Applicazioni bilineari e matrici.

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1 Il caso reale Applicazioni bilineari e matrici Sia g un prodotto scalare su R n Ricordo che un prodotto scalare su R n è un applicazione g : R n R n R che soddisfa le seguenti condizioni: Per ogni v ; v ; v 3 in R n, e g ( v + v ; v 3 = g ( v ; v 3 + g ( v ; v 3, g ( v ; v + v 3 = g ( v ; v + g ( v ; v 3 Per ogni v ; v in R n, c R, Per ogni v ; v in R n, g (c v ; v = cg ( v ; v = g ( v ; c v g ( v ; v = g ( v ; v ; Fissato v R n, g ( v ; v 0 e g ( v ; v = 0 se e solo se v = 0 ESEMPI Lavoriamo sempre in coordinate standard, salvo diverse indicazioni In R 4, sia g : R 4 R 4 R tale che g ((x ; y ; z ; t ; (x ; y ; z ; t = x x + y y + z z t t g soddisfa le prime tre proprietà, ma non la quarta: g ((0; 0; 0; ; (0; 0; 0; = In R, sia g : R R R tale che g ((x ; y ; (x ; y = x x + y y + Essa non soddisfa la seconda proprietà: g ( (; 0 ; (0; = g ((; 0 ; (0; =, g ((; 0 ; (0; = =

2 3 In R, sia g : R R R tale che g ((x ; y ; (x ; y = x + x Essa non soddisfa la quarta proprietà: g (( ; 0 ; ( ; 0 = < 0 4 In R, sia g : R R R tale che g ((x ; y ; (x ; y = x x + x y + x y + y y Si vede subito che g soddisfa tutte le quattro proprietà Quindi, g è un prodotto scalare su R Sia ora C = (c ij una matrice n n reale A C si può associare un applicazione bilineare come segue: se X = t (x ; x ; ; x n e Y = t (y ; y ; ; y n sono due vettori qualsiasi in R n (visti come vettori colonna, poniamo g C (X; Y = t X C Y La bilinearità (ovvero le prime due proprietà descritte in precedenza segue automaticamente dalle proprietà della moltiplicazione di matrici in R n Esplicitando le notazioni matriciali: c c n t X C Y = (x ; x ; ; x n c n c nn possiamo anche scrivere: t X C Y = n c ij x i y j i;j= g C è l applicazione bilineare associata a C Sia ora { e ; e ; ; e n } una base di R n (per esempio, la base standard Se g : R n R n R è un applicazione bilineare su R n, si ha che g = g B, per qualche matrice n n reale B Sia, infatti, b ij = g (e i ; e j Allora, noti tutti i prodotti g (e i ; e j, per ogni i; j, g è definita su tutto R n R n e si ha g = g B Infatti, se X = x e + x e + + x nen e Y = y e + y e + + y nen, si ha che ( X g ; Y = g (x e + x e + + x nen ; y e + y e + + y nen = n = x i g ( n e i ; y e + y e + + y nen = b ij x i y j, i= i;j= y y n,

3 dove b ij = g (e i ; e j Dunque, B è proprio la matrice associata alla forma bilineare In particolare, si vede da ciò che una forma bilineare è un polinomio omogeneo di grado in {x i ; y j } generato dai prodotti {x i y j } Si noti, inoltre, che la matrice B costruita in precedenza DIPENDE DALLA SCELTA DELLA BASE Il prodotto scalare standard, rispetto alla base standard, è rappresentato dalla matrice unità I Ogni prodotto scalare, espresso rispetto ad una base ortonormale, è rappresentato dalla matrice unità I In R, sia f ((x ; x ; (y ; y = x y 3x y + x y I vettori (x ; x e (y ; y sono espressi rispetto alla base standard di R Cerco la matrice A di f rispetto alla base A = {(; 0 ; (0; } Si ha a = f ( e ; e = ; a = f ( e ; e = 3; a = f ( e ; e = 0; a = f ( e ; e ( = 3 Dunque, A = 0 Cerco la matrice B di f rispetto alla base B = {(; 0 ; (; } Si ha: b = f ((; 0 ; (; 0 = ; b = f ((; 0 ; (; = ; b = f ((; ; (; 0 = ; b = f ((; ; (; = 0 Dunque, B = ( 0 Cerco la matrice C di f rispetto alla base C = {(; ; (; } Si ha: c = f ((; ; (; = 3; c = f ((; ; (; = 9; c = f ((; ; (; = 0; c = f ((; ; (; = 6 Dunque, C = (

