Controlli Automatici LA Introduzione all'analisi dei sistemi dinamici

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1 Introduzione all'analisi dei sistemi dinamici lineari Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi. 2. movimento e stabilità del movimento equilibrio e stabilità dell'equilibrio 3. lineari principio di sovrapposizione degli effetti Riferimenti bibliografici Indice Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 2 Modello generale in forma di stato si considera il caso più generale di sistema non lineare e variabile nel tempo in un sistema ci sono solitamente più ingressi e più uscite si considerano quindi rappresentazioni vettoriali per le variabili e le funzioni presenti sono funzioni vettoriali dipendenza del vettore uscita (y) dal vettore ingresso (u) e dal vettore stato (x) la funzione h è una funzione vettoriale evoluzione del vettore stato equazione (vettoriale) di uscita la funzione f è una funzione vettoriale equazione (vettoriale) di stato Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 3 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici

2 Modello generale in forma di stato rappresentazione a blocchi u = u u 2.. u m x = x x 2.. x n y = y y 2.. y r f ( x,u,t)= ( x,u,t) ( x,u,t) n = numero di stati h( x,u,t)= h 2 x,u,t m = numero di ingressi r = numero di uscite.. h r ( x,u,t ) Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 4 f f 2 f n h.. x,u,t x,u,t Modello generale in forma di stato un modello generale del tipo x = f x,u,t y = h x,u,t rappresenta un sistema: dinamico equazione di stato differenziale MIMO (Multi Input-Multi Output) m, r n = ordine del modello m = numero di ingressi r = numero di uscite a parametri concentrati equazione differenziale ordinaria non lineare le funzioni f e h sono non lineari tempo variante le funzioni f e h dipendono esplicitamente dal tempo proprio l'uscita dipende direttamente dall'ingresso Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 5 Classificazione dei sistemi dinamici un sistema dinamico si dice SISO (Single Input-Single Output) se r = m = strettamente proprio o puramente dinamico se l'uscita non dipende direttamente dall'ingresso, ma solo attraverso lo stato stazionario se le funzioni f e h non dipendono esplicitamente dal tempo lineare se le funzioni f e h dipendono linearmente da x e u x ( t)= A( t)x( t)+ B( t)u( t) dim( A)= n n; dim( B)= n m y( t)= C( t)x( t)+ D( t)u( t) dim ( C)= r n; dim( D)= r m se il sistema è lineare, stazionario e strettamente proprio allora x ( t)= Ax( t)+ Bu( t) y( t)= Cx t Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 6 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici 2

3 v G (t) i(t) R v R dv C ( t ) = dt RC v ( t)+ v C G v R ( t)= v C ( t)+ v G x = ax + bu y = cx + du circuito elettrico C v C (t) modello lineare SISO del ordine ingresso (u):tensione generatore v G uscita (y):tensione resistore v R parametri:capacità C,resistenza R variabile energetica (x): tensione condensatore v C x = v x = RC x + c RC u se u = v G y = v y = x + u R Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 7 a, v dv dt = ( M βv f + f e) a = dv dt = ( M βv f + f e) A = β M con M B = K sistema meccanico ingresso (u):forza applicata f e uscita (y):accelerazione a parametri: massa M, molla K, attrito apple variabili energetiche (x): velocità carrello v, forza molla f x = v se f M x = Ax + bu y = Cx + du Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 8 C = M β modello lineare SISO del 2 ordine motore elettrico a collettore (cc) con le seguenti posizioni il modello in forma di stato è x = Ax + Bu y = Cx modello lineare MIMO del 2 ordine Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 9 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici 3

