CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI ANALISI MODALE

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1 CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI ANALISI MODALE Ing. Cristian Secchi Tel Modi di un sistema Consideriamo un sistema LTI descritto da: E sempre possibile trovare una rappresentazione equivalente del sistema: Tale che, nelle nuove coordinate, la matrice di stato del sistema sia in forma canonica di Jordan. Il sistema è rappresentato da: Cristian Secchi Analisi Modale -- 2 Cristian Secchi Pag. 1

2 Modi di un sistema Dove, se λ 1,, λ h sono gli autovalori distinti di A: Il fatto che la matrice di stato sia in forma di Jordan, consente di vedere il sistema libero nelle nuove coordinate come un insieme di h sottosistemi liberi non interagenti tra loro. Infatti: Cristian Secchi Analisi Modale -- 3 Modi di un sistema Il movimento libero può pertanto essere decomposto in h movimenti liberi: Cristian Secchi Analisi Modale -- 4 Cristian Secchi Pag. 2

3 Modi di un sistema Ogni sottosistema è associato a un blocco di Jordan J i e, quindi, a un autovalore della matrice di stato. L andamento del movimento del sottosistema i-esimo dipende dall esponenziale dell i-esimo blocco di Jordan. Definizione: Le funzioni del tempo t che compaiono che compaiono nella matrice e Jit sono detti modi del sistema relativi all autovalore associato a J i Definizione: Le funzioni del tempo t che compaiono nelle matrici e Jit, i=1,, h, cioè nella matrice, sono dette modi del sistema. Cristian Secchi Analisi Modale -- 5 Modi di un sistema Il movimento di un sistema libero è la combinazione lineare dei modi del sistema. I coefficienti con cui i modi sono combinati sono dati da: 1) Lo stato iniziale 2) La matrice T Lo studio dell andamento dei modi di un sistema ci consente di legare il tipo di andamento del movimento libero agli autovalori della matrice di stato. E pertanto possibile caratterizzare il movimento libero del sistema dal semplice studio degli autovalori della matrice di stato e della loro molteplicità. Lo studio dell andamento dei modi è detto analisi modale del sistema Cristian Secchi Analisi Modale -- 6 Cristian Secchi Pag. 3

4 Analisi modale Autovalori reali distinti Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano tutti reali e distinti, necessariamente la forma di Jordan è una matrice diagonale: La matrice di transizione dello stato è, quindi: Cristian Secchi Analisi Modale -- 7 Analisi modale Autovalori reali distinti I modi del sistema sono dati dalle seguenti funzioni: Se lo stato iniziale appartiene all autospazio relativo ad un particolare autovettore, allora l evoluzione libera del sistema appartiene allo stesso autospazio Ciascun modo può venire eccitato (cioè comparire nell espressione del movimento libero) indipendentemente dagli altri modi. Ciascun modo relativo a un autovalore complesso viene eccitato assieme al suo coniugato. Cristian Secchi Analisi Modale -- 8 Cristian Secchi Pag. 4

5 Analisi modale Autovalori reali distinti e λt dove λ=0.5 Cristian Secchi Analisi Modale -- 9 Analisi modale Autovalori reali distinti e λt dove λ=0 Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 5

6 Analisi modale Autovalori reali distinti e λt dove λ=-0.5 Cristian Secchi Analisi Modale Analisi modale Autovalori complessi distinti Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano complessi coniugati e distinti, del tipo λ i =σ i ± ω i la matrice di transizione dello stato : Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 6

7 Analisi modale Autovalori complessi distinti I modi del sistema sono dati dalle seguenti funzioni: I due modi corrispondenti ad una coppia di autovalori complessi coniugati non possono venire eccitati indipendentemente. Pertanto, per ogni coppia di autovalori complessi coniugati σ i ± ω i,nell espressione del movimento libero compariranno due termini del tipo: Cristian Secchi Analisi Modale Analisi modale Autovalori complessi distinti e σt cos(ωt) dove λ 1,2 =0.5 ± 2j Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 7

8 Analisi modale Autovalori complessi distinti e σt cos(ωt) dove λ 1,2 =± 2j Cristian Secchi Analisi Modale Analisi modale Autovalori complessi distinti e σt cos(ωt) dove λ 1,2 =-0.5 ± 2j Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 8

9 Analisi modale Autovalori reali multipli Nel caso di autovalori multipli, la matrice di transizione dello stato è data da: dove: Cristian Secchi Analisi Modale Analisi modale Autovalori reali multipli In questo caso i modi del sistema sono: Se lo stato appartiene al sottospazio associato al miniblocco di Jordan, allora il movimento libero è interamente contenuto nel sottospazio. Non è possibile eccitare in alcun modo singolarmente i modi appartenenti allo stesso miniblocco di Jordan. Pertanto, se nel movimento compare il contributo di un modo relativo a un miniblocco, allora compaiono anche i contributi di tutti gli altri modi relativi allo stesso miniblocco. Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 9

