+R ox Θ SC θ+ F. +Θ SC R des θ+ F u,

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1 Esercitazione Scritta di Controlli Automatici Il controllo delle emissioni di ossido di azoto NO x da parte di motori diesel di grosse dimensioni può essere realizzato mediante un dispositivo catalitico basato sul processo urea-scrselective catalytic reduction using urea. Il seguente modello, a parametri concentrati, descrive il processo SCR basandosi sullequattroreazionifondamentalichedescrivonolacatalisidell ammoniacanh 3, Ċ NO = C NO Θ SC R red θ+ +R ox Θ SC θ+ d θ= θr ads C NH3 +R des +R red C NO +R ox +R ads C NH3 Ċ NH3 = C NH3 Θ SC R ads 1 θ+ +Θ SC R des θ+ u, dovec NO espressainmol/m 3 rappresentalaconcentrazionedinogassoso,θ θ 1adimensionalerappresentalafrazionedicoperturadisuperficiedovutaall ammoniacaadsorbitaec NH3 espressa inmol/m 3 laconcentrazionediammoniaca. Inoltredèundisturboesternocorrispondenteallaconcentrazione in ingresso di NO e u è l ingresso di controllo del sistema corrispondente alla concentrazione in ingressodinh 3. Irestantiparametrisonoriportatinellatabellaseguente. N S V U Capacitàtot. diimmagazz. dinh 3 Θ SC 51 3 mol/m 3 Rapp. velocità di flusso- vol. di catalisi 1 1/s Velocitàdireazioneperriduzione R red 51.7 m 3 /mols Velocitàdireazioneperossidazione R ox /s Velocitàdireazioneperadsorbimento R ads 1 m 3 /mols Velocitàdireazioneperdesorbimento R des /s Parametri fisico-chimici del dispositivo di catalisi A Si determini il punto di equilibrio del sistema e l ingresso corrispondente in presenza di un disturbo costanted= dediunaθ= θdesiderata; B Si determini il linearizzato attorno all equilibrio calcolato nel punto A; C Si studi la raggiungibilità e l osservabilità del sistema supponendo di disporre della misura della concentrazionedinoc NO ; D Si progetti un compensatore basato sul regolatore che sia in grado di stabilizzare asintoticamente il sistema nell equilibrio calcolato al punto A con elevata velocità di convergenza. A tal fine si consideri d=1mol/m 3, θ=.45esiimpieghinoivalorinumericiriportatiintabella; E Si effettui una simulazione del sistema a ciclo chiuso ottenuto connettendo il controllore progettato al punto precedente con il modello non lineare del sistema. Si fornisca una stima delle condizioni iniziali a partire dalle quali il controllore progettato è capace di garantire la convergenza del sistema alla configurazione desiderata.

2 Soluzione A Imponendo le condizioni di equilibrio si ha: = C NO Θ SC R red θ+ +R ox Θ SC θ+ d dacuisiottiene: = θr ads C NH3 +R des +R red C NO +R ox +R ads C NH3 = C NH3 Θ SC R ads 1 θ + +Θ SC R des θ+ u, θ= θ V C NO = cat d+rox Θ SC θ Θ SC R red θ+ C NH3 = θ R des +R red C NO +R ox ū= R ads 1 θ C NH3 Θ SC R ads 1 θ + Θ SC R des θ. B Scriviamo il sistema rispetto a variabili di stato, controlli e disturbi traslati. Il vettore di stato diviene x= [ ] T [ ] T,ildisturbo x 1 x 2 x 3 = CNO C NO θ θ C NH3 C NH3 d=d dedilcontrollo ũ=u ū. Ilsistemanonlinearerisultanteè +R ox Θ SC x2 + θ + d+ d ẋ 1 = x 1 + C NO Θ SC R red x2 + θ + ẋ 2 = x 2 + θ R ads x3 + C NH3 +Rdes +R red x1 + C NO +Rox +Rads x3 + C NH3 ẋ 3 = x 3 + C NH3 Θ SC R ads 1 x2 θ + Il sistema linearizzato assume la forma ẋ=ax+b 1 ũ+b 2 d, +Θ SC R des x2 + θ + ũ+ū. con matrici e coefficienti A= a 11 a 12 a 21 a 22 a 23, b 1 =, b 2 =. a 32 a 33 a 11 = Θ SC R red θ a 12 = Θ SC R red CNO +Θ SC R ox a 21 = R red θ a 22 = R ads C NH3 R des R red C NO R ox a 23 =R ads 1 θ a 32 =Θ SC R ads CNH3 +Θ SC R des a 33 = Θ SC R ads 1 θ. C CalcolandolamatricediraggiungibilitàR= [ b 1 Ab 1 A 2 b 1 ] siottiene a 12 a 23 R= a 23 a 23 a 22 +a 33, a 33 V a23 cat a 32 +a 2 33

