Controlli Automatici LA Introduzione all'analisi dei sistemi dinamici lineari

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1 Controlli Automatici LA Introduzione all'analisi dei sistemi dinamici lineari Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi

2 1. Modelli in forma di stato di sistemi dinamici Indice 2. Proprietà dei sistemi dinamici movimento e stabilità del movimento equilibrio e stabilità dell'equilibrio 3. Proprietà dei sistemi dinamici lineari principio di sovrapposizione degli effetti 3. Linearizzazione di sistemi dinamici non lineari 4. Riferimenti bibliografici Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 2

3 Modelli in forma di stato di sistemi dinamici Modello generale in forma di stato si considera il caso più generale di sistema non lineare e variabile nel tempo in un sistema ci sono solitamente più ingressi e più uscite si considerano quindi rappresentazioni vettoriali per le variabili e le funzioni presenti sono funzioni vettoriali dipendenza del vettore uscita (y) dal vettore ingresso (u) e dal vettore stato (x) la funzione h è una funzione vettoriale evoluzione del vettore stato equazione (vettoriale) di uscita la funzione f è una funzione vettoriale equazione (vettoriale) di stato Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 3

4 Modelli in forma di stato di sistemi dinamici Modello generale in forma di stato rappresentazione a blocchi u = u 1 u 2.. u m x = x 1 x 2.. x n n = numero di stati m = numero di ingressi r = numero di uscite y = y 1 y 2.. y r f ( x,u,t)= h( x,u,t)= Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 4 f 1 f 2 f n h 1 h 2 h r ( x,u,t) ( x,u,t).. ( x,u,t) x,u,t ( x,u,t).. ( x,u,t)

5 Modelli in forma di stato di sistemi dinamici Modello generale in forma di stato un modello generale del tipo x = f ( x,u,t) y = h( x,u,t ) rappresenta un sistema: dinamico equazione di stato differenziale MIMO (Multi Input-Multi Output) m, r 1 a parametri concentrati equazione differenziale ordinaria non lineare le funzioni f e h sono non lineari tempo variante le funzioni f e h dipendono esplicitamente dal tempo proprio l'uscita dipende direttamente dall'ingresso n = ordine del modello m = numero di ingressi r = numero di uscite Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 5

6 Modelli in forma di stato di sistemi dinamici Classificazione dei sistemi dinamici un sistema dinamico si dice SISO (Single Input-Single Output) se r = m = 1 strettamente proprio o puramente dinamico se l'uscita non dipende direttamente dall'ingresso, ma solo attraverso lo stato stazionario se le funzioni f e h non dipendono esplicitamente dal tempo lineare se le funzioni f e h dipendono linearmente da x e u x ( t)= A( t)x( t)+ B( t)u t y( t)= C( t)x( t)+ D( t)u t dim( A)= n n; dim( B)= n m dim( C)= r n; dim( D)= r m se il sistema è lineare, stazionario e strettamente proprio allora x ( t)= Ax( t)+ Bu t y( t)= Cx( t ) Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 6

7 v G (t) i(t) R v R Modelli in forma di stato di sistemi dinamici circuito elettrico C v C (t) ingresso (u):tensione generatore v G uscita (y):tensione resistore v R parametri:capacità C,resistenza R variabile energetica (x): ( t) dt dv C = 1 RC v C ( t)= v C ( t)+ v G v R ( t )+ v G se tensione condensatore v C x = v x = 1 RC x + 1 c u = v RC u G y = v y = x + u R x = ax + bu y = cx + du modello lineare SISO del 1 ordine Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 7

8 a, v dv dt = 1 ( M βv f + f e) a = dv dt = 1 ( M βv f + f e) con A = β M 1 M K 0 Modelli in forma di stato di sistemi dinamici sistema meccanico ingresso (u):forza applicata f e uscita (y):accelerazione a parametri: massa M, molla K, attrito apple variabili energetiche (x): velocità carrello v, forza molla f B = se 1 M 0 x = x = Ax + bu y = Cx + du Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 8 v f C = 1 M β 1 modello lineare SISO del 2 ordine

9 Modelli in forma di stato di sistemi dinamici motore elettrico a collettore (cc) con le seguenti posizioni il modello in forma di stato è x = Ax + Bu y = Cx modello lineare MIMO del 2 ordine Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 9

10 y esempio (VTOL) f a apple Modelli in forma di stato di sistemi dinamici Mg f m x 1 = x (posizione x) x 2 = v x (velocità x) x 3 = y (posizione y) x 4 = v y (velocità y) x 5 = ϑ (angolo) x 6 = ω (velocità ang.) u 1 = f m (forza motore) u 2 = f a (forza allineante) u 3 = f (forza di gravità) f a x x 1 = x 2 x 2 = 1 M u sin x 1 5 x 3 = x 4 x 4 = 1 M u cos x + u x 5 = x 6 x 6 = 2l J u 2 h(x) lineare modello non lineare MIMO del 6 ordine y 1 = x 1 y 2 = x 3 y 3 = x 5 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 10