10 Analisi modale Autovalori reali multipli Si consideri, ad esempio, il sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità 2: Il movimento libero del sistema è dato da: Analizziamo i due modi del sistema: Cristian Secchi Analisi Modale Analisi modale Autovalori reali multipli Autovalore doppio λ=0 modi m 1 e m 2 Autovalore doppio λ=-0.5 modi m 1 e m 2 Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 10

11 Analisi modale Autovalori complessi multipli Analogamente al caso di autovalori complessi coniugati multipli, i modi associati agli autovalori complessi coniugati multipli del tipo σ ± jω sono: Dove ν è la dimensione del miniblocco di Jordan associato alla coppia di autovalori complessi coniugati. Cristian Secchi Analisi Modale Analisi modale Autovalori complessi multipli Consideriamo un sistema con una coppia di autovalori complessi coniugati σ ± jω doppia. I modi relativi alla coppia sono Analizziamo l andamento della coppia di modi m 1 (t) e m 3 (t). L andamento dell altra coppia di modi è analogo. Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 11

12 Analisi modale Autovalori complessi multipli Autovalore doppio λ=-0.5 ± 2j modi m 1 e m 3 Autovalore doppio λ=±2j modi m 1 e m 3 Cristian Secchi Analisi Modale Analisi modale In un generico sistema LTI possono essere presenti tutti i tipi di autovalori analizzati finora. Pertanto, il movimento libero del sistema è dato, in generale, dalla combinazione lineare di tutti i tipi di modi visti finora. Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 12

13 Carattere di convergenza dei modi Consideriamo un sistema LTI. Diremo che un modo m(t), definito per t 0 è: convergente se: limitato, ma non convergente se esiste un numero reale 0<M< tale che t 0 si abbia: non limitato (o divergente) se: Cristian Secchi Analisi Modale Carattere di convergenza dei modi Dall analisi modale fatta, segue la seguente: Proposizione: I modi del sistema sono: convergenti se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa limitati se e solo se gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla e quelli a parte reale nulla sono associati a miniblocchi di Jordan di dimensione 1 non limitati se almeno un autovalore di A è a parte reale positiva oppure a parte reale nulla ma associato a un miniblocco di Jordan di dimensione maggiore di 1. Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 13

14 Matlab Simulazione di Sistemi LTI E possibile simulare il comportamento di un sistema LTI con Simulink. A tal fine occorre utilizzare il blocco State-Space che si trova nella libreria Continuous di Simulink. Facendo doppio click sul blocco si possono editare i campi A, B, C e D dove vanno inserite le matrici che caratterizzano il sistema e il campo Initial Conditions dove va inserito il vettore che rappresenta lo stato iniziale del sistema Facendo doppio click sul blocco si possono editare i campi A, B, C e D dove vanno inserite le matrici che caratterizzano il sistema e il campo Initial Conditions dove va inserito il vettore che rappresenta lo stato iniziale del sistema Cristian Secchi Analisi Modale Matlab Simulazione di Sistemi LTI L ingresso del sistema è un vettore mentre i blocchi della libreria Sources producono degli ingressi scalari E possibile utilizzare il blocco Mu nella libreria Signal Routing per raggruppare n segnali scalari in un unico vettore di ordine n. Facendo doppio click sul blocco Mu è possibile specificare il numero di ingressi da raggruppare. L uscita del sistema è un vettori mentre può essere desiderabile considerare separatamente ciascun componente come un segnale scalare E possibile utilizzare il blocco Demu nella libreria Signal Routing per suddividere un vettore di segnali di ordine n in n segnali scalari. Facendo doppio click sul blocco Demu è possibile specificare il numero di uscite scalari da ottenere. Cristian Secchi Analisi Modale Cristian Secchi Pag. 14

15 Matlab Simulazione di Sistemi LTI Esercizio Si consideri il seguente sistema LTI Si simuli in comportamento del sistema in risposta ad un ingresso u 1 a gradino di ampiezza 3 all istante 3 e ad un ingresso u 2 a gradino di ampiezza 2 all istante 2. Si supponga che lo stato iniziale sia 0 =[1 1]. Cristian Secchi Analisi Modale CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI ANALISI MODALE Ing. Cristian Secchi Tel secchi.cristian@unimore.it Cristian Secchi Pag. 15