TRASMISSIONE dei SEGNALI del MODULATORE

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1 TRASMISSIONE dei SEGNALI del MODULATORE X Canale Modulaore Y Y rasmissivo Demodulaore IPOTESI Il modulaore è un disposiivo SENZA MEMORIA. Trasmee sul canale forme d onda scele da un opporuno alfabeo sulla base delle sequenza binarie che si presenano al suo ingresso { ()} i M I segnali si dell alfabeo del modulaore = 1 hanno duraa T s e sono REALI.

2 TRASMISSIONE dei SEGNALI del MODULATORE X Canale Modulaore Y Y rasmissivo Demodulaore IPOTESI Il canale è Gaussiano addiivo : AWGN (Addiive Whie Gaussian Noise). È supposo a banda illimiaa (per consenire la rasmissione indisora di una qualsiasi forma d onda)

3 TRASMISSIONE dei SEGNALI del MODULATORE CONSEGUENZA: Il riceviore oimo decide sul segnale rasmesso osservando il segnale ricevuo in un inervallo di duraa T. Decisioni SIMBOLO PER SIMBOLO Quindi è possibile limiarsi all inervallo (0,T). Il riceviore oimo consene di rendere minima la probabilià di sbagliare sulla STIMA della forma d onda rasmessa.

4 TRASMISSIONE dei SEGNALI del MODULATORE Modulaore S i () Canale AWGN r() Riceviore s i () + r() = s i () + n() n() DIAGRAMMA a BLOCCHI

5 TRASMISSIONE dei SEGNALI del MODULATORE G n (f) n() : Il RUMORE BIANCO è un processo casuale con uno spero di poenza G n (f) uniforme n() : ha una funzione di auocorrelazione Rn(τ) impulsiva N 0 /2 0 R n (τ) = F -1 {G n (f)} N 0 /2 0 τ f

6 RICEVITORE r() DEMODULATORE RIVELATORE STIMA DEL SEGNALE TRASMESSO DEMODULATORE Ricava da r() la STATISTICA SUFFICIENTE RIVELATORE Decide quale segnale s i () è sao rasmesso dal modulaore sulla base della saisica sufficiene

7 IL DEMODULATORE a CORRELAZIONE Proiea il segnale proiezione di r() n() r() s i Ψ 2 ricevuo r() nello spazio dei segnali del modulaore, idenificao da Ψ 1 { ψ ()} i N i = 1 (N M)

8 STRUTTURA del DEMODULATORE a CORRELAZIONE Ψ 1 () r() X X Ψ 2 () T 0 T 0 d d r 1 r 2 Le proiezioni r 1, r 2, r 3,,r N cosiuiscono una STATISTICA SUFFICIENTE Ψ Ν () X T 0 d r N

9 Il riceviore conosce la sruura dei versori ψ n sono variabili casuali gaussiane: le caraerizziamo ( n )con i loro valori medi, le loro varianze e la covarianza per sabilire il grado di dipendenza di una variabile rispeo alle alre. IL DEMODULATORE a CORRELAZIONE () () () () [ ] () () () () () + = + = = + = = T T i i T T i n s n s n s r r d d d d ψ ψ ψ ψ

10 IL DEMODULATORE a CORRELAZIONE Le componeni di rumore all uscia del demodulaore n sono variabili casuali gaussiane, a valore medio nullo, saisicamene indipendeni (poiché la covarianza è nulla m) e con la sessa varianza pari a N 0 /2. Valor medio [ n ] = 0; E Covarianza (n m) Varianza (n=m) E [ n n ] = 0; N0 2 m ; = m m

11 CARATTERIZZAZIONE STATISTICA delle VARIABILI r Le variabili r all uscia del demodulaore sono variabili casuali gaussiane, a valore medio s i, saisicamene indipendeni (poiché la covarianza è nulla m) e con la sessa varianza pari a N 0 /2.

