del sistema retroazionato in maniera robusta rispetto ad incertezze sulla dinamica del sistema e rispetto a disturbi esterni non noti CA Prof. Laura Giarré

4 Compensazione in avanti del riferimento La funzione di trasferimento tra set-point e uscita si modifica nel seguente modo: + - Se Vecchia funzione di sensitività complementare (retroazione) Poiché G(s) è strettamente propria, la ideale risulterebbe impropria e quindi non fisicamente realizzabile. Tuttavia è possibile ottenere una funzione che approssima solo in un preciso intervallo frequenziale CA Prof. Laura Giarré

5 Compensazione in avanti del riferimento Si considera il dominio della frequenza Trasformata di Fourier La relazione dovrà essere soddisfatta per quelle pulsazioni dove lo spettro del segnale di riferimento è diverso da zero ( ) aggiunta di poli in per fisica realizzabilità Altre problematiche realizzative: Necessità di avere un modello affidabile di G(s) nel campo di pulsazioni in cui agisce il segnale di riferimento Moderazione della variabile di controllo CA Prof. Laura Giarré

6 Compensazione in avanti del riferimento Moderazione della variabile di controllo Funzione di sensitività del controllo: - Nell ipotesi che si ha che Quindi se e ha grado relativo > si ha che la funzione di sensitività del controllo presenta un andamento passa alto Introdurre poli fuori banda in e/o evitare di invertire poli di fuori banda CA Prof. Laura Giarré

7 Compensazione in avanti del riferimento Impiego dell azione in avanti Presenza di misure rumorose (o di ritardi) che limitano la massima pulsazione di attraversamento del guadagno di anello L(j ) ad assumere bassi valori Dinamica lenta del sistema in retroazione Presenza di specifiche sull uscita controllata che richiedono un tempo di assestamento molto più basso rispetto a quello ottenibile con il solo controllore in retroazione Pulsazione minima a cui agisce il disturbo di misura n Bode Plot Incompatibilità delle specifiche CA Prof. Laura Giarré Specifica sul tempo di assestamento

8 Compensazione in avanti del riferimento Soluzione nel caso di incompatibilità delle specifiche Pulsazione minima a cui agisce il disturbo di misura n Bode Plot Incompatibilità delle specifiche Specifica sul tempo di assestamento Progettare il regolatore in retroazione in modo da garantire robustezza asintotica e bassa sensitività ai disturbi Progettare l azione in avanti al fine di migliorare il transitorio dell uscita (in termini di velocità) CA Prof. Laura Giarré

9 Compensazione in avanti del riferimento Esempio Specifiche: 1) e = (ingresso a gradino) 2) T a.2 s, S% 2% 3) Attenuazione di almeno 2 db di un disturbo n che agisce nello spettro n 5 Hz (=314 rad/s) Magnitude (db) Bode Diagram Gm = 26.7 db (at 35 rad/sec), Pm = 59.7 deg (at 53 rad/sec) Polo nell origine Specifiche contrastanti Il regolatore è progettato assumendo -2-9 Phase (deg) Frequency (rad/sec) CA Prof. Laura Giarré

10 Compensazione in avanti del riferimento Senza compensazione in avanti - T a troppo alto Magnitude (db) Bode Diagram Phase (deg) y Frequency (rad/sec) CA Prof. Laura Giarré tempo

11 Compensazione in avanti del riferimento Si considera ora un azione in avanti che approssimi invertendo il polo più lento (e quindi dominante) in s = La funzione di trasferimento tra disturbo n e uscita rimane -F(s) Bode Diagram Magnitude (db) y.4 Phase (deg) Frequency (rad/sec) tempo CA Prof. Laura Giarré

12 Compensazione in avanti del riferimento Implementazione dell azione in avanti (u ff (t)): Data una fdt a fase minima (poli-zeri stabili ), e con grado relativo =n-m, si può scrivere con strettamente propria L azione in avanti con può essere riscritta nel domino temporale come con CA Prof. Laura Giarré