11 apple c m M f g J ω = c m Mgl sinϑ βω ϑ = ω x 1 = ϑ (posizione) x 2 = ω (velocità) u = c m (coppia) y = ϑ (posizione) Modelli in forma di stato di sistemi dinamici ingressi: c m = coppia motore f g = forza di gravità uscite: ϑ = posizione x 1 = x 2 y = x 1 variabili energetiche ω = velocità angolare parametri: M = massa J = Ml 2 = momento di inerzia rispetto al fulcro l = lunghezza pendolo β = coefficiente di attrito x 2 = g l sin x 1 β Ml 2 x Ml 2 u modello non lineare SISO del 2 ordine Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 11

12 Movimento per il sistema dinamico x = f ( x,u,t) 1 u( t), t t 0 noti y = h( x,u,t ) 2 x( t 0 ) mediante integrazione dell'equazione differenziale di stato (1) è possibile determinare l'evoluzione temporale (movimento) dello stato x( t), t t 0 detto anche traiettoria dello stato da cui si può ricavare, mediante l'equazione di uscita (2), anche l'evoluzione temporale (movimento) dell'uscita y( t), t t 0 detto anche traiettoria dell'uscita Proprietà dei sistemi dinamici Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 12

13 Proprietà dei sistemi dinamici Stabilità del movimento di sistemi dinamici stazionari - concetto nozione che classifica come un sistema dinamico reagisce a fronte di perturbazioni A Perturbazione (disturbo) Sistema B traiettorie nominali traiettorie perturbate Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 13 C

14 Proprietà dei sistemi dinamici Stabilità del movimento di sistemi dinamici stazionari movimento traiettoria dello stato a partire da stato iniziale problema ed ingresso noti si vuole studiare come si modifica la traiettoria a seguito di una perturbazione dello stato iniziale definizione di stabilità (del movimento) un movimento x(t) si dice stabile se per ogni ε > 0 esiste un δ ε tale che per ogni stato iniziale che soddisfa la relazione risulti x 0 x 0 δ ε x( t) x t ε t t 0 un movimento x(t) si dice asintoticamente stabile se inoltre lim t x( t) x t = 0 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 14

15 Proprietà dei sistemi dinamici Stabilità del movimento di sistemi dinamici stazionari interpretazione grafica della semplice stabilità Traiettoria nominale Traiettoria perturbata Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 15

16 Proprietà dei sistemi dinamici Stabilità del movimento di sistemi dinamici stazionari interpretazione grafica della stabilità asintotica Traiettoria perturbata Traiettoria nominale Attrattività asintotica Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 16

17 per il sistema dinamico stazionario x = f ( x,u) y = h x,u comandato con un ingresso costante u( t)= u = cost, t t 0 Proprietà dei sistemi dinamici Equilibrio è di interesse calcolare le eventuali traiettorie dello stato e dell'uscita che risultano costanti x( t)= x = cost t t y( 0 t)= y = cost si può dimostrare che uno stato è di equilibrio se x = 0 e cioè f ( x,u)= 0 a cui corrisponde l'uscita di equilibrio y=h x,u Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 17

18 Proprietà dei sistemi dinamici Stabilità di un punto di equilibrio Un punto di equilibrio è una particolare traiettoria del sistema, per cui le precedenti definizioni possono essere specializzate definendo la stabilità semplice e asintotica di un punto di equilibrio raggio stabilità semplice stabilità asintotica raggio Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 18

19 Proprietà dei sistemi dinamici Alcune considerazioni sulla stabilità In generale per i sistemi dinamici la proprietà di stabilità non è associata al sistema ma alla particolare traiettoria (stabilità di una traiettoria) dipende dal particolare ingresso e dallo stato iniziale per i sistemi lineari si può parlare di stabilità (semplice o asintotica) del sistema dinamico indipendentemente dal particolare ingresso e stato iniziale conseguenza immediata del principio di sovrapposizione degli effetti La proprietà di stabilità riguarda l evoluzione dello stato. La funzione che lega stato e ingresso con l uscita non entra nella trattazione Lo studio delle proprietà di stabilità delle traiettorie non è in generale un problema semplice da risolvere per sistemi non lineari Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 19

20 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Principio di Sovrapposizione degli effetti per il sistema lineare (anche tempo variante) x ( t)= A( t)x( t)+ B( t)u( t) dati due diversi ingressi u'(t) e u''(t) si considerino i rispettivi moti x'(t) e x''(t) 1 2 x' ( t)= A( t)x' ( t)+ B( t)u' ( t) x'' ( t)= A( t)x'' ( t)+ B( t)u'' t dato un terzo ingresso, combinazione lineare degli altri due u''' ( t)= αu' ( t)+ βu'' t è immediato verificare, combinando la 1 e la 2, che α x' ( t)+ β x'' ( t)= A t αx' t + βx'' t + B t αu' t per semplicità + βu'' t da cui x''' ( t)= αx' ( t)+ βx'' t y''' ( t)= αy' ( t)+ β y'' ( t) Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 20

