IDENTIFICAZIONE DEI MODELLI E ANALISI DEI DATI 1 (Prof. S. Bittanti) Ingegneria Informatica 5 CFU. Appello 23 Luglio 2014 Cognome Nome Matricola

Transcript

1 IDENTIFICAZIONE DEI MODELLI E ANALISI DEI DATI 1 (Prof. S. Bittanti) Ingegneria Informatica 5 CFU. Appello 23 Luglio 201 Cognome Nome Matricola Verificare che il fascicolo sia costituito da 6 pagine. Scrivere le risposte ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul retro. Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc. La chiarezza e precisione nelle risposte saranno oggetto di valutazione =============================================================================================================== 1 Si consideri il sistema rappresentato nella seguente figura, dove : e t z ) y t z z 1.1 Verificare che è un processo stazionario. Calcolo della funzione di trasferimento da a : Poli di : Dato che il sistema ha un polo con modulo inferiore all unità, è un processo stocastico stazionario. 1.2 Tracciare l andamento qualitativo dello spettro di. In base al teorema fondamentale dell analisi spettrale, si può scrivere: ( ) 1

2 10 8 ( ) 6 2 In alternativa (non è richiesto), si può calcolare lo spettro analiticamente proseguendo il calcolo impostato sopra: 1.3 Trovare il predittore ottimo a un passo dai dati di :. La funzione di trasferimento con modulo maggiore di uno Calcolo del fattore spettrale canonico, introducendo un filtro passatutto: calcolata sopra non è in forma canonica, in quanto contiene una singolarità (lo zero) dove Calcolo del predittore a un passo: è ancora un rumore bianco: ( ). 1. Si consideri poi il predittore a k passi in avanti. Dire a quanto tende la varianza dell errore di predizione quando. Tende alla varianza di : Calcolo della varianza di [ ] [ ] [ ] Dove: 2

3 [ ] *( ) + Risulta quindi: 2 Si consideri il processo: dove,,, per il quale sono disponibili infiniti dati (misure di ). Per l identificazione si considera la famiglia di modelli AR(1): 2.1 Dire quale valore assume il parametro stimato con un metodo di identificazione a minimizzazione dell errore di predizione. Il predittore a un passo per la famiglia di modelli AR(1) è: La cifra di merito PEM in questo caso ha questa espressione: *( ) + *( ) + Derivando rispetto ad a ed uguagliando a zero si ottiene la stima ottima del parametro: Per il processo in questione si ha: [ ] [ ] [ ] Dove: [ ] [( ) ] Si ha quindi: La funzione di covarianza ad un passo vale invece: [( ) ] In definitiva, la stima ottima del parametro a vale: 2.2 Per quali valori di la stima coincide con? Per. 2.3 Dire poi che caratteristiche ha l errore di predizione, in particolare precisare se è un rumore bianco. L errore di predizione può essere espresso come: 3

4 Alla luce dell espressione di calcolata al punto precedente, si vede che l errore di predizione è bianco solo nel caso in cui (cioè quando il sistema appartiene alla classe dei modelli AR(1)). La varianza dell errore di predizione è pari a: ( ( ) ) 3 Si risponda alle seguenti domande. 3.1 Cosa si intende per funzione di correlazione parziale? 3.2 Dire per quale ragione. 3.3 A cosa serve la nell analisi delle serie temporali? Si consideri il processo rappresentato nella seguente figura, dove, e si indichi con il corrispondente predittore a motivando le risposte. passi in avanti. Dire quali tra la seguenti affermazioni sono vere e quali sono false, e t AR ) In forma canonica.1 La varianza dell errore di predizione a passi è maggiore della varianza a passi, per ogni. y t Infatti il processo può essere espresso come un processo. L errore di predizione a passi consiste nei primi termini di tale processo ; pertanto la sua varianza è maggiore di quella dell errore a passi, che contiene solo i primi termini del processo..2 La varianza dell errore di predizione cresce passando da a, ma da in poi è costante. Per lo stesso motivo spiegato al punto precedente.

5 .3 La varianza dell errore di predizione per è pari a. Infatti per un generico processo AR(2):, il predittore ottimo a un passo è. Pertanto l errore di predizione coincide con il rumore bianco in ingresso.. Per, la varianza dell errore di predizione tende a qualunque sia il sistema in forma canonica dato. Per si tende alla predizione banale, cioè il predittore tende al valor medio di e la varianza dell errore di predizione tende alla varianza di (che in generale non coincide con quella di )..5 La varianza di è minore di. Infatti considerando la forma :, si vede che la sua varianza è. 5