13 Compensazione in avanti del riferimento Combinazione lineare del riferimento e delle sue derivate fino all ordine Riferimento filtrato dalla fdt G (s) Affinchè l azione di controllo in avanti u ff (t) risulti limitata occorre che il riferimento y sp (t) e tutte le sue derivate fino all ordine siano limitate (continuità fino all ordine -1) Importanza di una scelta opportuna del segnale di set-point Particolarmente semplice risulta il caso in cui la fdt G(s) non presenti zeri CA Prof. Laura Giarré

14 Compensazione in avanti del riferimento Esempio Specifiche: 1) e = (ingresso a gradino) 2) T a.2 s, S% 2% 3) Attenuazione di almeno 2 db di un disturbo n che agisce nello spettro n 5 Hz (=314 rad/s) Magnitude (db) Bode Diagram Gm = 2 db (at 224 rad/sec), Pm = 56.2 deg (at 52.8 rad/sec) Polo nell origine Specifiche contrastanti Il regolatore è progettato assumendo Phase (deg) Frequency (rad/sec) CA Prof. Laura Giarré

15 Compensazione in avanti del riferimento Si considera una traiettoria polinomiale di grado 3 (continuità di posizione e velocità) di durata y sp (posizione) 1.5 y sp (velocità) tempo tempo y sp (accelerazione) CA Prof. Laura Giarré tempo

16 Compensazione in avanti del riferimento Senza compensazione in avanti y u tempo tempo CA Prof. Laura Giarré

17 Compensazione in avanti del riferimento Calcolo dell azione in avanti ottenuta invertendo - Antitrasformando e interpretando l operatore s come operatore di derivazione CA Prof. Laura Giarré

18 Compensazione in avanti del riferimento Sfruttando l azione in avanti u y CA Prof. Laura Giarré tempo tempo

19 Prefiltraggio del segnale di riferimento Filtraggio del segnale di riferimento al fine di modificarne le componenti frequenziali che sono iniettate nel sistema in retroazione + - Obiettivi: a) Progettare R pf (s) al fine di moderare la variabile di controllo senza alterare le prestazioni dinamiche (tempo di assestamento) del sistema chiuso in retroazione b) Progettare R pf (s) al fine di ampliare la banda ( open loop ) del sistema controllato c) Cancellare dinamiche parassite del sistema closed loop CA Prof. Laura Giarré

20 Prefiltraggio del segnale di riferimento Caso a) Impiego del prefiltraggio per moderare la variabile di controllo Presenza di limiti di attuazione e di specifiche su T a blande che spingerebbero ad assumere una pulsazione di attraversamento bassa Presenza di disturbi sull uscita d collocati a pulsazioni con che obbliga a imporre pulsazioni di attraversamento Valore desiderato per c al fine di rispettare le specifiche dinamiche e moderare lo sforzo di controllo Bode Plot Incompatibilità delle specifiche Massima pulsazione a cui agisce il disturbo d CA Prof. Laura Giarré

21 Prefiltraggio del segnale di riferimento Caso a) Soluzione al problema 1) Progettare R(s) in modo da attenuare il disturbo di tipo d nel campo di frequenze in cui agisce (imponendo necessariamente delle dinamiche veloci al sistema in retroazione rispetto ai tempi di assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di controllo) 2) Smussare il segnale di riferimento in modo da non eccitare il sistema in retroazione con componenti spettrali superiori a R pf (s) progettato sulla base del vincolo sul tempo di assestamento (filtrando tutte le componenti > c* ) + - R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento c > H > c* ) CA Prof. Laura Giarré Legame complessivo tra y sp (t) e y(t)