21 Proprietà dei sistemi dinamici lineari Principio di Sovrapposizione degli effetti è una proprietà tipica dei soli sistemi lineari non è più valido se nel sistema ci sono non linearità la proprietà vale anche a partire da stati iniziali diversi da zero consente di studiare separatamente gli effetti sul movimento dello stato e dell'uscita dovuti allo stato iniziale ed all'ingresso mette in evidenza una proprietà caratteristica dei soli sistemi lineari il movimento generato da un ingresso multiplo di un altro (u 1 (t) = ku(t)) si ottiene moltiplicando il movimento generato dal primo per la costante di molteplicità (k) Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 21

22 Linearizzazione di sistemi dinamici non lineari Si può approssimare il comportamento di un sistema dinamico non lineare, nell'intorno di un punto di equilibrio, con un modello lineare linearizzazione δx = x x in un punto di equilibrio δ x = f ( x,u)= f ( x,u)= 0 y=h( x,u ) x f x,u δx + definiti le nuove variabili del sistema linearizzato u f x,u δu = u u δ y = y y con lo sviluppo in serie di Taylor del 1 ordine nell'intorno del punto di equilibrio δ y = h( x,u)= h( x,u)+ δ x = Aδx + Bδu δ y = Cδx + Dδu x h x,u δx + modello linearizzato Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 22 δu u h x,u δu

23 Linearizzazione di sistemi dinamici non lineari esempio (VTOL) x u 1 = f m (forza motore) u 2 = f a (forza allineante) u 3 = f g (forza di gravità) x 1 = x 2 x 2 = 1 M u sin x 1 5 x 3 = x 4 x 5 = x 6 x 6 = 2l J u 2 x 4 = 1 ( M u cos x u 1 5 3) x 1 = x (posizione x) x 2 = v x (velocità x) x 3 = y (posizione y) x 4 = v y (velocità y) x 5 = ϑ (rotazione) x 6 = ω (velocità rotaz.) punto di equilibrio x 4 = 0 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 23 y f a apple Mg f m y 1 = δx 1 y 2 = δx 3 y 3 = δx 5 f a indifferenti (posizioni) h(x) lineare

24 Linearizzazione di sistemi dinamici non lineari esempio (VTOL) ( x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 )=(,0, 0,0,0) ( u 1,u 2,u 3 )=( Mg,0, Mg) linearizzazione di f(x,u) δ x = δ x 1 = f ( x,u 2 ) δx x 2 = δx 2 2 lo stesso vale per x f x,u δx + u f x,u equazione linearizzata δu δ x 1 = δx 2 equazione linearizzata equazione linearizzata δ x 3 = δx 4 δ x 5 = δx 6 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 24

25 esempio (VTOL) Linearizzazione di sistemi dinamici non lineari linearizzazione di f(x,u) δ x = f ( x,u) x δx + f ( x,u) u δu f ( x,u) δx x 5 = 1 5 M u cos x 1 5 f ( x,u) δu u 1 = 1 1 M sin x 5 x 5 =0,u 1 = Mg x 5 =0,u 1 = Mg δu 1 δx 5 = gδx 5 equazione linearizzata δ x 2 = gδx 5 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 25

26 esempio (VTOL) Linearizzazione di sistemi dinamici non lineari linearizzazione di f(x,u) f ( x,u) δx x 5 = 0 5 f ( x,u) x 4 = 1 M u 1 cos x 5 u 3 u 1 x,u f x,u u 3 x,u δu 1 = 1 M cos x 5 δu 3 = 1 M δu 3 equazione linearizzata δ x = f ( x,u) x x 5 =0,u 1 = Mg Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 26 δu 1 δx + f ( x,u) u = 1 M δu 1 δ x 4 = 1 ( M δu δu 1 3) δu

27 esempio (VTOL) Linearizzazione di sistemi dinamici non lineari linearizzazione di f(x,u) x 6 = 2l J u 2 f x,u u 2 x,u δ x = δu 2 = 2l J δu 2 f ( x,u) x δx + f ( x,u) u δu equazione linearizzata δ x 6 = 2l J δu 2 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 27

28 Linearizzazione di sistemi dinamici non lineari esempio (VTOL) modello linearizzato δ x 1 = δx 2 δ x 2 = gδx 5 δ x = Aδx + B 1 δu + B 2 g δ x 3 = δx 4 y = Cδx δ x 4 = 1 ( M δu δu A = 1 3) δ x 5 = δx 6 0 δ x 6 = 2l 0 0 J δu 2 B B 2 = 0 1 = 1 0 M 1 y 1 = δx C = y 0 2 = δx 3 0 2l y 3 = δx J 5 ingresso di disturbo (costante) g Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 28

29 esempio (VTOL) Linearizzazione di sistemi dinamici non lineari In relazione al punto di equilibrio scelto risulta, ovviamente: δx 2 = x 2, δx 4 = x 4, δx 5 = x 5, δx 6 = x 6, δu 2 = u 2 δ x = Aδx + B 1 δu + B 2 g y = Cδx A = B B 2 = 0 1 = 1 0 M C = 0 0 2l J ingresso di disturbo (costante) g Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 29

30 Per approfondimenti Riferimenti bibliografici Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione Capitolo 2 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA sistemi dinamici lineari 30

31 Controlli Automatici LA Introduzione all'analisi dei sistemi dinamici lineari Fine Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi