GEOMETRIA 1 quarta parte

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1 GEOMETRIA 1 quarta parte Cristina Turrini C. di L. in Fisica /2015 Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 1 / 36

2 index Forme bilineari 1 Forme bilineari 2 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei 3 Matrici: rango per righe = rango per colonne 4 Il caso complesso: spazi vettoriali hermitiani 5 Dualità Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 2 / 36

3 Forme bilineari Forme bilineari e forme bilineari simmetriche Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Una forma bilineare è un applicazione b : V V K che sia lineare in ciascuno dei due argomenti, ovvero tale che, λ, µ K, u, v, w V, si abbia: b(λu + µv, w) = λb(u, w) + µb(v, w); b(u, λv + µw) = λb(u, v) + µb(u, w). OSSERVAZIONE - b(0, w) = b(w, 0) = 0, w V. Infatti b(0, w) = b(0v, w) = 0b(v, w). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 3 / 36

4 Forme bilineari Data una matrice quadrata A Mat n (K) l applicazione b A : K n K n K definita da b A (x, y) = t xay, è (una forma) bilineare. L applicazione b A si dice forma bilineare associata alla matrice A. ( ) 1 5 Ad esempio, per n = 2, A = 2 3, si ha ( ) ( ) y1 y1 (x 1, x 2 ) A y = (x 1 2x 2, 5x 1 + 3x 2 ) 2 y = 2 (x 1 2x 2 )y 1 + (5x 1 + 3x 2 )y 2 = x 1 y 1 + 5x 1 y 2 2x 2 y 1 + 3x 2 y 2 Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 4 / 36

5 Forme bilineari In generale, per x = x 1. x n, y = (x 1,..., x n ) A y 1. y n y 1. y n, A = = i,j=1,...,n x iy j α ij α 11 α α 1n α 21 α α 2n α n1 α n2... α nn, si ha Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 5 / 36

6 Forme bilineari Viceversa, se V è f.g. e dim(v) = n, data una forma bilineare b : V V K, e fissata una base B = {a 1,..., a n } di V, si può costruire la matrice A b = (α ij ) = (b(a i, a j )), 1 i, j n. La matrice A b si dice rappresentativa della forma bilineare b rispetto alla base B. Se le coordinate dei vettori v e w nella base B sono date rispettivamente da x = Infatti x 1. x n e y = y 1. y n allora si ha b(v, w) = t xa b y. b(v, w) = b(x 1 a 1 + +x n a n, y 1 a 1 + +y n a n ) = i,j=1,...,n x i y j b(a i, a j ) = t xa b y. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 6 / 36

7 Forme bilineari Cenno alle forme multilineari Generalizzando la nozione di forma bilineare, si ottiene quella di forma multilineare. Una forma multilineare è un applicazione dal prodotto cartesiano di m copie di V a valori in K t : V V V K che sia lineare in ciascuno dei suoi argomenti, ovvero tale che, λ, µ K, u, v, w V, j = 1,..., n si abbia: t(w 1,..., λu j + µv j,..., w n ) = λt(w 1,..., u j,..., w n ) + µt(w 1,..., v j,..., w n ). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 7 / 36

8 Forme bilineari Se V è f.g., anche per le forme multilineari esiste un analogo delle matrici rappresentative. Ad esempio, nel caso m = 3, una forma multilineare viene rappresentata rispetto a una base B = {b 1,..., b n } dalla collezione degli elementi τ ijk = t(b i, b j, b k ) K, i, j, k = 1,..., n disposti "a forma di cubo" n n n (i indice di riga, j indice di colonna, k indice di profondità). Nel corso ci occuperemo solo del caso m = 2 (forme bilineari). In alcuni casi le forme bilineari e multilineari vengono chiamate tensori. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 8 / 36

9 Forme bilineari Forme bilineari simmetriche Una forma bilineare b si dice simmetrica se b(v, w) = b(w, v), v, w V. N.B. - Nel testo di Lang un applicazione bilineare simmetrica viene detta prodotto scalare. Qui si preferisce non adottare questa definizione perché l espressione prodotto scalare in molti testi ha un significato diverso (v. dopo). Nel caso della forma b A associata alla matrice A definita sopra, si ha che: b A è simmetrica se e solo se la matrice A è simmetrica (A = t A) (verificarlo). Una forma bilineare simmetrica si dice non degenere se verifica: se v V è un vettore tale che b(v, w) = 0, w V, allora v = 0. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 9 / 36

10 Forme bilineari Un esempio di forma bilineare simmetrica in V = K n è data da b I ( x 1. x n, y 1. y n con I n matrice identica di ordine n. La forma b I è non degenere, infatti, x = si ha x 1. x n K n, j = 1,..., n ) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = t xi n y, b I (x, e j ) = x j, quindi, se b I (x, e 1 ) = = b I (x, e n ) = 0 allora x = 0. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 10 / 36

11 Forme bilineari La nozione di ortogonalità Sia V uno spazio vettoriale dotato di una forma bilineare simmetrica b. Dati v, w V, si dice che v, w sono ortogonali (o perpendicolari) e si scrive v w se b(v, w) = 0. Se U è un sottospazio di V, si denota con U l insieme degli elementi di V ortogonali a tutti gli elementi di U, ovvero U = {w V b(u, w) = 0, u U}. OSSERVAZIONE - U è un sottospazio (verificarlo) che viene detto ortogonale a U. Inoltre, se U =< s 1,..., s k > allora U = {w V w s i, i = 1,..., k }. In particolare, nel caso U = V, lo spazio V viene detto annullatore di b. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 11 / 36

12 Forme bilineari OSSERVAZIONE - b è non degenere se e solo se V = {0}. ) h0 ESEMPIO 1) - Siano V = R 3, U = {(, h, k R} e b : R 3 R 3 R k definita da ( ) ( ) a1 b1 b( a 2, b 2 ) = a 1 b 1 a 2 b 2, a 3 b 3 si ha ) ) 0r 00 U = {(, r, s R}, V = {(, t R}. s t ( ) ESEMPIO 2) - Siano V = R 2 hh, U = {, h R} e b : R 2 R 2 R definita da si ha b(( a1 a 2 ), ( b1 b 2 ) ) = a 1 b 1 a 2 b 2, U = U, V = {0} (la restrizione di b a U è la forma nulla). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 12 / 36

13 index Il caso reale: spazi vettoriali euclidei 1 Forme bilineari 2 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei 3 Matrici: rango per righe = rango per colonne 4 Il caso complesso: spazi vettoriali hermitiani 5 Dualità Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 13 / 36

14 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei Prodotti scalari definiti positivi In tutto questo capitolo supporremo sempre che sia K = R. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n. Una forma bilineare simmetrica b : V V R si dice definita positiva se v V si ha b(v, v) 0, b(v, v) = 0 se e solo se v = 0. Una forma bilineare, simmetrica e definita positiva viene detta prodotto scalare definito positivo o prodotto interno definito positivo (talora semplicemente prodotto scalare o prodotto interno, ma come si è già detto, nel testo di Lang prodotto scalare vuol semplicemnete dire forma bilineare simmetrica). Abitualmente i prodotti scalari definiti positivi vengono denotati così: b(v, w) =< v, w > (da non confondersi con il sottospazio generato). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 14 / 36

15 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei Ad esempio in V = R n il prodotto scalare < x, y >= b I (x, y) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = t xi n y, ove I n denota la matrice identica, è un prodotto scalare definito positivo detto prodotto scalare canonico. Si dice spazio vettoriale euclideo (V, <, >) uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo <, >. OSSERVAZIONE - Un prodotto scalare definito positivo è non degenere. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 15 / 36

16 Norma Il caso reale: spazi vettoriali euclidei In uno spazio euclideo (V, <, >) si può introdurre una nozione di norma e di distanza v = < v, v > dist(v, w) = v w. Nel caso V = R 3, o V = R 2, con il prodotto scalare canonico, si ottiene l usuale nozione di distanza euclidea. OSSERVAZIONE - Sia V = Vect O (R 3 ) (oppure V = Vect O (R 2 ) ). Possiamo introdurre in V un prodotto scalare che corrisponda al prodotto scalare canonico, attraverso l isomorfismo V R 3 (rispett. R 2 ) che associa ogni vettore v V le sue componenti rispetto alla base i, j, k (rispett, i, j). Chiameremo canonico anche questo prodotto scalare. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 16 / 36

17 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei PROPRIETÀ (si omettono le verifiche) 1) < v, w > 2 < v, v >< w, w > (disuguaglianza di Schwarz) e vale l = se e solo se v e w sono l.d.; 2) < v, w > v w ; 3) v 0 e vale = se e solo se v = 0; 4) λ R, λv = λ v ; 5) v + w v + w (disuguaglianza triangolare). Le proprietà 3), 4) e 5) sono le richieste caratteristiche per una norma. In uno spazio euclideo, un vettore v di norma v = 1 viene detto versore. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 17 / 36

18 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei La nozione di angolo OSSERVAZIONE - Abbiamo visto che < v, w > v w ; Se v 0, w 0, ciò implica che 1 < v, w > v w 1 Dati v 0, w 0, si dice angolo tra v e w (misurato in radianti) il numero reale θ, con 0 θ π tale che cos(θ) = < v, w > v w. Nel caso di Vect O (R 3 ) o Vect O (R 2 ) con il prodotto scalare canonico, questa definizione è coerente con l usuale nozione di angolo, infatti: Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 18 / 36

19 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei cos(θ) = cos(α β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β) = a c v w + b d v w = < v, w > v w. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 19 / 36

