Note su filtri digitali

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1 Progettazione nell'ambiente LPCXpresso Introduzione alla progettazione di sistemi embedded a microcontrollore Note su filtri digitali S. Salvatori - Microelettronica aprile 2016 (1 di 42)

2 Sommario Perché un filtro digitale Filtraggio digitale Trasformata z Progetto di filtri digitali Filtri FIR Algoritmo di calcolo 2/42

3 Perché un filtro digitale? Il processore può essere riprogrammato; L'accuratezzo dipende dall'arrotondamento nel calcolo aritmetico: Nota a priori Minimizzare gli errori aumentando la risoluzione Alimentazione e temperatura non influenzano le prestazioni (il programma rimane lo stesso) Alta immunità al rumore 3/42

4 Processo di campionamento 4/42

5 Aliasing Segnale campionato correttamente Alias dovuto al sottocampionamento 5/42

6 Filtraggio digitale V REF V REF Analog input filtro numerico DAC Analog output gnd gnd 6/42

7 Filtraggio digitale Un modo per ridurre il rumore in un segnale potrebbe consistere nella semplice operazione di smoothing Per esempio un filtro parabolico: y[k ]= 1 ( 3 x [k+2]+12 x [k +1]+17 x[k ]+12 x[ k 1] 3 x[k 2] ) 35 7/42

8 Filtraggio digitale Nel filtro: y[k ]= 1 35 ( 3 x [k+2]+12 x [k +1]+17 x[k ]+12 x[ k 1] 3 x[k 2] ) il valore del campione attuale dell'uscita dipende da: campione attuale x[k] campioni precedenti x[k-1] e x[k-2] e i campioni futuri x[k+1] e x[k+2]! Il problema viene risolto semplicemente spostando il calcolo di y[k] dopo che i 5 campioni sono stati acquisiti 8/42

9 Filtraggio digitale Cioè: y[k ]= 1 35 ( 3 x [k]+12 x[k 1]+17 x [k 2]+12 x [k 3] 3 x[k 4]) È interessante osservare che l'espressione: y[k ]= a i x [k i] rappresenta la convoluzione dei dati in ingresso attraverso i coefficienti del filtro. Tali coefficienti rappresentano la risposta impulsiva del filtro. Infatti: che succede se l'ingresso è un impulso: x[k] = 0 per k 0, x[0] = 1 9/42

10 Filtraggio digitale Se x[k] = 0 per k 0, x[0] = 1 y[k ]= a i x [k i]=a k x(0) Quindi: y[0]=a 0 ; y[1]=a 1 ; y[2]=a 2 ;... Poiché vi è un numero finito di coefficienti, la risposta impulsiva è finita. Per questo motivo tali filtri vengono denominati FIR, Finite Impulse Response 10/42

11 Filtraggio digitale Un altro tipo di filtri è quello di tipo ricorsivo: l'uscita attuale dipende dai valori precedenti dell'uscita: N y[k ]= i=0 M a i x [k i]=a k x(0)+ i=0 b i y [k i] Questi hanno una risposta impulsiva di tipo infinito e vengono denominati IIR, Infinite Impulse Response 11/42

12 Trasformata z note 12/42

13 Trasformata z La trasformata z ha, nel dominio discreto, lo stesso ruolo che la trasformata di Laplace ha nel dominio analogico Impulso a t=kt trasformata di Laplace e kts La trasformata di Laplace di una funzione discreta f[k], che è una successione di impulsi, sarà: F d [ s]=f (0)+f (1)e Ts +f (2)e 2Ts + f (3)e 3Ts +f (4)e 4Ts /42

14 Trasformata z F d [ s]=f (0)+f (1)e Ts +f (2)e 2Ts + f (3)e 3Ts +f (4)e 4 Ts +... e Ts z F (z)=f (0)+f (1) z 1 +f (2)z 2 +f (3)z 3 +f (4)z /42

15 Esempi 15/42

16 Esempi 16/42

17 Esempi 17/42

18 Funzione di trasferimento impulsiva Trasformata z dell'uscita Trasformata z dell'ingresso Y (z )=G(z) X (z ) Filtro non-ricorsivo: N G(z)= i=0 a i z i Filtro ricorsivo: N Y (z )= i=0 M a i z i X (z)+ i=1 b i z i Y (z) G(z)= Y (z) X (z ) = a i z i 1 b i z i 18/42

19 Piano z z=e st con s=σ + j ω z=e σ T e j ω T se σ=0 z=e j ωt =cos(ω T )+ j sin(ω T) z =1 ω σ>0 σ σ<0 1 19/42

20 Progetto di un filtro digitale 20/42

21 Filtri semplici Per progettare un filtro passa basso si può adottare la tecnica di smoothing; Vi sono due approcci: fit polinomiale media mobile Fit polinomiale Aumentando l'ordine del polinomio possiamo migliorare il cut-off 21/42