4 TEOREMA Una matrice rappresenta una forma bilineare simmetrica (che, quindi, soddisfa le prime tre proprietà dei prodotti scalari se e solo se è simmetrica Dim Si supponga che la matrice C sia simmetrica Allora, la forma rappresentata da C è g C (X; Y = t XCY Questa è una matrice, dunque è simmetrica g C (X; Y = t (t XCY = t Y (t C X C è simmetrica, dunque t C = C, e così t XCY = t Y CX Viceversa, se C rappresenta una forma simmetrica, allora C è simmetrica rispetto a una qualsiasi base: segue immediatamente dalla definizione che c ij = c ji Ad esempio, se C rappresenta un prodotto scalare rispetto ad una base ortogonale, allora C è diagonale In tal caso, la forma bilineare si dice diagonalizzata Una matrice C rappresenta un prodotto scalare se è simmetrica e la sua forma diagonale è rappresentata da tutti e soli elementi positivi Ora studiamo come si comporta la matrice associata ad una forma bilineare in corrispondenza di un cambiamento di base Sia e = en una nuova base, e siano C la matrice che rappresenta la forma bilineare g rispetto alla base e, C la matrice che rappresenta g rispetto alla base e N è la matrice del cambiamento di base Sia v = e X = ex, e sia w = e Y = ey (viene utilizzata la notazione di Einstein Si ha: t XCY = t X C Y Ma e X = enx, e quindi X = NX ; e Y = eny, e quindi Y = NY Sostituendo nell uguaglianza precedente, si trova t X t NCNY = t X C Y Poichè questo è vero per ogni scelta di X e Y, deve essere t NCN = C Due matrici C e C tali che C = t P CP per qualche matrice P si dicono congruenti 4

5 Nell esempio precedente, scriviamo la matrice del cambiamento di base da A = {(; 0 ; (0; } a B = {(; 0 ; (; } La forma bilineare ( f ((x ; x ; (y ; y = 3 x y 3x y +x y, rappresentata nella base A da A =, diventa 0 B = ( 0 ( 3 0 ( 0 = ( 0 Nell esempio precedente, scriviamo la matrice del cambiamento di base da A = {(; 0 ; (0; } a C = {(; ; (; } La forma bilineare ( f ((x ; x ; (y ; y = 3 x y 3x y +x y, rappresentata nella base A da A =, diventa 0 C = ( ( 3 0 ( = ( ESERCIZIO: Verificare che nel passaggio dalla base B alla base C la matrice si trasforma in modo corretto: esprimendo i vettori di C nelle loro componenti rispetto alla base B (ad esempio: (; = (; 0 + (;, si passa da B a C TEOREMA Sia A una matrice n n reale simmetrica invertibile N tale che t NAN sia diagonale Esiste allora una matrice ( 3 Sia A = Allora, si può costruire la base ortogonale procedendo 3 4 con il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (rispetto alla forma bilineare simmetrica g A Si ha, rispetto alla base standard, g A ((x ; x ; (y ; y = x y + 3x y + 3x y + 4x y Partiamo dalla base standard {(; 0 ; (0; }, e cerchiamo una base { w ; w } ortogonale rispetto alla forma bilineare simmetrica g A w = (; 0; w = (0; g A ((; 0 ; (0; g A ((; 0 ; (; 0 (; 0 = (0; 3 (; 0 = ( 3 ; 5

6 ( 3 Allora, N = 0 t NAN = ( 0 3 ( ( 3 0 ( 0 = 0 Un altro modo per diagonalizzare una matrice simmetrica C è cercare una base ortogonale (rispetto al prodotto scalare standard di autovettori di C Infatti, il prodotto scalare standard si scrive, rispetto alla base standard, come X n ; Y = t XY = x i y i Se { u ; u ; ; u n } è la base di autovettori ortogonale (essa esiste sempre per le matrici simmetriche reali, si ha i= g C ( u i ; u j = t ( u i C u j = λ j t ( u i u j = 0, dove λ j è l autovalore associato all autovettore u j Il risultato è 0 proprio perchè u i e u j sono ortogonali rispetto al prodotto scalare standard Nell esempio precedente, A ha autovalori e 3 0 Gli autovettori{( corrispondenti} sono: 3 + {( } 0 e 3 0 I due autovettori ( sono proprio ortogonali Se N = , ( t NAN = + ( ( ( 80 = = NOTA: se fossero stati normalizzati gli autovettori, gli elementi sulla diagonale sarebbero stati esattamente gli AUTOVALORI di A, perchè in tal caso la matrice N sarebbe stata ortogonale, e dunque si sarebbe avuto t N = N ESERCIZIO Trovare una matrica invertibile N tale che t NAN sia diagonale, dove A = Suggerimento: utilizzare il metodo di Gram-Schmidt perchè il calcolo degli autovalori, in questo caso, è veramente complicato! 6

