Esercizi di Fondamenti di Automatica

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1 Esercizi di Fondamenti di Automatica Bruno Picasso Esercizio Sia dato il sistema lineare { ẋ(t) = Ax(t), x R n x() = x.. Mostrare che se x è tale che Ax = λx, λ R, allora il corrispondente movimento dello stato del sistema è dato da x(t) = e λt x. 2. Calcolare il movimento dello stato per il seguente sistema: [ 2 2 ẋ(t) = x(t) 2 3 [ 2 x() =. Esercizio 2 Calcolare il movimento dello stato per il seguente sistema dinamico: [ 3 ẋ(t) = x(t) 2 [ x() =. Esercizio 3 Si consideri il seguente sistema lineare: ẋ(t) = Ax(t) + B u(t) + B 2 w(t), x R n, u R m, w R q, dove A è una matrice di Hurwitz. Sia x, x : R + R n t x(t), il movimento dello stato determinato da una data condizione iniziale x() = x, dalla funzione di ingresso ũ, ũ : R + R m t ũ(t), e dal disturbo w(t). Sia x il movimento perturbato determinato dalla stessa condizione iniziale x() = x, dalla stessa funzione di ingresso ũ e da un segnale di disturbo w tale che, t T, w(t) =. Sia poi x il movimento perturbato determinato dalla condizione iniziale x() = x, dalla stessa funzione di ingresso ũ e da un segnale di disturbo w tale che, t T, w(t) =. Mostrare che lim t + x (t) x(t) = lim t + x (t) x(t) =.

2 Esercizio 4 Si consideri il seguente sistema dinamico non-lineare: Si supponga che x() = e u(t) = sca(t). { ẋ(t) = x(t)u(t) y(t) = x 2 (t).. Calcolare il movimento dello stato e dell uscita. Analizzare le proprietà di stabilità di tale movimento dello stato (ossia, è asintoticamente stabile, semplicemente stabile o instabile?). 2. Calcolare i movimenti libero e forzato dello stato e dell uscita e verificare che non è vero che la loro somma fornisce il movimento complessivo dello stato e dell uscita (e dunque non è valido il principio di sovrapposizione degli effetti). Esercizio 5 Si consideri il seguente sistema dinamico non-lineare: { ẋ(t) = x 3 (t) x(t)u(t) y(t) = sin ( x(t) ) + u 2 (t).. Determinare stati e uscite di equilibrio corrispondenti a ū = e l espressione del sistema linearizzato attorno a tali equilibri. 2. Valutare le proprietà di stabilità degli equilibri determinati. Esercizio 6 Si consideri il seguente sistema dinamico non-lineare: { ẋ (t) = x (t) ( x 2 (t) + ) + x 2 (t) ẋ 2 (t) = x (t) + x 2 2 (t) x 2(t).. Determinare gli stati di equilibrio del sistema e l espressione del sistema linearizzato attorno a tali equilibri. 2. Sia ẋ(t) = Ax(t) il sistema linearizzato determinato in.: calcolare la matrice e At e valutare le proprietà di stabilità del sistema. Dire se da tale analisi è possibile trarre conclusioni circa le proprietà di stabilità del corrispondente equilibrio del sistema non-lineare. 3. Impiegando il modello linearizzato, calcolare il movimento dello stato e rappresentarne nello spazio di stato la corrispondente traiettoria nei due casi seguenti: [ 2 ı. x () = ; 2 [ ıı. x () =. Esercizio 7 È dato un serbatoio cilindrico con sezione di area σ. Tale serbatoio è alimentato da una portata volumetrica q e ([q e = L 3 /T) ed è dotato di un tubo di scarico la cui portata volumetrica è q u = β h(t), β >. L equazione differenziale che descrive il comportamento dinamico del livello di liquido presente nel serbatoio è quindi data da: ḣ(t) = β σ h(t) + σ q e(t). La variabile controllata (uscita) sia il volume di liquido presente nel serbatoio. 2