22 Media mobile: esempio Filtro Hanning y[k ]= 1 (x [k ]+2x [k 1]+ x[k 2]) 4 Il filtro genera il campione attuale come media pesata di tre campioni di ingresso con quello al centro avente peso doppio rispetto a quelli estremi 22/42

23 Filtro Hanning La trasformata z sarà: H (z )= 1 4 (1+2 z 1 + z 2 ) che è pari a H (z )= 1 4 (z+1)2 con due zeri pari a -1 È un passa basso? Vediamo la risposta in frequenza 23/42

24 Filtro Hanning H (z )= 1 4 (1+2 z 1 + z 2 ) z e jω T H ( jω)= 1 4 (1+2 e j ωt +e 2 j ωt ) H ( jω)= 1 4 e j ωt (e j ωt +2+e jω T ) H ( jω)= 1 4 e j ωt (2+2cos(ωT )) H ( jω)= 1 2 e j ωt (1+cos(ω T )) H 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 f/2f s 24/42

25 Filtro Hanning Fase? H ( jω)= 1 2 e j ωt (1+cos(ω T )) H ( jω)= ωt La fase varia linearmente con f. Questo è vero per qualunque filtro FIR con coefficienti simmetrici (polinomio palindromo) 25/42

26 LPF Potremmo realizzare un LPF inserendo un polo H (z )= 1 z α = z 1 1 α z 1 z 1 Y (z )= X (z) Y 1 1 α z y[k ]=x[k 1]+α y[k 1] (z )(1 α z 1 )=z 1 X (z) H 3 2,5 2 α = 0.6 Filtro ricorsivo IIR 1,5 1 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 f/2f s 26/42

27 Progetto di un filtro FIR 27/42

28 Risposta ideale di un passa basso h(n) 1 pass-band f t stop-band f normalizzata alla f s 0.5 Frequenza di transizione La risposta impulsiva di questo tipo di filtro è la funzione sinc. 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0, n f t = 0.4 f S 28/42

29 Risposta ideale di un passa basso La funzione sinc è infinita Si estende sia per x positiva che per x negativa Un filtro FIR, invece ha un numero finito di coefficienti può avere campioni solo dal passato 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1 f t = 0.4 f S -0, n Campioniamo e tronchiamo a un numero finito M+1 di valori M: ordine del filtro Muoviamo I campioni di M/2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0, /42

30 Risposta ideale di un passa basso Con i coefficienti della funzione sinc troncata si ottiene una risposta in frequenza che presenta ripple sia in banda passante che nella banda attenuata I coefficienti vengono pesati con funzioni particolari: Hamming Hanning Bartlett Blackman 30/42

31 Windowing 31/42

32 Windowing 32/42

33 Struttura di un FIR linea di ritardo moltiplicazione h 0 h 1 h 2 h M somma 33/42

34 Esempio f S : Hz f t : 4 khz M: 20 h(n)=. sen[ 2 π f t f s ( n M 2 )] π ( n M 2 ) per n M 2 2 f t f s per n= M 2 # sinc 0-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , /42

35 Esempio Supponiamo di avere un ADC a 12 bit Se anche per i coefficienti scelgo una risoluzione di 12 bit: M Y (k)= i=0 h(i)x ( j) a i z i x(z ) 24 bit 21 addendi: altri 5 bit Totale: 29 bit (ok per up 32 bit) # coeff x , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , /42

36 Algoritmo per il calcolo X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X(10) X(11) X(12) X(13) X(14) X(15) X(16) X(17) X(18) X(19) X(20) Nuovo campione X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X(10) X(11) X(12) X(13) X(14) X(15) X(16) X(17) X(18) X(19) X(20) X(21) Scalare tutti gli elementi del vettore X? 36/42

37 Algoritmo per il calcolo X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X(10) X(11) X(12) X(13) X(14) X(15) X(16) X(17) X(18) X(19) X(20) X(21) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X(10) X(11) X(12) X(13) X(14) X(15) X(16) X(17) X(18) X(19) X(20) p_x X(21) X(22) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X(10) X(11) X(12) X(13) X(14) X(15) X(16) X(17) X(18) X(19) X(20)... È sufficiente muovere un puntatore 37/42

38 Algoritmo per il calcolo Buffer circolare p_x Comincio a riempire il vettore dalla posizione 0; Si incrementa il puntatore; Se p_x > M p_x = 0 38/42

39 Algoritmo per il calcolo Nuovo campione y 0 j p_x i 0 i <= M F T y a(i) * x(j) + y decr. j i i + 1 incr. p_x 39/42

40 Algoritmo per il calcolo decr. j incr. p_x j j - 1 p_x p_x + 1 T j < 0 F T p_x > M F j M p_x 0 end end 40/42

41 Riferimenti /42