7 ESERCIZI ( 3 Sia A = Trovare una matrice N tale che ( 3 t N AN sia diagonale Procedere sia con il metodo di Gram-Schmidt, sia con la ricerca di una base ortonormale di autovettori, e confrontare i risultati ottenuti La forma bilineare simmetrica associata ad A (rispetto alla base standard è definita positiva? 8 4 Sia C = 8 Trovare una matrice N tale che ( t N CN 4 4 sia diagonale Procedere sia con il metodo di Gram-Schmidt, sia con la ricerca di una base ortonormale di autovettori, e confrontare i risultati ottenuti Trovare matrice ortogonale P tale che P CP sia diagonale Trovare una matrice P tale che (t P ( C 3 P sia diagonale (e scrivere esplicitamente t P C 3 P La forma bilineare simmetrica associata a C (rispetto alla base standard è definita ( positiva? Sia A = Trovare una matrice N tale che ( 4 t N AN sia diagonale Procedere sia con il metodo di Gram-Schmidt, sia con la ricerca di una base ortonormale di autovettori, e confrontare i risultati ottenuti La forma bilineare simmetrica associata ad A (rispetto alla base standard è definita positiva? ( Sia A = Trovare una matrice N tale che ( 3 t N AN sia diagonale Procedere sia con il metodo di Gram-Schmidt, sia con la ricerca di una base ortonormale di autovettori, e confrontare i risultati ottenuti La forma bilineare simmetrica associata ad A (rispetto alla base standard è definita positiva? 5 Considerare la forma bilineare data, rispetto alla base standard, da g ((x ; x ; (y ; y = x y + x y + x y x y La forma bilineare è simmetrica? Scrivere la matrice associata rispetto alle basi A = {(; 0 ; (0; }; B = {(; 0 ; (; 3} e C = {(; 5 ; ( 3; } Trovare una base rispetto alla quale la matrice associata a g sia diagonale E possibile trovare la base richiesta in modo tale che la matrice del cambiamento di base sia ORTOG- ONALE? Dire poi se g è definita positiva Se N = ( SOLUZIONI, ( t N AN = ( associata (rispetto alla base standard è definita positiva 7 La forma bilineare

8 Se N = , ( t N AN = ( La forma bilineare associata (rispetto alla base standard non è definita positiva P = P = N, perchè ( N è già una matrice ortogonale (N = N 5 3 Se N = 5, ( t N AN = La forma bilineare associata (rispetto ( alla base standard non è definita positiva Se N = 3 0 0, ( t N AN = ( La forma bilineare associata (rispetto alla base standard non è definita positiva 5 Rispetto ( alla base A : A = ; Rispetto ( alla base B : 8 B = ; 8 0 Rispetto ( alla base C : 6 4 C = 4 5 La matrice associata è simmetrica, dunque è possibile trovare una matrice ortogonale ( che la diagonalizza Essa è 5 ( P = 5 0 5, e ( t P AP = P AP = Il caso complesso Sia C n uno spazio vettoriale complesso Un prodotto hermitiano è un applicazione g : C n C n C che ad ogni coppia di vettori u ; v C n associa un numero complesso g ( u ; v, e che soddisfa i seguenti assiomi: (Proprietà lineare g (a u + a u ; v = a g ( u ; v +a g ( u ; v, u ; u ; v C n ; a ; a C (Proprietà sesquilineare g ( u ; b v + b v = b g ( u ; v + b g ( u ; v, u ; v ; v C n ; b ; b C 3 (Proprietà simmetrica coniugata g ( u ; v = g ( v ; u, u ; v C n 4 (Proprietà definita positiva g ( u ; u è reale, g ( u ; u 0, e g ( u ; u = 0 se e solo se u = 0 8