12 CARATTERIZZAZIONE STATISTICA delle VARIABILI r Valor medio: [ r ] [ ] [ ] [ ] = E si + n = E si + E n si E = Covarianza: {[ r E[ r ][ r E[ r ]} = E{ [ r s ][ r s ]} E{ n n } E = m m i m im m

13 CARATTERIZZAZIONE STATISTICA delle VARIABILI r Densià di probabilià della variabile casuale r condizionaa alla rasmissione dell'i-esimo segnale: f ( ) 1 1 = ( ) 2 r s exp r s i πn 0 N 0 i

14 CARATTERIZZAZIONE STATISTICA delle VARIABILI r Densià di probabilià congiuna di ue le N variabili casuali che rappresenano le proiezioni di r(): f N 1 1 N = i = exp N = 1 N0 = ( r s ) f ( r s ) i ( πn ) ( r s ) 1 i poiché le r sono STATISTICAMENTE INDIPENDENTI

15 CARATTERIZZAZIONE STATISTICA delle VARIABILI r r n n r s s i Ψ 2 Ψ 1 r n s ( ) = si ( ) + n( ) = s () + n () + n () = i N ( s + n ) ψ ( ) + n ( ) = 1 i s

16 CARATTERIZZAZIONE STATISTICA delle VARIABILI r { } N n () e le uscie dei correlaori r = 1 sono STATISTICAMENTE INDIPENDENTI. { } N Quindi r = 1 è STATISTICA SUFFICIENTE a decidere e n () può essere ignorao.

17 DEMODULATORE a FILTRO ADATTATO La sessa saisica sufficiene si oiene con dei FILTRI ADATTATI. Ψ () r() X T 0 d r Operazione di correlazione sono equivaleni r() ψ (T-) r =T

18 In uscia dal filro adaao abbiamo: Campionando in =T si oiene: DEMODULATORE a FILTRO ADATTATO () ( ) ( ) ( )τ τ ψ τ ψ d 0 + = T r T r () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T r r r T r = = = = τ ψ τ τ τ ψ τ ψ, d 0

19 DEMODULATORE a FILTRO ADATTATO Ψ 1 (T-) r 1 r() =T Ψ 2 (T-) r 2 =T AL RIVELATORE Ψ N (T-) r N =T

20 IL RIVELATORE OTTIMO r 1 r 2 r N? STIMA del SEGNALE TRASMESSO Opera secondo il crierio della MASSIMA PROBABILITA A POSTERIORI (MAP) Scegli s m : P[s m r] = max j P[s j r]

21 IL RIVELATORE OTTIMO Teorema di Bayes: P [ B] A = P [ B A] P[ A] P[ B] Il rivelaore oimo (nuova regola di decisione) Se P[s i ] = 1/M, i, cioè i segnali sono EQUIPROBABILI, dal crierio MAP si arriva al crierio di MASSIMA VEROSIMIGLIANZA (ML) Scegli s m : f(r s m ) = max j f(r s j ) Enrambi i crieri minimizzano la probabilià d errore

22 IL RIVELATORE OTTIMO La decisione di massima verosimiglianza equivale alla DECISIONE a MINIMA DISTANZA EUCLIDEA Scegli s m : D(r, s m ) = min j D(r, s j ) dove : ( ) ( ) 2 s = N r s D r, j = 1 j

23 IL RIVELATORE OTTIMO Sul canale AWGN, la decisione ML equivale a { ()} i M scegliere il segnale s m, fra gli si che = 1 cosiuiscono l'alfabeo del modulaore, che minimizza la disanza euclidea rispeo al segnale ricevuo. Disanza minima s s 1 r 2 s m s i

24 IL RILEVATORE OTTIMO a ML Il rivelaore conosce gli { ()} i i M s = 1 r 1 r 2 D j = N = 1 ( ) 2 r s j =1, 2,, M j D 1 D 2 Sceglie la MINORE STIMA del SEGNALE TRASMESSO r N D M

25 r 1 r 2 C j IL RIVELATORE OTTIMO ALTERNATIVO = 2 N = 1 r j =1, 2,, M s j c 1 c s s 2 2 Sceglie il MAGGIORE STIMA del SEGNALE TRASMESSO r N c M + - s M 2

26 OTTIMALITÀ della DECISIONE ML Nel caso di segnali s i (), i=1,2,...,m equiprobabili, la regola ML minimizza la probabilià media di errore, calcolaa come: P M () e = P( e s ) P( s ) = P( e s ) i= 1 i i 1 M M i= 1 i