20 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei Proiezioni ortogonali Dati v 0, w 0, si dice proiezione ortogonale di v su w il vettore z così definito: z = < v, w > w w w =< v, w > w < w, w > Nel caso dei vettori di Vect O (R 2 ) questo è coerente con l usuale significato di proiezione ortogonale, in quanto z = v cos(θ) = v <v,w> v w = <v,w> w Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 20 / 36

21 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei TEOREMA - Siano (V, <, >) uno spazio vettoriale euclideo e S = {v 1,..., v k } un insieme di vettori non nulli e a due a due ortogonali. Allora S è linearmente indipendente. Dimostrazione Supponiamo che esista una relazione del tipo α 1 v 1 + α 2 v α k v k = 0. Applicando a entrambe i membri il prodotto scalare con v j, j = 1,... k, otteniamo < α 1 v 1 + α 2 v α k v k, v j >=< 0, v j >, e quindi (ricordando che si tratta di vettori ortogonali) α j < v j, v j >= 0, ossia (dal momento che il vettore v j non è nullo) α j = 0, j = 1,..., k. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 21 / 36

22 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei LEMMA - Siano (V, <, >) uno spazio vettoriale euclideo, a 1,..., a k V versori a due a due ortogonali, e w V\ < a 1,..., a k >. Allora il vettore a = w < a 1, w > a 1 < a k, w > a k è non nullo ed ortogonale a tutti gli a j, j = 1,..., k. Dimostrazione Anzitutto osserviamo che a non è nullo, altrimenti si avrebbe w =< a 1, w > a < a k, w > a k e quindi w < a 1,..., a k >. Inoltre < a, a j >=< w < a 1, w > a 1 < a k, w > a k, a j >= < w < a j, w > a j, a j >=< w, a j > < w, a j >< a j, a j >= 0, dal momento che a j è un versore. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 22 / 36

23 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei Basi ortonormali Sia (V, <, >) uno spazio vetttoriale euclideo di dimensione n. Una base B = {b 1, b 2,..., b n } si dice ortogonale se è costituita da vettori mutuamente ortogonali (cioè b i b j, i, j). Una base B = {b 1, b 2,..., b n } si dice ortonormale se è ortogonale e costituita da versori (cioè b i = 1, i.) TEOREMA (metodo di ortogonalizzazione di Gram Schmidt) - Sia (V, <, >) uno spazio euclideo di dimensione n > 0. Allora V ammette una base ortonormale. Dimostrazione Sia u un vettore non nullo di V. Si pone a 1 = u u. Se < a 1 >= V il processo è finito (e n = 1). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 23 / 36

24 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei Altrimenti esiste un w V\ < a 1 >, e si può applicare il lemma precedente a questo w, ottenendo un vettore a ortogonale a a 1. Si pone a 2 = a a. Se < a 1, a 2 >= V il processo è finito (e n = 2). Altrimenti esiste un w V\ < a 1, a 2 >, e così via. Il processo comunque ha termine dopo n = dim(v) passi. I vettori a 1,..., a n così costruiti costituiscono una base perchè sono ortogonali (e quindi indipendenti) e in numero di n = dim(v). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 24 / 36

25 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei TEOREMA - Sia (V, <, >) uno spazio vettoriale euclideo f.g. e sia W V un suo sottospazio. Allora si ha V = W W. Dimostrazione Se W = {0}, il risultato è ovvio ({0} = V). Altrimenti, si deve dimostrare che 1) W W = {0} 2) W + W = V. 1) Segue dal fatto che, se w 0, allora < w, w > 0. 2) Presa una base ortonormale w 1,..., w r di W, ogni vettore v V può essere scritto nella forma v = r + s, con r = < v, w j > w j W e s = v < v, w j > w j W. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 25 / 36

26 index Matrici: rango per righe = rango per colonne 1 Forme bilineari 2 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei 3 Matrici: rango per righe = rango per colonne 4 Il caso complesso: spazi vettoriali hermitiani 5 Dualità Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 26 / 36

27 Matrici: rango per righe = rango per colonne Data una matrice A Mat m,n, si dice rango per righe di A la dimensione del sottospazio R(A) =< t A (1),..., t A (n) > K n generato dalle righe di A (più precisamente si tratta del sottospazio di K n generato dai vettori colonna che si ottengono trasponendo le righe di A). Analogamente si dice rango per colonne di A la dimensione del sottospazio C(A) =< A (1),..., A (m) > K n generato dalle colonne di A. TEOREMA - Il rango per colonne dim(c(a)) e il rango per righe dim(r(a)) di una matrice A sono uguali tra loro. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 27 / 36

28 Matrici: rango per righe = rango per colonne Dimostrazione Dimostriamo il teorema solo nel caso K = R. Anzitutto ricordiamo che, detta L A : R n R m l applicazione lineare associata alla matrice A, per il teorema della nullità + rango, si ha dim(c(a)) = dim(im(l A )) = n dim(ker(l A )). Consideriamo in R n il prodotto scalare canonico <, >= b I, e lo spazio R(A) =< t A (1),..., t A (n) > R n. Il sistema omogeneo può anche essere scritto così: ( ) A x = 0 < t A (1), x >= 0; < t A (2), x >= 0;..., < t A (m), x >= 0. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 28 / 36

29 Matrici: rango per righe = rango per colonne Quindi, detto S R n lo spazio delle soluzioni del sistema ( ), si ha: S = R(A). Per quanto visto relativamente ai complementi ortogonali negli spazi euclidei, sappiamo che Allora R n = R(A) R(A). dim(r(a)) = n dim(r(a) ) = n dim(s) = n dim(ker(l A )) = dim(c(a)). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 29 / 36

30 index Il caso complesso: spazi vettoriali hermitiani 1 Forme bilineari 2 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei 3 Matrici: rango per righe = rango per colonne 4 Il caso complesso: spazi vettoriali hermitiani 5 Dualità Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 30 / 36

31 Il caso complesso: spazi vettoriali hermitiani Sia V uno spazio vettoriale sul campo complesso C. Una forma hermitiana (o prodotto hermitiano) è un applicazione h : V V C tale che, λ C, u, v, w V, si abbia: 1) h(u, v) = h(v, u), 2) h(u + v, w) = h(u, w) + h(v, w), 3) h(λu, v) = λh(u, v), h(u, λv) = λh(u, v). 4) h(u, u) 0, e vale = se e solo se u = 0. Si noti che la condizione 4) ha senso perchè, per la 1), si ha: h(u, u) = h(u, u) R. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 31 / 36

32 Il caso complesso: spazi vettoriali hermitiani Uno spazio vettoriale complesso V dotato di una forma bilineare hermitiana viene detto spazio vettoriale hermitiano, o unitario o euclideo complesso. Anche per gli spazi euclidei complessi si usa la notazione <, > per il prodotto hermitiano h(, ). Anche negli spazi euclidei complessi si può introdurre una nozione di norma: u = < u, u >. Le definizioni di vettori ortogonali, proiezioni ortogonali, versori, base ortonormale e il procedimento di ortonormalizzazione si estendono nel modo ovvio al caso complesso. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 32 / 36

33 index Dualità 1 Forme bilineari 2 Il caso reale: spazi vettoriali euclidei 3 Matrici: rango per righe = rango per colonne 4 Il caso complesso: spazi vettoriali hermitiani 5 Dualità Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 33 / 36

34 Dualità Siano V e W spazi vettoriali f.g. su un campo K. Nella parte terza di questi appunti si è introdotto lo spazio L(V, W) delle applicazioni lineari da V a W. Nel caso particolare W = K, lo spazio L(V, W) viene detto spazio duale e denotato con V. V = L(V, K) = {f : V K f lineare}. Gli elementi di V vengono detti funzionali. Fissata una base B = {b 1,..., b n } di V e la base C = {1} di K si ha l isomorfismo Si ha pertanto: M B C : V Mat 1,n = K n. dim(v ) = dim(v) = n. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 34 / 36

35 Dualità L isomorfismo M B C : V Mat 1,n = K n, associa ad un applicazione f : V K la sua matrice rappresentativa rispetto alle basi B e C, ossia il vettore colonna le cui componenti sono le coordinate dei vettori f (b j ) nella base C = {1}, in altri termini si tratta del vettore f (b 1 ) colonna. f (b n ) Pertanto nell isomorfismo M B C i vettori e 1,..., e n della base canonica di Kn corrispondono alle applicazioni lineari β 1,..., β n così definite; β j (b h ) = 0, j h; β j (b j ) = 1. {β 1,..., β n } è una base di V detta base duale della base B. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 35 / 36

36 Dualità Sia V uno spazio vettoriale f.g. e b : V V K una forma bilineare. Fissato v 0 V, l applicazione L v0 : V K definita da è lineare. L v0 (v) = b(v, v 0 ) TEOREMA (di rappresentazione)- Se la forma bilineare b : V V K è non degenere, allora l applicazione L { } : V V definita da L { } : v 0 L v0 è un isomorfismo (si dice allora che il vettore v 0 rappresenta il funzionale L v0 ). Dimostrazione Dal momento che V e V sono spazi vettoriali f.g. della stessa dimensione, basta verificare che L { } è iniettivo, ossia che ker(l { } ) = {0}. Se L v0 = 0 V, allora L v0 (w) = 0, w V, ossia b(w, v 0 ) = 0, w. Essendo b non degenere questo implica che sia v 0 = 0, da cui la tesi. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 36 / 36