Il filtro di Kalman stazionario e il regolatore LQG

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1 Il filtro di stazionario e il regolatore LQG P. Valigi Ottimizzazione e Controllo 30 Aprile 2014

2 L estensione di KF al caso stazionario/intervallo infinito Nell estensione del filtro di ad intervallo infinito emergono problemi analoghi al cosa del regolatore LQR. il problema dell esistenza di uno stimatore ottimo, legato all esistenza di almeno uno stimatore con covarianza d errore finita, il problema della stabilità asintotica della dinamica dell errore di stima.

3 Covarianza finita Si assuma un sistema instabile, e non osservabile. In tal caso, almeno per opportune condizioni iniziali, vi sarebbero traiettorie nello spazio di stato divergenti verso infinito, ma con segnale di uscita identicamente nullo (cio,è, indistinguibili dall origine). Se si considera il caso di condizione iniziale a valor medio nullo, uno stimatore ottimo avrebbe una condizione iniziale nulla, e sarebbe forzato da rumore a valore medio nullo. La stima dello stato sarebbe quindi un processo aleatorio con media nulla, mentre il comportamento dello stato reale sarebbe divergente verso infinito. In tale situazione la covarianza dell errore di stima sarebbe infinita, e quindi non esisterebbe uno stimatore ottimo.

4 Covarianza finita Una prima ipotesi da porre per poter affrontare il problema della costruzione di uno stimatore ottimo su orizzonte infinito è quindi quella di osservabilità, o, in forma meno restrittiva, quella di rilevabilità. Si ricorda che la proprietà di rilevabilità equivale alla proprietà di stabilità asintotica del sottosistema non osservabile. Tale sottosistema può essere calcolato per dualità, utilizzando i risultati sulla forma standard di raggiungibilità (decomposizione di rispetto alla raggiungibilità). In alternativa, si può utilizzare il seguente criterio di Popov-Bellman-Hautus (criterio PBH). Criterio Un sistema dinamico Σ(A,C) è rilevabile se e solo se: [ ] A λi rango = n, λ 0 λ spettro{a} C

5 Covarianza finita Ipotesi Il sistema lineare a tempo continuo stazionario Σ(A, C) è rilevabile. L ipotesi precedente garantisce l esistenza di uno stimatore con covarianza finita per l errore di stima. Lo stimatore ottimo può essere ottenuto come processo limite della soluzione dell equazione differenziale di Riccati, con condizione iniziale P( ) = 0. La soluzione dell equazione differenziale di Riccati, al tendere a meno infinito dell istante iniziale, tende ad una matrice costante, soluzione dell equazione algebrica di Riccati: P e A T +P e +Q P e C T R 1 CP e = 0. In tal caso, la matrice di iniezione dell uscita diviene: L e = P e C T R 1.

6 Stabilità dinamica di errore Per garantire la stabilitè asintotica della dinamica dell errore di stima (senza tale stabilità non avrebbe senso introdurre lo stimatore in un anello di retroazione) occorre ipotizzare la stabilizzabilità di un sistema dinamico dipendente dalla matrice di covarianza del rumore nello stato. Sia B Q B T Q = Q una decomposizione della matrice Q che caratterizza il rumore nello stato. Per dualità rispetto al caso del regolatore ottimo, si consideri la seguente ipotesi di stabilizzabilità. Si ricordi che la stabilizzabilità equivale alla stabilità asintotica del sottosistema raggiungibile, e può essere verificata, ad esempio, tramite il seguente criterio PBH. Criterio Un sistema dinamico Σ(A,B Q ) è stabilizzabile se: Ipotesi rango [ A λi B Q ] = n, λ 0 λ spettro{a} Il sistema lineare a tempo continuo stazionario Σ(A,B Q ), con B Q BQ T = Q, è stabilizzabile.

7 Equazione di Riccati di stima Per sistemi stazionari che soddisfano le due ipotesi precedenti si può mostrare che la soluzione dell equazione differenziale di Riccati tende ad una matrice costante, matrice che è l unica soluzione semi definita positiva dell equazione algebrica di Riccati. In aggiunta, se il sistema è completamente raggiungibile (invece di essere stabilizzabile), la soluzione dell equazione differenziale di Riccati tende all unica soluzione definitiva positiva dell equazione algebrica di Riccati.

8 Riepilogo Teorema Sia dato il sistema lineare, a tempo continuo, stazionario Σ(A,B,C), per il quale valgano le ipotesi di rilevabilità e stabilizzabilità. I processi di rumore, nello stato in uscita rispettivamente, sia descritti da due matrici Q ed R simmetriche, con Q semi definita positiva e R simmetrica e definita positiva. Allora, lo stimatore ottimo dello stato, basato sulle misure di u(t) ed y(t), è dato dal seguente filtro di stazionario. La dinamica dell errore di stima è inoltre asintoticamente stabile. ˆx(t) = Aˆx(t)+Bu(t)+L e (Cˆx(t) y) L e = P e C T R 1 P e = P e A T +AP e +Q P e C T R 1 CP e.