22 Prefiltraggio del segnale di riferimento Dalla funzione di sensitività complementare complessiva si evince che il prefiltraggio del riferimento modifica (peggiora) il comportamento dinamico del sistema in retroazione D altronde, considerando un filtraggio di tipo passa basso, la funzione di sensitività del controllo complessiva risulta attenuata in maniera considerevole alle alte frequenze CA Prof. Laura Giarré Il filtro R fp (s) dovrebbe: avere guadagno statico unitario (R fp () =1) al fine di non alterare il valore a regime di y(t) essere un filtro passa basso con pulsazione di rottura intorno a c *

23 Prefiltraggio del segnale di riferimento Esempi di filtri Filtro del primo ordine: Filtro del secondo ordine reale: Ordine Bode Diagram Filtri complessi : es. filtri di Butterworth Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) CA Prof. Laura Giarré

24 Prefiltraggio del segnale di riferimento Caso a) Esempio Specifiche: 1) e = (ingresso a gradino) 2) T a 1 s, S% 2% 3) Attenuazione di almeno 1 db di un disturbo d che agisce nello spettro d 3 rad/s Magnitude (db) Bode Diagram Gm = 18.7 db (at 4.8 rad/sec), Pm = 55 deg (at 1.5 rad/sec) Polo nell origine Specifiche contrastanti Il regolatore è progettato assumendo Phase (deg) Frequency (rad/sec) CA Prof. Laura Giarré

25 Prefiltraggio del segnale di riferimento Senza pre filtro y Bode Diagram tempo Magnitude (db) -5-1 u CA Prof. Laura Giarré Frequency (rad/sec) tempo

26 Prefiltraggio del segnale di riferimento Si considera ora un prefiltro del primo ordine y.6 con pulsazione di taglio Bode Diagram tempo Magnitude (db) -4-6 u CA Prof. Laura Giarré Frequency (rad/sec) tempo

27 Prefiltraggio del segnale di riferimento Caso b) Impiego del prefiltraggio per ampliare la banda del sistema controllato Presenza di specifiche severe sull attenuazione di disturbi di tipo n e/o presenza di ritardi nel sistema controllato che limitano la massima pulsazione di attraversamento (e quindi la velocità di risposta del sistema) ad essere Presenza di specifiche sul tempo di assestamento che richiederebbero una pulsazione di attraversamento superiore a quella imposta dai vincoli sopra ( ) Pulsazione minima a cui agisce il disturbo di misura n CA Prof. Laura Giarré Bode Plot Incompatibilità delle specifiche Specifica sul tempo di assestamento

28 Prefiltraggio del segnale di riferimento Caso b) Soluzione al problema 1) Progettare R(s) in modo da attenuare il disturbo di tipo n nel campo di frequenze in cui agisce (imponendo necessariamente delle dinamiche lente al sistema in retroazione rispetto ai tempi di assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di controllo) 2) Progettare il pre filtro come passa alto al fine di ampliare la banda tra il riferimento y sp (t) e l uscita y(t) R pf (s) progettato sulla base del vincolo sul tempo di assestamento (amplificando tutte le componenti nel range L < < c* ) + - R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento L < c < c* ) CA Prof. Laura Giarré Legame complessivo tra y sp (t) e y(t)

29 Prefiltraggio del segnale di riferimento Caso b) Esempio Specifiche: 1) e = (ingresso a gradino) 2) T a 1 s, S% 2% 3) Attenuazione di almeno 2 db di un disturbo n che agisce nello spettro n 5 rad/s Magnitude (db) Bode Diagram Gm = 3.9 db (at 4.47 rad/sec), Pm = 6.6 deg (at.53 rad/sec) Polo nell origine Specifiche contrastanti Il regolatore è progettato assumendo -2-9 Phase (deg) CA Prof. Laura Giarré Frequency (rad/sec)

30 Prefiltraggio del segnale di riferimento Senza pre filtro Poli dominanti 5 Bode Diagram 1.4 Magnitude (db) y Phase (deg) CA Prof. Laura Giarré Frequency (rad/sec) tempo