3 3a12 che risulta avere deta = V act a Tale determinante è nullo se a 12 = e/o a 23 =. La prima condizione corrisponde ad avere R ox = R red CNO, mentre la seconda θ = 1 cioè piena copertura della superficie. Nel primo caso il rango della matrice di raggiungibilità risulta pari a 2 elostatononraggiungibileèc NO,mentrenelsecondorisultaparia1eglistatinonraggiungibili sonoc NO eθ. Per ciò che concerne l osservabilità del sistema dalla misura della concentrazione di NO, si ha: C= [ 1 ] O= C 1 CA = a 11 a 12 CA 2 a a 12 a 21 a 12 a 11 +a 22 a 12 a 23 deto=a 2 12a 23. Ilsistemaperdequindidiosservabilitàsea 12 =e/oa 23 =. Lecondizionisono lemedesimedellaraggiungibilità,mainquestocasosea 12 =ilrangodellamatricediosservabilità risultaessere1eglistatinonosservabilisonoθ ec NH3,mentresea 23 =ilrangoè2elostato nonosservabileèc NH3. D Sostituendo i valori numerici riportati nella tabella e nel punto D, si ottiene il seguente equilibrio θ=.45 C NO = C NH3 = ū=1.174, e le seguenti matrici per il sistema linearizzato: A= , b 1 = Gli autovalori di A sono λ 1 = , λ 2 = e λ 3 = , quindi il sistema è asintoticamente stabile. Vogliamo però aumentare la velocità di convergenza del sistema. Conivaloridatirisultaa 12 ea 23,possiamopertantoapplicarelatecnicadiprogettodel regolatore nello spazio di stato. Progettiamo una retroazione statica degli stati K in grado di allocare i poli del sistema a ciclo chiuso in p = [ ]. Utilizzando la funzione di Matlab K = placea,b1,p è possibile calcolare la matrice dei guadagni K. Si ottiene: K= [ ]. Poiché non si ha accesso a tutte le variabili di stato ma il sistema risulta completamente osservabile dall uscitac NO,sipuòrealizzareunosservatorediLuenbergerperricostruirelostato. Lamatrice LdiiniezionedelleusciteècalcolatainmodochelamatricedinamicadellostimatoreA LCabbia autovalori q = 2p. Sempre impiegando il comando Matlab L = transposeplacea,c,q si ottiene: L= IlcompensatorebasatosulregolatoreappenaprogettatohadinamicaKsI A+b 1 K+LC 1 L e si costruisce con il comando rsys = ssa-b1*k-l*c,l,k, ovvero, a meno di un segno, con rsys = regsys,k,l, ove sys = ssa,b1,c,. Si nota come la presenza di valori numerici con scale molto diverse renda malcondizionata la matrice A. Come conseguenza, il piazzamento dei poli del sistema a ciclo chiuso e dell osservatore non sarà esatto a causa di problemi numerici, come lo stesso Matlab segnala. E Uno schema Simulink del sistema stabilizzato è riportato in figura 1. Il blocco Simulink Urea-SCR contiene la seguente funzione:

4 1 s Integratore C_NO theta C_NH3 C_NO C_NH3 theta x punto MATLAB unction Urea SCR u u u x = Ax+Bu y = Cx+Du controllore y C C* u igure 1: Schema Simulink del sistema stabilizzato con controllore lineare. function out = SistemaNONLinearein % Ingressi del blocco x1 = in1; x2 = in2; x3 = in3; uu = in4; % Parametri del sistema ParametriSistema; % Equilibrio theta_eq =.45; d_eq = 1; C_NO_eq = _Vcat*d_eq + Rox*ThetaSC*theta_eq/ThetaSC*Rred*theta_eq+_Vcat; C_NH3_eq = theta_eq*rdes+rox+rred*c_no_eq/rads*1-theta_eq; u_eq = inv_vcat*c_nh3_eq*thetasc*rads*1-theta_eq+_vcat-thetasc*rdes*theta_eq; % Traslazione z1 = x1 + C_NO_eq; z2 = x2 + theta_eq; z3 = x3 + C_NH3_eq; u = u_eq + uu; d = d_eq; % Dinamica del sistema dot_x1 = -z1*thetasc*rred*z2+_vcat+rox*thetasc*z2+_vcat*d; dot_x2 = -z2*rads*z3+rdes+rred*z1+rox+rads*z3; dot_x3 = -z3*thetasc*rads*1-z2+_vcat+thetasc*rdes*z2+_vcat*u; % Uscite del blocco out1 = dot_x1; out2 = dot_x2; out3 = dot_x3; dove lo script ParametriSistema contiene i valori numerici di tutti i parametri del sistema. Il blocco controllore contiene le matrici del regolatore precedentemente progettato. Per valutare il controllore lineare consideriamo un valore iniziale di θ pari a.35 e le altre variabili