9 g : C C C, g ((x ; x ; (y ; y = x y + x y non è un prodotto Hermitiano perchè non rispetta la proprietà sesquilineare Sia ora C = (c ij una matrice n n complessa A C si può associare un applicazione bilineare come segue: se X = t (x ; x ; ; x n e Y = t (y ; y ; ; y n sono due vettori qualsiasi in C n (visti come vettori colonna, poniamo g C (X; Y = t X C Y La sesquilinearità (ovvero le prime due proprietà descritte in precedenza segue automaticamente dalle proprietà della moltiplicazione di matrici in C n Esplicitando le notazioni matriciali: c c n t X C Y = (x ; x ; ; x n c n c nn possiamo anche scrivere: t X C Y = n c ij x i y j i;j= g C è l applicazione sesquilineare associata a C Sia ora { e ; e ; ; e n } una base di C n (per esempio, la base standard Se g : C n C n C è un applicazione bilineare su R n, si ha che g = g B, per qualche matrice n n reale B Sia, infatti, b ij = g (e i ; e j Allora, noti tutti i prodotti g (e i ; e j, per ogni i; j, g è definita su tutto C n C n e si ha g = g B Infatti, se X = x e + x e + + x nen e Y = y e + y e + + y nen, si ha che ( X g ; Y = g (x e + x e + + x nen ; y e + y e + + y nen = n = x i g ( n e i ; y e + y e + + y nen = b ij x i y j, i= 9 i;j= y y n,

10 dove b ij = g (e i ; e j Dunque, B è proprio la matrice associata alla forma sesquilineare In particolare, si vede da ciò che una forma sesquilineare è un polinomio omogeneo di grado in {x i ; y j } generato dai prodotti {x i y j } Si noti, inoltre, che la matrice B costruita in precedenza DIPENDE DALLA SCELTA DELLA BASE Il prodotto hermitiano standard, rispetto alla base standard, è rappresentato dalla matrice unità I Ogni prodotto hermitiano, espresso rispetto ad una base ortonormale, è rappresentato dalla matrice unità I In C, sia h ((x ; x ; (y ; y = ( + 6i x y +(5 + 3i x y +(9 i x y + (4 i x y I vettori (x ; x e (y ; y sono espressi rispetto alla base standard di C Cerco la matrice A di h rispetto alla base A = {(; 0 ; (0; } Si ha a = h ( e ; e = + 6i; a = h ( e ; e = 5 + 3i; a = h ( e ; e = 9 i; a = h ( e ; e ( = 4 i + 6i 5 + 3i Dunque, A = 9 i 4 i Cerco la matrice B di h rispetto alla base B = {( 3i; 5 + 8i ; ( 4; 3 7i} Si ha: b = h (( 3i; 5 + 8i ; ( 3i; 5 + 8i = 30 4i; b = h (( 3i; 5 + 8i ; ( 4; 3 7i = 6 + 3i; b = h (( 4; 3 7i ; (; 0 = 84 98i; b = h (( 4; 3( 7i ; ( 4; 3 7i = i 30 4i 6 + 3i Dunque, B = 84 98i i In C, sia h ((x ; x ; (y ; y = x y + ( + i x y + ( i x y + 3x y I vettori (x ; x e (y ; y sono espressi rispetto alla base standard di C Cerco la matrice A di h rispetto alla base A = {(; 0 ; (0; } Si ha a = h ( e ; e = ; 0