4 x y f a apple Mg f m x = x (posizione x) x 2 = v x (velocità x) x 3 = y (posizione y) x 4 = v y (velocità y) x 5 = ϑ (angolo) x 6 = ω (velocità ang.) u = f m (forza motore) u 2 = f a (forza allineante) u 3 = f (forza di gravità) f a x = x 2 x 2 = M u sin x 5 x 3 = x 4 x 4 = M u cos x + u 5 3 x 5 = x 6 x 6 J u 2 h(x) lineare modello non lineare MIMO del 6 ordine y = x y 2 = x 3 y 3 = x 5 Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari apple c m M f g J ω = c m Mgl sinϑ βω ϑ = ω x = ϑ (posizione) x 2 = ω (velocità) u = c m (coppia) y = ϑ (posizione) ingressi: c m = coppia motore f g = forza di gravità uscite: ϑ = posizione x = x 2 y = x variabili energetiche ω = velocità angolare parametri: M = massa J = Ml 2 = momento di inerzia rispetto al fulcro l = lunghezza pendolo β = coefficiente di attrito x 2 = g l sin x β Ml 2 x 2 + Ml 2 u modello non lineare SISO del 2 ordine Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari Movimento per il sistema dinamico x = f ( x,u,t) u( t), t t noti y = h( x,u,t ) 2 x( t ) mediante integrazione dell'equazione differenziale di stato () è possibile determinare l'evoluzione temporale (movimento) dello stato x( t), t t detto anche traiettoria dello stato da cui si può ricavare, mediante l'equazione di uscita (2), anche l'evoluzione temporale (movimento) dell'uscita y( t), t t detto anche traiettoria dell'uscita Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 2 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici 4

5 Stabilità del movimento di sistemi dinamici stazionari - concetto nozione che classifica come un sistema dinamico reagisce a fronte di perturbazioni A Perturbazione (disturbo) Sistema B traiettorie nominali traiettorie perturbate Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 3 C Stabilità del movimento di sistemi dinamici stazionari movimento traiettoria dello stato a partire da stato iniziale problema ed ingresso noti si vuole studiare come si modifica la traiettoria a seguito di una perturbazione dello stato iniziale definizione di stabilità (del movimento) un movimento x(t) si dice stabile se per ogni ε > esiste un δ ε tale che per ogni stato iniziale che soddisfa la relazione x x δ ε risulti x( t) x t ε t t un movimento x(t) si dice asintoticamente stabile se inoltre lim x( t) x ( t) = t Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 4 Stabilità del movimento di sistemi dinamici stazionari interpretazione grafica della semplice stabilità Traiettoria nominale Traiettoria perturbata Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 5 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici 5

6 Stabilità del movimento di sistemi dinamici stazionari interpretazione grafica della stabilità asintotica Traiettoria perturbata Traiettoria nominale Attrattività asintotica Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 6 Equilibrio per il sistema dinamico stazionario x = f ( x,u) y = h x,u comandato con un ingresso costante u( t)= u = cost, t t è di interesse calcolare le eventuali traiettorie dello stato e dell'uscita che risultano costanti x( t)= x = cost t t y( t)= y = cost si può dimostrare che uno stato è di equilibrio se x = e cioè f ( x,u)= a cui corrisponde l'uscita di equilibrio y=h x,u Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 7 Stabilità di un punto di equilibrio Un punto di equilibrio è una particolare traiettoria del sistema, per cui le precedenti definizioni possono essere specializzate definendo la stabilità semplice e asintotica di un punto di equilibrio raggio stabilità semplice stabilità asintotica raggio Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 8 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici 6

7 Alcune considerazioni sulla stabilità In generale per i sistemi dinamici la proprietà di stabilità non è associata al sistema ma alla particolare traiettoria (stabilità di una traiettoria) dipende dal particolare ingresso e dallo stato iniziale per i sistemi lineari si può parlare di stabilità (semplice o asintotica) del sistema dinamico indipendentemente dal particolare ingresso e stato iniziale conseguenza immediata del principio di sovrapposizione degli effetti La proprietà di stabilità riguarda l evoluzione dello stato. La funzione che lega stato e ingresso con l uscita non entra nella trattazione Lo studio delle proprietà di stabilità delle traiettorie non è in generale un problema semplice da risolvere per sistemi non lineari Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 9 lineari Principio di Sovrapposizione degli effetti per il sistema lineare (anche tempo variante) x ( t)= A( t)x( t)+ B( t)u( t) dati due diversi ingressi u'(t) e u''(t) si considerino i rispettivi moti x'(t) e x''(t) x' ( t)= A( t)x' ( t)+ B( t)u' ( t) 2 x'' ( t)= A( t)x'' ( t)+ B( t)u'' ( t) per semplicità dato un terzo ingresso, combinazione lineare degli altri due u''' ( t)= αu' ( t)+ βu'' ( t) è immediato verificare, combinando la e la 2, che α x' ( t)+ β x'' ( t)= A( t) αx' ( t)+ βx'' ( t ) + B( t) αu' ( t )+ βu'' ( t ) da cui x''' ( t)= αx' ( t)+ βx'' t y''' ( t)= αy' ( t)+ β y'' ( t) Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 2 lineari Principio di Sovrapposizione degli effetti è una proprietà tipica dei soli sistemi lineari non è più valido se nel sistema ci sono non linearità la proprietà vale anche a partire da stati iniziali diversi da zero consente di studiare separatamente gli effetti sul movimento dello stato e dell'uscita dovuti allo stato iniziale ed all'ingresso mette in evidenza una proprietà caratteristica dei soli sistemi lineari il movimento generato da un ingresso multiplo di un altro (u (t) = ku(t)) si ottiene moltiplicando il movimento generato dal primo per la costante di molteplicità (k) Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 2 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici 7