3 . Scrivere un modello in forma di stato per tale sistema (impiegare la notazione usuale x, u e y per indicare le variabili di stato, ingresso e uscita). Si supponga da ora in avanti che β = 5/6 e σ = Determinare ū tale che la corrispondente uscita di equilibrio sia ȳ = Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno a tale equilibrio e si valutino le proprietà di stabilità dell equilibrio. 4. Si supponga che h() = 4 e che u(t) = (ū + )sca(t): impiegare il modello linearizzato per determinare lim t + h(t). Calcolare poi lim t + h(t) impiegando il modello non-lineare. Esercizio 8 Si consideri il seguente sistema dinamico non-lineare: ẋ (t) = x (t) x 2 (t) + 8u (t) ẋ 2 (t) = x 2 (t)u 2 (t) + 2x (t) + u 2 (t) y(t) = x (t) + x 2 (t) x 2.. Determinare stati e uscite di equilibrio corrispondenti a u(t) ū = 2. Scrivere l espressione del sistema linearizzato attorno all equilibrio determinato, valutare le proprietà di stabilità di tale equilibrio e descrivere [ le caratteristiche dei movimenti del sistema 2 non-lineare al variare di x() quando u(t) ū =. Esercizio 9 Con riferimento al modello macroeconomico keynesiano discusso nella Sezione.4 delle note su Introduzione ai sistemi dinamici e al problema del controllo, si consideri la nazione modellizzata dal sistema di equazione (2), ossia ẋ(t) = 2 x(t) + u(t) [ 2. y(t) = [ x(t). Il ministro dell economia di tale nazione vorrebbe applicare la seguente politica di spesa pubblica: u(t) = k ( y(t) y o (t) ), dove y o (t) è l andamento del segnale di riferimento per il reddito nazionale y(t) = R(t) e k R è una costante che il ministro può scegliere.. Rappresentare mediante uno schema a blocchi il sistema di controllo risultante. 2. Si dica se esistono valori di k tali che il sistema di controllo risultante sia asintoticamente stabile. 3

4 Esercizio Sia g(t) = ( e 2t +te t) sca(t)+δ(t) la risposta all impulso di un sistema lineare di cui una sua rappresentazione in forma di stato è individuata da una quadrupla di matrici (A, B, C, D) ed è indicata con Σ.. Si dica se si tratta di un sistema SISO oppure MIMO e se il sistema è proprio o strettamente proprio. Quanto vale D? 2. Si dica qual è l ordine minimo che può avere Σ. 3. Supponendo che Σ sia di ordine minimo (e quindi non ci siano parti nascoste ), analizzare la stabilità del sistema Σ. 4. Calcolare l uscita forzata y F (t) in corrispondenza di ognuno dei seguenti quattro segnali di ingresso: u (t) = sca(t); u 2 (t) = e 3t sca(t); u 3 (t) = sca(t) e 3t sca(t); u 4 (t) = sca(t ) + 2e 3(t 2) sca(t 2). Esercizio Si supponga che le seguenti funzioni di trasferimento G i (s) abbiano lo stesso ordine del sistema lineare Σ i che esse rappresentano: G (s) = 2 s 3 ; G 2(s) = s ; G 3(s) = s s + ; G 4 (s) = s + 2 s 2 2s 3 ; G 5(s) = G 7 (s) = s + s 2 ; G 8 (s) = (s )(s + 2) 2 ; G 6(s) = s (s 2 + 4)(s 2 + s + ).. Analizzare le proprietà di stabilità di ogni sistema Σ i. s 2 s 3 + 2s 2 + 2s + ; 2. Scrivere l espressione dei modi naturali associati ai sistemi Σ i (escluso il sistema Σ 6 ). 3. Nei casi G (s), G 2 (s), G 3 (s), scrivere un sistema lineare Σ i in forma di stato la cui funzione di trasferimento sia G i. Esercizio 2 Scrivere un esempio numerico di sistema dinamico avente tutte le seguenti caratteristiche: il sistema è lineare, stabile ma non asintoticamente stabile, abbia almeno un modo naturale convergente a per t +, abbia ingresso e 2 uscite, non sia strettamente proprio, sia di ordine minimo possibile. 4

