1. Assegnazione degli autovalori

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1 Fino ad ora abbiamo affrontato i seguenti temi:. ssegnazione degli autovalori Problema: assegnare gli autovalori ad un sistema di controllo a retroazione. Si considera: Bu y E il controllore assume la forma: u K Il sistema di controllo a ciclo chiuso è descritto dalla rappresentazione con lo spazio di stato: ( BK) bbiamo dimostrato che il problema di assegnazione degli autovalori mediante reazione dallo stato ammette soluzione se e solo se la coppia (,B) è raggiungibile. Si dice stabilizzabile ogni coppia di matrici (,B) per la quale il problema della stabilizzazione ha soluzione. Criterio di stabilizzabilità: Una coppia di matrici è stabilizzabile se e solo se rango( λ I B) n, per ogni autovaloreλ di con parte reale positiva o nulla.

2 . Osservatore asintotico dello stato Problema: stimare il valore dello stato di un processo assegnato a partire da misure effettuate sulle grandezze di ingresso e di uscita. Si considera: Bu y C e si definisce un dispositivo così caratterizzato: Posto si verifica che ξ ξ Bu G( y Cξ ) ( GC) ξ Bu GC E( t) ( t) ξ( t) ( GC)( t t 0 E( t) e ) E( t che evolve con modalità che dipendono dagli autovalori della matrice -GC. 0 ) bbiamo verificato che esiste una matrice G che assegna autovalori arbitrariamente prescelti alla matrice -GC se e solo se la coppia (,C) è osservabile. Si dice rilevabile ogni coppia (,C) per la quale gli autovalori associati alla sottomatrice che caratterizza l eventuale sottosistema non osservabile hanno tutti parte reale negativa. Criterio di rilevabilità: Una coppia di matrici (,C) è rilevabile se e solo se λ I rango n per ogni autovalore λ di avente parte C reale positiva o nulla E possibile predisporre un osservatore ridotto dello stato.

3 Principio di separazione Problema: Dato un processo descritto da una rappresentazione nella forma: Bu y C Risolvere il problema di assegnazione degli autovalori, utilizzando un controllore descritto da una rappresentazione nella forma: ξ Fξ Gy u Hξ () () ssumiamo l ipotesi di raggiungibilità e osservabilità: Idea: rango n ( B B B) C C rango n C n n Si costruisce un osservatore asintotico per ottenere una stima ξ dello stato del sistema; Si sostituisce la stima così ottenuta nella legge di controllo che si sarebbe impiegata qualora lo stato fosse stato direttamente accessibile, ponendo: u Hξ

4 G ξ H u y Processo BH-GC L osservatore è caratterizzato dalla rappresentazione con lo spazio di stato: ξ ( GC BH) ξ Gy u Hξ (3) Problema: Determinare le matrici H e G in modo tale che i n autovalori a ciclo chiuso coincidano con n autovalori prefissati. Dalla (), () e (3) si ha il seguente sistema: BHξ ξ GC ( GC BH) ξ Quali sono gli autovalori di questo sistema? Non è immediato dedurli da (4). ssumiamo come stato del sistema non la coppia (,ξ ) ma la coppia (, e) dove: e ξ. Nelle nuove variabili si ha: QUINDI: BH BH e 0 G C e n autovalori coincidono con gli autovalori della matrice BK (4)

5 n autovalori coincidono con gli autovalori della matrice -GC Principio di separazione: gli autovalori del sistema considerato si separano in due insiemi, quello degli autovalori di BH e quello degli autovalori di -GC. Quindi: se la rappresentazione del processo è raggiungibile e osservabile è possibile scegliere, indipendentemente l una dall altra, le due matrici H e G che caratterizzano lo schema di controllo in Figura, in modo tale da ottenere la coincidenza di tutti gli autovalori associati al sistema con valori preventivamente fissati. Se la rappresentazione del processo è stabilizzabile e rilevabile è possibile scegliere, indipendentemente l una dall altra, le due matrici H e G che caratterizzano lo schema di controllo in Figura, in modo che il sistema sia stabile asintoticamente.

6 Controllo mediante osservatore di ordine ridotto Consideriamo per il processo la forma: y e assumiamo la legge di controllo: Si sostituisce la u H H B u B u dello stato con l uscita y del processo ( che è direttamente accessibile) Si sostituisce la componente stima ω fornita dall osservatore. dello stato con la Il principio di separazione è ancora valido!!! Infatti, posto e ω si ottengono equazioni della forma: e ( N ) e B B [ H H( e )] [ H H ( e )]

7 Tale sistema ha n autovalori coincidenti con gli autovalori della matrice: B B ( H H ) e n-p autovalori coincidenti con quelli della matrice N. Teorema: Sia dato un processo descritto dalla rappresentazione Bu y C Esiste un controllore della forma ξ Fξ Gy u Hξ Ky Tale che il corrispondente sistema ad anello chiuso è stabile asintoticamente se e solo se la coppia di matrici (,B) è stabilizzabile e la coppia (,C) è rilevabile. Per maggiori dettagli consultare, per esempio, il testo: Sistemi di controllo di lberto Isidori, Volume II.