Elementi di Teoria dei Sistemi

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Agata Manzoni
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1 Parte 2, 1 Elementi di Teoria dei Sistemi

2 Parte 2, 2 Sistema dinamico a tempo continuo Ingresso Uscita

3 Parte 2, 3 Cosa significa Dinamico?? e` univocamente determinata? Se la risposta e` no Sistema dinamico

4 Esempio 1) Parte 2, 4 Non dinamico Esempio 2) Dinamico

5 Esempio 3) Parte 2, 5 Dinamico

6 Esempio 4) Parte 2, 6 Dinamico

7 Parte 2, 7 Variabili di stato Variabili da conoscere in a partire da per determinare Ordine del sistema (variabili di stato) (vettore di stato)

8 Sistemi dinamici a tempo continuo Parte 2, 8 Eq. di stato Trasf. d uscita

9 Parte 2, 9 Usando la notazione vettoriale: e per brevita` notazionale scriveremo spesso

10 Parte 2, 10 Alcune importanti definizioni: - Sistema strettamente proprio se non dipende da - Sistema tempo-invariante (o stazionario) se non dipendono da - Sistema lineare se - Sistema monovariabile (SISO) se sono funzioni lineari in (1 ingresso, 1 uscita) - Sistema multivariabile (MIMO) se e/o (piu` ingressi e/o piu`uscite)

11 Sistemi dinamici a tempo continuo Parte 2, 11 stato ingresso uscita

12 Esempio 1) Parte 2, 12 Non dinamico Non e` necessaria l introduzione di variabili di stato

13 Esempio 2) dall elettrotecnica Parte 2, 13 - Primo ordine -SISO -Stazionario - Str. proprio -Lineare

14 Esempio 2bis) Parte 2, 14 dall elettrotecnica - Primo ordine -SISO -Stazionario - Non str. proprio -Lineare

15 Esempio 3) Parte 2, 15 dalla fisica - Primo ordine -SISO -Stazionario - Str. proprio -Lineare

16 Esempio 4) dalla fisica Parte 2, 16 Ponendo poi - Secondo ordine -SISO -Stazionario - Str. proprio -Lineare e

17 Esempio 5) dalla fisica Parte 2, 17 Ponendo poi e - Secondo ordine -SISO -Stazionario - Str. proprio - Non lineare

18 Parte 2, 18 Rappresentazione di stato stato ingresso uscita

19 Parte 2, 19 Scelta delle variabili di stato - Criteri? - La scelta e` univoca? - L ordine e` fissato?

20 Un criterio ingegneristico Parte 2, 20 Variabili di stato Grandezze associate ad accumuli di energie, massa, ecc. - Elettrotecnica -Meccanica Tensioni sui condensatori Correnti negli induttori Posizione Velocita` -Termodinamica Temperatura Entalpia

21 Un criterio matematico Parte 2, 21 Supponiamo di aver ricavato dalla fisica o dall elettrotecnica, o un eq. Differenziale di ordine Ponendo e

22 Esempio Parte 2, 22 Si abbia l eq. differenziale di ordine 3 Ponendo e

23 Parte 2, 23 Rappresentazioni di stato equivalenti

24 Parte 2, 24 Movimento dello stato e dell uscita Movimento dello stato Movimento dell uscita

25 Parte 2, 25 Calcolo del Movimento Due passi: a) Integrazione eq. di stato b) Sostituzione di nella trasformazione d uscita

26 Parte 2, 26 Osservazione importante: Per sistemi stazionari e` lecito assumere senza ledere la generalita`

27 Esempio Parte 2, 27

28 Parte 2, 28 a) Integrazione eq. di stato: b) Sostituzione di nella trasformazione d uscita:

29 con le trasf. di Laplace: Parte 2, 29

30 Parte 2, 30 Equilibrio (sistemi stazionari) - Stato di equilibrio movimento costante di con - Gli stati di equilibrio si trovano tutti al variare di - Uscita di equilibrio movimento costante di con

31 Parte 2, 31 Calcolo dell equilibrio - Risolvere l equazione algebrica - Sostituire nella trasformazione d uscita

32 Esempio 1) Parte 2, 32

33 Esempio 2) Parte 2, 33

34 Esempio 3) Ponendo Parte 2, 34 e

35 Sistemi dinamici a tempo continuo Parte 2, 35 Sistemi dinamici - lineari -stazionari

36 Parte 2, 36 Sistemi lineari stazionari SISO Combinazioni lineari di variabili di stato e del controllo

37 Parte 2, 37 Sistemi lineari stazionari SISO

38 Parte 2, 38 Equilibrio (sistemi lineari stazionari)

39 Parte 2, 39 Equilibrio (sistemi lineari stazionari) Guadagno statico

40 Parte 2, 40 Equilibrio (sistemi lineari stazionari)

41 Parte 2, 41 Movimento (caso scalare - )

42 Parte 2, 42 Cenno di dimostrazione: Si segue la procedura seguente: si verifica che l espressione soddisfa l equazione differenziale. In caso affermativo, il teo. di esist. ed unicita`ci permette di concludere la dimostrazione. OK! Ricordiamo: Quindi: OK!

43 con le trasf. di Laplace: Parte 2, 43 usando la proprieta` e la trasformata notevole

44 Parte 2, 44 Movimento (caso generale - ) dove si definisce l esponenziale di matrice

45 Parte 2, 45 Formule di Lagrange Movimento libero: dipende da linearmente Movimento forzato: dipende da linearmente

46 Parte 2, 46 Formule di Lagrange Movimento libero: dipende da linearmente Movimento forzato: dipende da linearmente

47 Parte 2, 47 Principio di sovrapp. degli effetti Nota: la proprieta` vale anche per sistemi non stazionari purche` lineari

48 Parte 2, 48 Sistemi lineari stazionari MIMO Le formule valide nel caso SISO si applicano con ovvi cambiamenti

49 Parte 2, 49 Rappresentazioni di stato equivalenti Notazione:

50 Parte 2, 50 Esercizio a casa Dati: Mostrare che: - se il guadagno statico non cambia - se il movimento non cambia

51 Parte 2, 51 Linearizzazione Idea di base: Pendenza retta tangente = Pendenza retta tangente =

52 Parte 2, 52 Definiamo gli scostamenti rispetto all equilibrio:

53 Parte 2, 53 dove evidentemente:

54 Parte 2, 54 Vediamo la trasformazione d uscita:

55 Parte 2, 55 dove:

56 Parte 2, 56 Sistema linearizzato:

57 Esempio Ponendo Parte 2, 57 e

58 Quindi: Parte 2, 58

59 Poi (tutte queste quantita` non dipendono dallo stato di eq.): Parte 2, 59

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