9 Il Principio di Separazione Il Filtro di, ed in particolare la sua versione su orizzonte infinito, può essere utilizzato nell implementazione di schemi di controllo in retroazione. Se, per motivi tecnologici, economici, algortimici o di altra natura è utilizzabile per la misura solo un insieme ristretto di segnali (l uscita), si può tentare di affrontare il problema di controllo ottimo utilizzando la stima dello stato fornita da uno stimatore ottimo, come il filtro di. Il problema di controllo, in questo caso, viene abitualmente indicato come problema LQG (Lineare Quadratico Gaussiano), poichè si cerca la legge di controllo ottima per un sistema lineare, con funzionale di costo quadratico, in ambiente stocastico gaussiano. Analogamente a quanto accade nel contesto dei sistemi lineari deterministici, vale un principio di separazione, per cui lo schema di controllo ottimo con informazione parziale può essere progettato separando la fase della scelta della matrice di retrazione ottima, come se fosse disponibile informazione completa, e la fase di progetto di uno stimatore ottimo, come se il risultato della stima non fosse utilizzato per operare una retroazione.

10 Teorema di Separazione Teorema Sia dato un sistema lineare, a tempo continuo, stazionario, stocastico, stabilizzabile e rilevabile, descritto dal modello ẋ = Ax +Bu +v, x R n,u R m,v R m y = Cx +w, y R p,w R p con la seguente caratterizzazione dei fenomeni aleatori E[v(t)] = 0, E[v(t)v(τ) T ] = Q v (t)δ(t τ) E[w(t)] = 0, E[w(t)w(τ) T ] = R w (t)δ(t τ). E[x(t 0 )] = x 0, E[(x(t 0 ) x 0 )(x(t 0 ) x 0 ) T ] = P 0, E[x(t 0 )v(τ) T ] = 0, t, E[x(t 0 )w(τ) T ] = 0, t. e sia dato il funzionale di costo quadratico: J(x(t 0 ))) = t 0 (u R J u +x Q J x)dt

11 Teorema di Separazione Teorema Allora, con le partizioni Q J = C T J C J, Q v = B v B T v e sotto le ipotesi: la terna (A,B,C J ) sia stabilizzabile e rilevabile, la terna (A,B v,c) sia stabilizzabile e rilevabile, il regolatore in retroazione dinamica dall uscita che minimizza il costo e rende asintoticamente stabile il sistema a ciclo chiuso è dato da: ˆx(t) = Aˆx(t)+Bu(t)+L e (Cˆx(t) y) u = K eˆx(t)+v e = P e C T R 1 L e 0 = P e A T +AP e +Q v P e C T R 1 CP e K e = PR 1 B T, 0 = PA+A T P +Q J PBR 1 B T P

12 Filtro di esteso Si consideri il sistema non lineare x(t +1) = f(x(t),u(t),t)+v(t), x(t 0 ) = x 0 y(t) = h(x(t),t)+w(t) Lo stato è influenzato dal rumore bianco, a media nulla, additivo v(t). L uscita è influenzata dal rumore bianco, a media nulla, additivo w(t). E[v(t)] = 0, E[v(t)v(τ) ] = Q(t)δ(t τ), Q = Q T, Q 0 E[w(t)] = 0, E[w(t)w(τ) ] = R(t)δ(t τ). R = R T, R > 0 I processi v(t) e w(t) vengono di norma assunti indipendenti: E[v(t)w(τ) ] = 0, t, τ. x(t 0 ): variabile aleatoria gaussiana, valor medio x 0, covarianza P 0, tale che: E[x(t 0 )] = x 0, E[(x(t 0 ) x 0 )(x(t 0 ) x 0 ) ] = P 0, E[x(t 0 )v(t) ] = 0, t, E[

13 Filtro di esteso Un possibile stimatore è dato dal filtro di esteso: Predizione (a priori) ˆx(t t 1) = f(ˆx(t 1 t 1),u(t 1),t 1), P(t t 1) = F(t 1)P(t 1 t 1)F (t 1)+Q(t) [ ] F(t 1) = f(x,u,t 1) x Stima (a posteriori) x=ˆx(t 1 t 1),u=u(t 1) ˆx(t t) = ˆx(t t 1)+L(t)[h(ˆx(t t 1)) y(t)], P(t t) = P(t t 1) L(t)W(t)L (t), L(t) = P(t t 1)H(t)W 1 (t) W(t) = H(t)P(t t 1)H (t)+r(t) [ ] H(t) = x h(x,t) x=ˆx(t t 1)

14 Filtro di esteso EKF utilizza il modello non lineare per predire e stimare il processo di interesse, ed il modello lineare approssimato per calcolare la covarianza dell errore di stima. L equazione di Riccati non può più essere calcolata fuori linea, perché il modello linearizzato dipende dai valori stimati dello stato.