31 Prefiltraggio del segnale di riferimento Si considera ora un pre filtro (passa alto) del secondo ordine, che cancella (quasi perfettamente) i poli dominanti di F(s) e aggiunge altri due poli complessi coniugati con (vedi specifica 2)) La funzione di trasferimento tra disturbo n e uscita rimane F(s) 5 Bode Diagram 1.4 Magnitude (db) Phase (deg) CA Prof. Laura Giarré Frequency (rad/sec) y tempo

32 Prefiltraggio del segnale di riferimento Caso c) Impiego del prefiltraggio per cancellare dinamiche parassite del sistema closed loop Presenza di dinamiche parassite nel sistema in retroazione, es. coppie polizeri quasi in cancellazione entro la banda del sistema con Pole-Zero Map Dinamiche parassite Dinamiche fuori banda 4 Imaginary Axis Dinamiche dominanti Real Axis CA Prof. Laura Giarré

33 Prefiltraggio del segnale di riferimento Caso c) Soluzione al problema Progettare R pf (s) in modo da cancellare le dinamiche parassite del sistema in retroazione F(s) + - CA Prof. Laura Giarré

34 Prefiltraggio del segnale di riferimento Caso c) Esempio Dinamica parassita: Cancellazione imperfetta polo/zero Attenzione a non alterare il guadagno statico di F(s): R pf ()= risposta al gradino.8.6 risposta al gradino CA Prof. Laura Giarré tempo Risposta al gradino di tempo Risposta al gradino di

35 Controllo in cascata Sistema controllato caratterizzato da due dinamiche in cascata, con la variabile intermedia misurabile Sistema a monte stabilizzabile imponendo dinamiche molto più veloci rispetto a quelle che caratterizzano la massima banda imponibile al Bode Plot 6 sistema a valle Massima pulsazione di attraversamento compatibile con G 2 (s) (dinamiche proprie di G 2 (s) lente, presenza di ritardi e disturbi di misura n ) CA Prof. Laura Giarré Minima pulsazione di attraversamento compatibile con G 1 (s) (dinamiche proprie di G 1 (s) veloci, presenza di disturbi di tipo d in alta frequenza)

36 Controllo in cascata In queste condizioni il progetto può essere scomposto in due fasi: Fase 1: progetto dell anello interno - Il regolatore R 1 (s) è progettato sulla base della dinamica di G 1 (s) e del disturbo d disinteressandosi della dinamica a valle e dei vincoli su questa Imposizione di dinamiche veloci 6 Bode Plot 4 Il regolatore R 1 (s) sarà progettato 2 in modo che la L 1 (s)=r 1 (s)g 1 (s) attraversi a c > c* (G 1 ) e inoltre -2 sia L 1 (j ) >>1 per < H (d) CA Prof. Laura Giarré

37 Controllo in cascata Fase 1: progetto dell anello interno Bode Plot Progettare il regolatore in modo che per per CA Prof. Laura Giarré Disturbi d praticamente assenti e v praticamente coincidente con v * nel campo di pulsazioni

38 Controllo in cascata Fase 2: progetto dell anello esterno - - Il regolatore è progettato sulla base della dinamica di e del disturbo n senza considerare la dinamica dall anello interno (che viene approssimata con un corto circuito, ovvero ) imponendo pulsazioni di attraversamento compatibili con la dinamica di e con la presenza di un eventuale disturbo di tipo n ( ) CA Prof. Laura Giarré 6 Bode Plot Dinamiche imposte lente

39 Controllo in cascata Osservazioni: Il progetto del regolatore in cascata si basa su un disaccoppiamento frequenziale dei due anelli di retroazione progettati che induce una doppia scala dei tempi nelle dinamiche controllate: l anello interno risulta essere molto più veloce di quello esterno (le cui dinamiche risultano poi essere quelle dell uscita del sistema complessivo) In molti casi di interesse ingegneristico il controllo in cascata è l unica soluzione al fine di soddisfare le specifiche (in apparenza contrastanti) sull attenuazione dei disturbi in alta ( n ) e in bassa ( d ) frequenza Questo approccio al controllo riduce un problema di controllo complicato (controllo di due dinamiche) in due sottoproblemi semplici (controllo delle due dinamiche considerate singolarmente) CA Prof. Laura Giarré

40 Controllo in cascata Esempio Specifiche: 1) Ingresso di set point: e = (ingresso a gradino), 2) Attenuazione di almeno 2 db di un disturbo n che agisce nello spettro n 1 rad/s Specifiche contrastanti 3) Attenuazione di almeno 2 db di un disturbo d che agisce nello spettro d.5 rad/s. e = per ingresso di disturbo a gradino CA Prof. Laura Giarré

41 Controllo in cascata Progettazione dell anello interno - Polo nell origine per il disturbo costante 4 Bode Diagram Gm = Inf, Pm = 8 deg (at 5 rad/sec) Regolatore PI: Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) CA Prof. Laura Giarré

42 Controllo in cascata progettazione dell anello esterno - - Regolatore PI: 4 Bode Diagram 1.2 Considerando il loop interno come un corto circuito Magnitude (db) y.4 Phase (deg) CA Prof. Laura Giarré Frequency (rad/sec) tempo

43 Controllo in cascata progettazione dell anello esterno - - Regolatore PI: 4 Bode Diagram 1.2 Si considerano entrambi i loop di controllo Magnitude (db) y.4 Phase (deg) CA Prof. Laura Giarré Frequency (rad/sec) tempo

44 Compensazione in avanti di un disturbo misurabile + + Sistema descritto da e caratterizzato quindi da un disturbo d sull uscita misurabile (o stimabile in qualche modo) Sfruttando il fatto che d è conosciuto è possibile compensare in anello aperto il disturbo sull uscita agendo su u CA Prof. Laura Giarré

45 Compensazione in avanti di un disturbo misurabile Considerazioni analoghe a quelle relativa alla compensazione in avanti del riferimento: R(s) progettato al fine di garantire le specifiche del sistema retroazionato in maniera robusta M(s) per migliorare le performance in termini di riduzione del disturbo CA Prof. Laura Giarré

46 Compensazione in avanti di un disturbo misurabile Se Vecchia funzione di sensitività (solo retroazione) CA Prof. Laura Giarré

47 Compensazione in avanti di un disturbo misurabile Problemi di realizzabilità di zeri a parte reale positiva e ritardi in G(s) grado relativo Si può approssimare la fdt nell intervallo di pulsazioni a cui agisce il disturbo d in modo tale che per Per disturbi d costanti, si può ricorrere a un compensatore statico CA Prof. Laura Giarré

48 Compensazione in avanti di un disturbo misurabile Esempio Senza il compensatore M(s) Bode Diagram 5 misurabile Funzione di sensitività 1 Risposta al gradino Magnitude (db) uscita CA Prof. Laura Giarré Frequency (rad/sec) tempo

49 Compensazione in avanti di un disturbo misurabile Nel caso ideale 1 Bode Diagram 8 Con il compensatore M(s) 1 Poiché M(s) non è fisicamente realizzabile la si approssima considerando solo il polo G(s) più lento Funzione Bode di Diagram sensitività Magnitude (db) Phase (deg) M ideale 225 M reale Frequency (rad/sec) Risposta al gradino Magnitude (db) CA Prof. Laura Giarré rad/s Frequency (rad/sec) uscita tempo

50 Compensazione in avanti di un disturbo misurabile Nel caso ideale 1 8 Bode Diagram Poiché M(s) non è fisicamente realizzabile la si approssima considerando solo il polo G(s) più lento Magnitude (db) Phase (deg) M ideale M reale Con il compensatore M(s) Funzione Bode di Diagram sensitività Frequency (rad/sec) Risposta al gradino Magnitude (db) CA Prof. Laura Giarré rad/s Frequency (rad/sec) uscita tempo