5 di stato all equilibrio. Le figure 2, 3 e 4 riportano l andamento dello scostamento dal punto di equilibriodellevariabilic NO,θeC NH3 rispettivamente. 2 x C NO mol/m tempo s x 1 3 igure2: AndamentodelloscostamentodiC NO rispettoalvalorediequilibrio. Nellafigura5, invece,èriportatol andamentodellaconcentrazioneiningressodinh 3 rispettoal suo valore di equilibrio, cioè della variabile di controllo ũ. Il sistema lineare a ciclo chiuso si può ottenere, per un montaggio del controllore in catena di retroazione, con il seguente comando Matlab fsys = feedbacksys,rsys,+1, dove sys = ssa,b1,c, sia il sistemaadanelloaperto. LamatricedinamicaA f R 6 6 diquestosistemachesipuòottenerecon il comando[af,bf,cf,df] = ssdatafsys avrà gli autovalori nelle locazioni scelte in precedenza si veda il punto D. Per il sistema linearizzato, si può agevolmente trovare una funzione di Lyapunov deltipov Q =z T P Q z,conp Q soluzionedell equazionedilyapunova T f P Q+P Q A f = Qadesempio col comando Pq = lyapaf,q, per qualche Q simmetrica positiva definita. Nelle precedenti relazionisièindicatoconzilvettorecomplessivodelsistemaaciclochiuso,cioèz= [ ] T, x T x T r ovex r èilvettoredistatodelregolatore. Per stimare per difetto la regione di asintotica stabilità del sistema non lineare stabilizzato, si devequindivalutarelaregioneincuivaleladisequazione V Q = z T Qz+2z T P Q fz<ove fz sialadifferenzatrailsistemaaciclochiusononlineareeilsistemaaciclochiusolineareetrovare lapiùgrandesuperficiedilivellodiv Q interamentecontenutainquellaregione. Perilsistemain esamela fzrisultaessere: [ ] fx,kxr Ax BKx fz= r Θ SC R red x 1 x 2 +R ox Θ SC θ CNO Θ SC R red θ+ + d = x 2 R ads x 3 +R red x 1 +R ads CNH3 1 θ θ Rdes +R red CNO +R ox Θ SC R ads x 2 x 3 C NH3 Θ SC R ads 1 θ+ +Θ SC R des θ+ ū. 3 1 La disequazione può essere studiata numericamente generando casualmente punti distribuiti sulla superficiedilivellov Q =R 2 eguardandoalsegnodi V Q alvariaredir. Sipuòfaruso,adesempio, della seguente procedura di bisezione sul valore di R:

6 θ tempo s x 1 3 igure 3: Andamento dello scostamento di θ rispetto al valore di equilibrio. Q = randnm,m; Q = Q*Q /2; Pq = lyapaf,q; R =.1; tolr = 1e-7; % raggio della curva di livello R = R + tolr; R_max = Inf; R_min = ; while R_max-R_min > tolr R ok = evalvdotpq,q,r; if ok == 1 R_min = R; if R_max == Inf R = R/2 + R; else R = R + R_max - R/2; end else R_max = R; R = R - R - R_min/2; end end Essainvoca,perogninuovovalorediR,lafunzioneevalvdotchehailcompitodiverificareil segnodi V Q suipuntidellasuperficiev Q =R 2 :

7 C NH3 mol/m tempo s x 1 3 igure4: AndamentodelloscostamentodiC NH3 rispettoalvalorediequilibrio. function ok = evalvdotp,q,r M = invsqrtmp; [m,n] = sizep; ok = 1; numtentativi = 5; i = 1; % Numero di tentativi casuali while ok & i<=numtentativi % Vettore di direzione random e lunghezza R x = randnm,1; y = R*x/normx; % Punto random sulla curva di livello z = M*y; % Valutazione V punto vdot = -z *Q*z+2*z *P*ftildez; i = i+1; ok = vdot<; end Stime differenti della regione di asintotica stabilità possono essere ottenute utilizzando diverse funzioni di Lyapunov. A tal fine è sufficiente scegliere diverse matrici Q e ripetere la procedura riportata precedentemente. Una stima della regione di asintotica stabilità per il sistema in esame è riportata nella figura 6.

8 6 x u mol/m tempo s x 1 3 igure5: AndamentodellaconcentrazioneiningressodiNH 3 rispettoalsuovalorediequilibrio. igure6: Stima,perdifetto,dellaregionediasintoticastabilitàdelsistemainesame: variabilic NO,θe C NH3.