11 a = h ( e ; e = + i; a = h ( e ; e = i; a = h ( e ; e ( = 3 + i Dunque, A = i 3 Cerco la matrice B di h rispetto alla base B = {(; i ; ( + i; 0} Si ha: b = h ((; i ; (; i = 6; b = h ((; i ; ( + i; 0 = 3 i; b = h (( + i; 0 ; (; i = 3 + i; b = h (( + i; 0 ; ( + i; 0 = Dunque, B = ( 6 3 i 3 + i TEOREMA Una matrice rappresenta una forma sesquilineare hermitiana (che, quindi, soddisfa le prime tre proprietà dei prodotti hermitiani se e solo se è hermitiana Dim Si supponga che la matrice C sia simmetrica Allora, la forma rappresentata da C è g C (X; Y = t XCY Questa è una matrice, dunque è simmetrica g C (X; Y = t (t XCY = t Y (t C X = t Y ( t C X C è hermitiana, dunque t C = C, e così t XCY = t Y CX Viceversa, se C rappresenta una forma hermitiana, allora C è hermitiana rispetto a una qualsiasi base: segue immediatamente dalla definizione che c ij = c ji Ad esempio, se C rappresenta un prodotto hermitiano rispetto ad una base ortogonale, allora C è diagonale In tal caso, la forma sesquilineare si dice diagonalizzata Una matrice C rappresenta un prodotto hermitiano se è hermitiana e la sua forma diagonale è rappresentata da tutti e soli elementi reali positivi Ora studiamo come si comporta la matrice associata ad una forma sesquilineare in corrispondenza di un cambiamento di base Sia e = en una nuova base, e siano C la matrice che rappresenta la forma bilineare g rispetto alla base e, C la matrice che rappresenta g rispetto alla base e N è la matrice del cambiamento di base Sia v = e X = ex, e sia w = e Y = ey (viene utilizzata la notazione di Einstein Si ha: t XCY = t X C Y Ma e X = enx, e quindi X = NX ; e Y = eny, e quindi Y = NY Sostituendo nell uguaglianza precedente, si trova

12 t X t NCNY = t X C Y Poichè questo è vero per ogni scelta di X e Y, deve essere t NCN = C Due matrici C e C tali che C = t P CP per qualche matrice P si dicono congruenti Se Q = P, si vede che C = t QCQ, ovvero che C = Q CQ Nell esempio precedente, scriviamo la matrice del cambiamento di base da A = {(; 0 ; (0; } a B = {(; i ; ( + i; 0} La forma bilineare è h ((x ; x ; (y ; y = x y + ( + i x y + ( + i x y + 3x y, rappresentata nella base A da A = B = ( + i i 3 ( i + i 0, diventa ( ( + i i = i 3 i 0 TEOREMA ( 6 3 i 3 + i Sia A una matrice n n reale hermitiana invertibile N tale che t NAN sia diagonale Esiste allora una matrice ( i Sia A = Allora, si può costruire la base ortogonale procedendo con il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (rispetto alla i forma sesquilineare simmetrica g A Si ha, rispetto alla base standard, g A ((x ; x ; (y ; y = x y i x y + i x y + x y

13 Partiamo dalla base standard {(; 0 ; (0; }, e cerchiamo una base { w ; w } ortogonale rispetto alla forma sesquilineare hermitiana g A w = (; 0; w = (0; g A ((0; ; (; 0 (; 0 = (0; i (; 0 = ( i; g A ((; 0 ; (; 0 Si noti che, al numeratore della frazione, il vettore su cui viene fatta la proiezione è sulla( SECONDA componente i Allora, N = ( 0 ( ( ( 0 i i 0 t NAN = = i i Un altro modo per diagonalizzare una matrice hermitiana C (per congruenza è cercare una base ortogonale (rispetto al prodotto hermitiano standard di autovettori di C Infatti, il prodotto hermitiano standard si scrive, rispetto alla base standard, come X ; Y = t XY = n x i y i Se { u ; u ; ; u n } è la base di autovettori ortogonale (essa esiste sempre per le matrici hermitiane, si ha i= g C ( u i ; u j = t ( u i C( u j = λ j t ( u i ( u j = 0, dove λ j è l autovalore associato all autovettore u j Il risultato è 0 proprio perchè u i e u j sono ortogonali rispetto al prodotto hermitiano standard Nell esempio precedente, A ha autovalori 0 e Gli autovettori corrispondenti {( sono: } {( } i i 0 e I due autovettori sono proprio ortogonali rispetto ( al prodotto hermitiano standard i i Se N =, ( ( ( ( i i i i 4 0 t NAN = = i i 0 0 NOTA: se fossero stati normalizzati gli autovettori, gli elementi sulla diagonale sarebbero stati esattamente gli AUTOVALORI di A, perchè in tal caso 3

