CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI STABILITA NEI SISTEMI LTI

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1 CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI STABILITA NEI SISTEMI LTI Ing. Cristian Secchi Tel Stabilità nei Sistemi Lineari Lo studio della stabilità risulta notevolmente semplificato nel caso di sistemi LTI. Una semplificazione notevole deriva dal fatto che mentre nel caso più generale non lineare il concetto di stabilità è riferito a un particolare movimento, nel caso di sistemi lineari (anche non tempo invarianti), è possibile parlare di stabilità del sistema. Infatti: Proposizione: In un sistema lineare un movimento è stabile (instabile) se e solo se tutti i movimenti sono stabili (instabili). Dimostrazione Si consideri un movimento nominale di un sistema lineare. Vale, quindi: Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI -- 2 Cristian Secchi Pag. 1

2 Stabilità nei Sistemi Lineari Consideriamo ora il movimento perturbato x(t), relativo allo stesso ingresso del movimento nominale. Posto: si ha che: Lo stato z=0 è uno stato di equilibrio. Pertanto, il movimento nominale considerato è stabile (instabile) se e solo se lo stato z=0 è stabile (instabile). Tuttavia, nel sistema: non vi è alcun riferimento allo specifico movimento nominale preso in considerazione. Infatti, a causa della linearità, si arriva allo stesso sistema in z considerando qualsiasi movimento nominale. Quindi se un movimento è stabile lo sono anche tutti gli altri. [QED] Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI -- 3 Stabilità nei sistemi lineari La stabilità di un sistema lineare dipende solamente dal movimento libero e dalla matrice di stato. Vale il seguente importante risultato: Proposizione: Il sistema lineare autonomo di dimensione n è stabile se e solo se, per ogni t 0, esiste un numero reale M>0 tale che sia: ed è asintoticamente stabile se e solo se è stabile ed inoltre vale la relazione dove Φ(t,t 0 )è la matrice di transizione dello stato. Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI -- 4 Cristian Secchi Pag. 2

3 Stabilità nei sistemi LTI Per i sistemi LTI le cose si semplificano ulteriormente. Infatti per i sistemi LTI la matrice di transizione dello stato è e At ed è costituita dai modi del sistema. Ricordando l analisi modale fatta per sistemi LTI e la proposizione appena enunciata è possibile legare la stabilità di un sistema lineare autonomo agli autovalori della matrice di stato ed enunciare il seguente: Criterio per la stabilità dei sistemi LTI: Il sistema LTI autonomo di dimensione n è: 1) asintoticamente stabile se e solo se gli autovalori di A hanno parte reale negativa 2) semplicemente stabile se e solo se gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla e gli autovalori a parte reale nulla sono semplici 3) instabile, se esiste almeno un autovalore con parte reale positiva o un autovalore non semplice con parte reale nulla Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI -- 5 Interpretazione del criterio di stabilità Siccome gli elementi della matrice di transizione dello stato di un sistema LTI sono i modi del sistema, la norma della matrice di transizione di stato è determinata dai modi. La limitatezza della matrice di transizione dello stato, e, quindi, la stabilità del sistema, pertanto, sarà determinata dal carattere di convergenza dei modi del sistema. Siccome il carattere di convergenza dei modi dipende dall autovalore a cui sono associati, il sistema sarà asintoticamente stabile solo se la matrice di stato ha autovalori con parte reale negativa (cioè se vi sono solo modi convergenti), semplicemente stabile solo se eventuali autovalori a parte reale nulla non sono multipli (cioè se vi sono solo modi limitati o convergenti) e instabile se esiste almeno un autovalore con parte reale positiva (cioè se vi è almeno un modo divergente). Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI -- 6 Cristian Secchi Pag. 3

4 Interpretazione del criterio di stabilità In conclusione, per i sistemi LTI: Un movimento è stabile (instabile) se e solo se tutti i movimenti sono stabili (instabili). E pertanto possibile associare il concetto di stabilità al sistema anziché al singolo movimento. La stabilità dipende solo dalla matrice di stato A, in particolare dai modi della matrice di transizione dello stato e At Per determinare la stabilità basta testare gli autovalori della matrice di stato e non occorre procedere per tentativi nella ricerca di una funzione di Lyapunov. Testare la stabilità di un sistema LTI è semplice Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI -- 7 Equazione di Lyapunov La teoria generale continua a valere, ovviamente, anche nel caso particolare dei sistemi LTI. In particolare vale il seguente risultato: Proposizione: Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema LTI: sia asintoticamente stabile è che per ogni matrice simmetrica e definita positiva Q esiste un matrice simmetrica e definita positiva P tale che sia soddisfatta la seguente equazione matricale, detta equazione di Lyapunov: Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI -- 8 Cristian Secchi Pag. 4

5 Equazione di Lyapunov Nel caso in cui il sistema sia asintoticamente stabile, la funzione è una funzione di Lyapunov per il sistema e la sua derivata,definita negativa, è Siccome V(x) è definita su tutto X e cioè V(x) è radialmente illimitata, il teorema di Barbashin-Krasowskii è soddisfatto per ogni sistema LTI asintoticamente stabile. Quindi: In un sistema LTI i concetti di stabilità asintotica e stabilità globale asintotica coincidono: se un sistema è asintoticamente stabile allora è automaticamente GAS. Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI -- 9 Esempio x 1 x2 F=u k y m b Il sistema ha uno stato di equilibrio in (x 1,x 2 )=(0,0). Il sistema è stabile? Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Cristian Secchi Pag. 5