5 Soluzioni o risultati degli esercizi Soluzione Esercizio..- Basta verificare che x(t) = e λt x risolve il sistema: in effetti, ẋ(t) = λe λt x e Ax(t) = e λt Ax = λe λt x ; inoltre, la soluzione proposta soddisfa la condizione iniziale ( ossia, x() = x ). In alternativa, la soluzione del sistema è x(t) = e At x = + k= (At) k k! (a) + x = k= (λt) k x k! = e λt x, dove nell uguaglianza (a) si usa semplicemente il fatto che Ax = λx (At) k x = (λt) k x. [ 3.2- Poiché x() = x(), impiegando il risultato mostrato in., si ha 2 Soluzione Esercizio 2. Visto in aula. [ 2e x(t) = e t t x() = Soluzione Esercizio 3. Si ponga δx(t) = x (t) x(t) e si osservi che e t, t. δx(t) = ẋ (t) x(t) = Ax (t) + B ũ(t) + B 2 w(t) A x(t) B ũ(t) = = Aδx(t) + B 2 w(t). Poiché A è di Hurwitz e l ingresso w(t) è definitivamente nullo, si ha che lim t + δx(t) = indipendentemente dalla condizione iniziale δx() (e ciò dimostra sia lim t + x (t) x(t) = che lim t + x (t) x(t) = ). Soluzione Esercizio Poiché per t, u(t), basta risolvere il sistema ẋ(t) = x(t) y(t) = x 2 (t) x() =. Quindi, per t, x(t) = e t e y(t) = e 2t. Perturbando lo stato iniziale, considerando cioè x () = + δ, si ha il movimento perturbato x (t) = ( + δ)e t e x (t) x(t) = ( + δ)e t e t = δe t che diverge per qualunque valore di δ, quindi il movimento dello stato considerato ( cioè x(t) = e t) è instabile Il movimento libero dello stato e dell uscita si ottiene, per definizione, risolvendo il seguente sistema ( ponendo cioè u(t) ) : ẋ(t) = y(t) = x 2 (t) x() = e dunque x L (t) =, y L (t) =. Il movimento forzato dello stato e dell uscita si ottiene, per definizione, 5

6 risolvendo il seguente sistema ( ponendo cioè x() = e u(t) = sca(t) ) : ẋ(t) = x(t) y(t) = x 2 (t) x() = e dunque x F (t) =, y F (t) =. Si osserva infine che, a causa della nonlinearità del sistema, x(t) x L (t) + x F (t) e y(t) y L (t) + y F (t). Risultato Esercizio Equilibri: x =, x 2 = e x 3 = ; corrispondentemente, ȳ =, ȳ 2 = sin() +.6 e ȳ 3 = sin()+.84. Le quadruple di matrici che definiscono il sistema linearizzato nei tre differenti casi sono rispettivamente: A =, B =, C =, D = 2; A 2 = 2, B 2 =, C 2 = cos().54, D 2 = 2; A 3 = 2, B 3 =, C 3 = cos().54, D 3 = x è un equilibrio asintoticamente stabile, gli altri due equilibri sono instabili. Risultato Esercizio C è un solo equilibrio x = [, il corrispondente sistema linearizzato è: ẋ(t) = Ax(t) = [ x(t) Il polinomio caratteristico della matrice A è p(s) = s 2 e dunque il sistema linearizzato ha due autovalori nulli. Da ciò segue che, indipendentemente dalle proprietà di stabilità del sistema linearizzato, non è possibile trarre conclusioni circa le proprietà di stabilità di x per il sistema nonlineare. Da e At = L [ (si A), si trova facilmente che [ t + t e At = t t I modi naturali associati al sistema sono quindi e t: quest ultimo è divergente e dunque il sistema linearizzato è instabile. Alternativamente, l analisi di stabilità del sistema linearizzato può essere condotta come segue: poiché la matrice A ha due autovalori nulli, il sistema linearizzato sarà semplicemente stabile se la matrice A è diagonalizzabile oppure instabile se la matrice A non è diagonalizzabile. Poiché è facile verificare che A non è diagonalizzabile, il sistema linearizzato è instabile I movimenti dello stato richiesti sono dati da: x (t) [ 2 2 e x (t) =. [ t + t, t [ ( 2 infatti x () = è uno stato di equilibrio per il sistema linearizzato ). Eliminando t dalle 2 equazioni che definiscono x (t) si ottiene x 2 = x + che definisce la retta in cui giace la traiettoria dello stato: poiché t, la traiettoria è la porzione di tale retta che parte da x () e attraversa il quarto quadrante del piano (x, x 2 ), vedi Figura. 6