8 Si può approssimare il comportamento di un sistema dinamico non lineare, nell'intorno di un punto di equilibrio, con un modello lineare linearizzazione δx = x x f ( x,u)= in un punto definiti le nuove variabili = u u di equilibrio del sistema linearizzato y=h( x,u ) δ y = y y con lo sviluppo in serie di Taylor del ordine nell'intorno del punto di equilibrio f x,u δ x = f ( x,u)= δ y = h( x,u)= h( x,u)+ δ x = A B δ y = C D f x,u h x,u modello linearizzato Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 22 h x,u x x = x (posizione x) f x m 2 = v x (velocità x) x f a 3 = y (posizione y) apple u = f m (forza motore) x 4 = v y (velocità y) f a u 2 = f a (forza allineante) x 5 = ϑ (rotazione) u x y Mg 3 = f g (forza di gravità) 6 = ω (velocità rotaz.) x = x 2 x 2 = M u sin x 5 x 3 = x 4 x 5 = x 6 x 6 J u 2 x 4 = ( M u cos x u 5 3) punto di equilibrio x 4 = y = δx y 2 = δx 3 y 3 = δx 5 indifferenti (posizioni) h(x) lineare Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 23 ( x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 )=(,,,,) ( u,u 2,u 3 )=( Mg,, Mg) linearizzazione di f(x,u) f x,u δ x = δ x = f 2 δx 2 = δx 2 2 lo stesso vale per f x,u δ x = δx 2 δ x 3 = δx 4 δ x 5 = δx 6 Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 24 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici 8

9 linearizzazione di f(x,u) δ x = f ( x,u) δx 5 = 5 M u cos x δx 5 5 ( x,u x ) 5 =,u = Mg f ( x,u) = M sin x 5 ( x,u x ) 5 =,u = Mg = gδx 5 δ x 2 = gδx 5 Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 25 linearizzazione di f(x,u) x 4 = M u cos x 5 u 3 f ( x,u) 5 f ( x,u) δx 5 = = M cos x 5 x 5 =,u = Mg f ( x,u) 3 = 3 M 3 δ x = = M δ x 4 = ( M 3) Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 26 linearizzazione di f(x,u) x 6 J u 2 f x,u 2 x,u 2 J 2 δ x = δ x 6 J 2 Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 27 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici 9

10 modello linearizzato δ x = δx 2 δ x 2 = gδx 5 δ x = A B + B 2 g δ x 3 = δx 4 y = Cδx δ x 4 = ( M A = 3) δ x 5 = δx 6 δ x 6 J 2 B B 2 = = M y = δx C = y 2 = δx 3 2l y 3 = δx J 5 ingresso di disturbo (costante) g Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 28 In relazione al punto di equilibrio scelto risulta, ovviamente: δx 2 = x 2, δx 4 = x 4, δx 5 = x 5, δx 6 = x 6, 2 = u 2 δ x = A B + B 2 g y = Cδx A = B B 2 = = M C = 2l J ingresso di disturbo (costante) g Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 29 Per approfondimenti Riferimenti bibliografici Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione Capitolo 2 Prof. Carlo Rossi sistemi dinamici lineari 3 Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici

11 Introduzione all'analisi dei sistemi dinamici lineari Fine Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Prof. Carlo Rossi Analisi di sistemi dinamici