14 la matrice N sarebbe stata ortogonale, e dunque si sarebbe avuto t N = N Infatti, se si pone N = ( i t NAN = i, ( i i ( i i ( i i = ( ESERCIZI Dire se la forma sesquilineare rappresentata, rispetto alla base standard, dalla matrice + 3i 4 5i A = 3i i, 4 + 5i 6 i 7 è Hermitiana In caso affermativo, dire anche se è definita positiva Dire se la forma sesquilineare rappresentata, rispetto alla base standard, dalla matrice 3 i 4 + i A = i 6 i, 4 + i i 3 è Hermitiana In caso affermativo, dire anche se è definita positiva 3 Dire se la forma sesquilineare rappresentata, rispetto alla base standard, dalla matrice A = 3, 5 6 è Hermitiana In caso affermativo, dire anche se è definita positiva e diagonalizzarla, usando il metodo di Gram-Schmidt, rispetto alle forme sesquilineari 4 Dire se la forma sesquilineare rappresentata, rispetto alla base standard, dalla matrice + i i A = i 4 3i i + 3i 7 è Hermitiana In caso affermativo, dire anche se è definita positiva e diagonalizzarla, usando il metodo di Gram-Schmidt, rispetto alle forme sesquilineari 4

15 5 Dire se la forma sesquilineare rappresentata, rispetto alla base standard, dalla matrice i + i A = i + i i + i 0 è Hermitiana In caso affermativo, dire anche se è definita positiva e diagonalizzarla, usando il metodo di Gram-Schmidt, rispetto alle forme sesquilineari 6 Dire se la forma sesquilineare rappresentata, rispetto alla base standard, dalla ( matrice 3 i A =, + i 4 è Hermitiana In caso affermativo, dire anche se è definita positiva e diagonalizzarla, usando il metodo di Gram-Schmidt, rispetto alle forme sesquilineari 7 Dire se la forma sesquilineare rappresentata, rispetto alla base standard, dalla ( matrice + 3i A =, 3i è Hermitiana In caso affermativo, dire anche se è definita positiva e diagonalizzarla, usando il metodo di Gram-Schmidt, rispetto alle forme sesquilineari SOLUZIONI La forma sesquilineare è Hermitiana ma non definita positiva: il determinante è negativo, dunque almeno uno degli autovalori non è positivo La forma sesquilineare non è definita positiva 3 La forma sesquilineare è Hermitiana Una base che la diagonalizza, per esempio, è La matrice diagonale corrispondente è ; ; Si vede così che essa non è definita positiva 4 La forma sesquilineare è Hermitiana Una base che la diagonalizza, per esempio, è 0 ; ; 5i (ho scelto (0; 0; + i 5 + 9i 0 0 5

16 come terzo vettore di base La matrice diagonale corrispondente è Si vede così che essa non è definita positiva 5 La forma sesquilineare non è Hermitiana 6 La forma sesquilineare è Hermitiana Una base che la diagonalizza è } La matrice diagonale corrispondente è {( ( ; i Dunque, essa non è definita positiva 7 La forma sesquilineare non è Hermitiana Forme Quadratiche ( Un applicazione q : R n R si dice forma quadratica se q ( v = g ( v ; v, per qualche forma bilineare simmetrica g su R n q si dice forma quadratica associata a g Se g è rappresentata da una matrice simmetrica A = (a ij, rispetto alla base standard, allora si ha q (X = g (X; X = t X A X = a a a n = ( a a a n x x x n a n a n a nn = a x + a x + + a nn x n + i<j a ij x i x j x x x n = Quest ultima espressione formale si dice polinomio quadratico corrispondente alla matrice simmetrica A Se A è diagonale, allora q ha la rappresentazione diagonale: q (X = a x + a x + + a nn x n ESERCIZI Dimostrare che l insieme delle forme quadratiche è uno spazio vettoriale reale di dimensione n (n + Trovare la matrice simmetrica associata al seguente polinomio di secondo grado: q (x; y; z = x 8xy + y 6xz + 4yz + 5z 6

17 3 Trovare la matrice simmetrica associata al seguente polinomio di secondo grado: q (x; y; z = x xz + y 4 Trovare la matrice simmetrica associata al seguente polinomio di secondo grado: q (x; y; z = xy + y + 4xz + z 5 Trovare la matrice simmetrica associata al seguente polinomio di secondo grado: q (x; y; z = xy + yz SOLUZIONI Esso coincide con lo spazio delle matrici simmetriche n n, rispetto alle usuali addizione di matrici e moltiplicazione di matrici per scalari: infatti, ad ogni matrice simmetrica corrisponde una e una sola forma quadratica Una base per questo spazio è data dalle seguenti matrici: ; ; ; ; A turno, le matrici simmetriche di base hanno l elemento di posto (i; j, con i j (e, corrispondentemente, anche l elemento di posto (j; i uguali a, mentre tutto il rimanente è uguale a 0 Si vede quindi che la base ha cardinalità n (n ; 7