7 x " # 2 x ()= x Figura : Traiettoria in spazio di stato del movimento x (t) dell Esercizio 6.3. Risultato Esercizio Posto x = h e u = q e, il volume di liquido presente nel serbatoio è dato da σh e quindi y = σx. Dunque, la corrispondente forma di stato del sistema è { ẋ(t) = β σ x(t) + σ u(t) y(t) = σx(t). che nel caso particolare in cui β = 5/6 e σ = 2, prende la forma { ẋ(t) = 5 2 x(t) + 2 u(t) y(t) = 2x(t) All equilibrio, ū = 5 6 x ed essendo ȳ = 8 = 2 x, cioè x = 4, si ottiene ū = Il sistema linearizzato è dato da { δx(t) = aδx(t) + bδu(t) = 5 48 δx(t) + 2 δu(t) δy(t) = cδx(t) = 2δx(t). L equilibrio è asintoticamente stabile Poiché h() = 4 = x, si ha δx() = ; inoltre, δu(t) = sca(t), dunque lim t + δx(t) = ba δu = = 2 25 e quindi, essendo h(t) = x(t) = δx(t) + x, 2 lim h(t) = lim δx(t) + x = t + t = 2 25 = Impiegando il modello nonlineare si trova che l equilibrio x corrispondente all ingresso ū = ū + = = 53 3 è x = 36 25ū 2 = = Poiché il bacino di attrazione di tale equilibrio è {x R : x > } ne consegue che Risultato Esercizio [ Equlibrio: x =, ȳ = 2. 4 lim h(t) = lim x(t) = t + t + x [ [ 2 2 8, B = L equilibrio è asintoticamente stabile ( p A (s) = s 2 + 6s + 2 ) e 8.2) La quadrupla di matrici che definisce il sistema linearizzato è: A = C = [ e D = [ dunque, per condizioni iniziali x() sufficientemente vicine all equilibrio x, i movimenti convergono asintoticamente a x (la proprietà di asintotica stabilità dell equilibrio è locale)., 7