6 Esempio Il sistema considerato è un sistema LTI e, quindi, per vedere se è stabile basta analizzare gli autovalori della matrice di stato. Gli autovalori della matrice di stato sono: Supponiamo che m=1kg, b=1nsec/m e K=1 N/m. In tal caso: quindi il sistema è asintoticamente stabile Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Esempio Vogliamo determinare una funzione di Lyapunov per il sistema: Con i valori prescelti, la matrice A ha la forma: Scelgo, come matrice Q simmetrica e definita positiva, per semplicità: Cerco una matrice P simmetrica e definita positiva tale che sia soddisfatta l equazione di Lyapunov. Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Cristian Secchi Pag. 6

7 Esempio Impongo che P sia simmetrica: e che risolva l equazione di Lyapunov: da cui si ricava: che, come si può facilmente verificare, è definita positiva. Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Esempio Quindi, la funzione: Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Cristian Secchi Pag. 7

8 Linearizzazione di sistemi non lineari L analisi della stabilità per sistemi LTI si può ottenere semplicemente studiando la parte reale e la molteplicità degli autovalori ed esistono strumenti molto potenti (come ad esempio il criterio di Routh) per portarla avanti anche per sistemi di dimensioni elevate. Se fosse possibile ricondurre l analisi di stabilità di uno stato di equilibrio di un sistema non lineare all analisi della stabilità di un sistema LTI, il lavoro da fare sarebbe notevolmente semplificato. Sotto opportune ipotesi è possibile, nell intorno di un punto di equilibrio, considerare equivalenti il comportamento di un sistema non lineare e quello di un particolare sistema lineare. Il procedimento di linearizzazione ci consente di determinare l equivalente lineare di un sistema non lineare nell intorno di un punto di equilibrio. Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Linearizzazione di sistemi non lineari Consideriamo il sistema non lineare regolare autonomo e descritto da: e supponiamo che l origine sia uno stato di equilibrio per tale sistema. Se f è sviluppabile in serie di Taylor, è possibile scrivere lo sviluppo di f nell intorno di 0: dove la matrice A è il jacobiano di f calcolato in x=0: e h(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Cristian Secchi Pag. 8

9 Linearizzazione di sistemi non lineari Siccome f(0)=0 per definizione di stato di equilibrio, è possibile, trascurando i termini di ordine superiore, approssimare il comportamento del sistema nell intorno dello stato di equilibrio, con il sistema LTI: Tale procedimento è detto linearizzazione del sistema nell intorno dell origine. La matrice di stato dipende dal punto di equilibrio che si sta considerando. Se si cambia il punto di equilibrio attorno a cui è sviluppata la funzione di stato, in generale la matrice di stato cambia. E possibile studiare la stabilità di un punto di equilibrio mediante lo studio della stabilità del sistema lineare ottenuto tramite la linearizzazione di f( ). Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Analisi della stabilità mediante linearizzazione Criterio ridotto di Lyapunov: Sia dato il sistema non lineare autonomo: e sia l origine un punto di equilibrio del sistema. Sia il sistema LTI ottenuto linearizzando il sistema intorno all origine. Allora: 1. Se gli autovalori di A hanno parte reale negativa, l origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema non lineare 2. Se almeno uno degli autovalori di A ha parte reale positiva, l origine è un punto di equilibrio instabile per il sistema non lineare. 3. Se gli autovalori hanno parte reale negativa e alcuni hanno parte reale nulla, non è possibile concludere nulla sulla stabilità dell origine per il sistema non lineare. Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Cristian Secchi Pag. 9

10 Analisi della stabilità mediante linearizzazione Il fatto che l instabilità o l asintotica stabilità del sistema linearizzato implichino quelle dell origine del sistema originario significa che l approssimazione è sufficientemente accurata per catturare queste caratteristiche La presenza di autovalori a parte reale nulla significa che il sistema linearizzato non è sufficientemente accurato per catturare le proprietà di stabilità del punto di equilibrio del sistema non lineare. Occorrerebbe rendere l approssimazione più accurata considerando, nello sviluppo in serie di f, termini successivi a quelli del primo ordine ma in tal modo l approssimazione sarebbe non lineare e perderebbe la sua utilità Nonostante per sistemi LTI stabilità asintotica e stabilità asintotica globale coincidano, questo non significa che se il sistema linearizzato è asintoticamente stabile, l origine del sistema non lineare sia GAS, in quanto l approssimazione lineare del sistema vale solo in un intorno dell origine. Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Esempio Pendolo semplice smorzato Si consideri un pendolo semplice di massa m=1 Kg e lunghezza l=1 m sotto l azione della forza di gravità g=9.8 m/sec^2 e di un attrito viscoso con coefficiente b=1 Nsec/m: Il sistema ha due punti di equilibrio: (x 1,x 2 )=(0,0) e (x 1,x 2 )=(π,0). Supponiamo di voler studiare la stabilità del punto (0,0) mediante il criterio ridotto di Lyapunov. Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI Cristian Secchi Pag. 10

11 Esempio Pendolo semplice smorzato Gli autovalori di A sono: E, quindi, l origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile. Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici Stabilità nei Sistemi LTI CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI STABILITA NEI SISTEMI LTI Ing. Cristian Secchi Tel secchi.cristian@unimore.it Cristian Secchi Pag. 11