8 y o - u k G(s) y Figura 2: Rappresentazione mediante schema a blocchi del sistema di controllo dell Esercizio 9. Soluzione Esercizio Detta G(s) la funzione di trasferimento da u a y del sistema dato, si veda la Figura Poiché y(t) = x 3 (t), allora u(t) = k ( y(t) y o (t) ) = kx 3 (t) ky o (t). Sostituendo tale espressione di u(t) nelle equazioni del sistema si ottengono le seguenti equazioni per il sistema di controllo risultante: ossia, in forma matriciale, ẋ(t) = A c x(t) + B c y o (t) = y(t) = [ x(t). ẋ (t) = 2x (t) x 3 (t) ẋ 2 (t) = x (t) x 2 (t) + kx 3 (t) ky o (t) ẋ 3 (t) = x 2 (t) x 3 (t) y(t) = x 3 (t) 2 k x(t) + k y o (t) Poiché tr(a c ) =, la matrice A c non è di Hurwitz (indipendentemente dal valore di k) e quindi non esistono valori di k che assicurino l asintotica stabilità del sistema di controllo. In alternativa, si calcoli il polinomio caratteristico di A c e si applichi il criterio di Routh-Hurwitz. Soluzione Esercizio Visto in aula..4- Si ha: G(s) = s+2 + (s+) 2 + = s3 +5s 2 +8s+5 (s+2)(s+) 2, U (s) = s, U 2(s) = s+3. Dunque: Y (s) = G(s)U (s) = s3 +5s 2 +8s+5 s(s+2)(s+) 2 = a s + b s+2 + c s+ + d (s+) 2 ( ) = 5/2 s /2 s+2 + c s+ (s+) 2 = ( ) = 5/2 s /2 s + 2 s + (s + ) 2. dove in ( ) abbiamo usato la formula dei residui ed in ( ) abbiamo eseguito il match dei coefficienti. Quindi, ( 5 y F (t) = 2 ) 2 e 2t e t te t sca(t). Analogamente, Y 2 (s) = G(s)U 2 (s) = s3 + 5s 2 + 8s + 5 (s + 3)(s + 2)(s + ) 2 = /4 s s + 2 /4 s + + /2 (s + ) 2. Quindi, y F2 (t) = ( 4 e 3t + e 2t 4 e t + ) 2 te t sca(t). 8

9 Infine, usando il principio di sovrapposizione degli effetti e le proprietà del ritardo di tempo, si ha: y F3 (t) = y F (t) y F2 (t) y F4 (t) = y F (t ) + 2y F2 (t 2). Soluzione Esercizio..- Σ : instabile; Σ 2 : semplicemente stabile; Σ 3 : asintoticamente stabile; Σ 4 : instabile; Σ 5 : instabile; Σ 6 : asintoticamente stabile (via criterio di Routh-Hurwitz); Σ 7 : instabile ( g(t) = L [ s+ s = 2 ( + t)sca(t), i modi naturali sono e t, quest ultimo è divergente e dunque si ha l instabilità ) ; Σ 8 : semplicemente stabile..2- Σ : e 3t ; Σ 2 : ; Σ 3 : e t ; Σ 4 : e t, e ( 3t il denominatore si fattorizza come (s + )(s 3) ) ; Σ 5 : e t, e 2t, te 2t ; Σ 7 :, t; Σ 8 : sin(2t), cos(2t), e 2 t sin ( 3 2 t), e 2 t cos ( 3 2 t)..3- Σ = (a, b, c, d) = (3, 2,, ) oppure Σ = (3,, 2, ) oppure Σ = (3, /3, 6, )... In generale, Σ = (3, b, c, ) con b e c tali che bc = 2; Σ 2 = (,,, ) (l integratore). In generale, Σ 2 = (, b, c, ) con b e c tali che bc = ; G 3 (s) = 2 s+ + e quindi Σ 3 = (,, 2, ). In generale, Σ 3 = (, b, c, ) con b e c tali che bc = 2. Soluzione Esercizio 2. Il sistema deve avere almeno ordine 2 (occorre un modo convergente a zero e uno limitato ma non convergente a zero per avere la semplice stabilità). Scelgo allora una matrice A con un autovalore nullo e uno minore di zero, ad esempio: A = [ Il sistema ha ingresso e 2 uscite, quindi B R 2, C R 2 2, D R 2. L unico vincolo su tali matrici è che D in modo tale che il sistema non sia strettamente proprio. Ad esempio: [ ẋ(t) = [ y(t) = 4. [ x(t) + 3 x(t) + [ 2 u(t) u(t). 9