Esercizi 3, 1. Prof. Thomas Parisini. Esercizi 3, 3 Regola:

Transcript

1 Esercizi 3, 1 Esercizi 3, 2 Esercizi Stabilità per sistemi a tempo continuo Analisi degli autovalori Analisi del polinomio caratteristico, criterio di Routh-Hurwitz Stabilità per sistemi a tempo continuo 1.Criteri basati sull osservazione della matrice e sui coefficienti del suo polinomio caratteristico esempio 1 Calcolo di traccia: Esercizi 3, 3 Regola: asintotica stabilita` e concordi Esercizi 3, 4 C e almeno un autovalore a parte reale positiva...instabilita! non e asintoticamente stabile NB: asintotica stabilita` asintotica stabilita` esempio 2 traccia: non possiamo concludere nulla... polinomio caratteristico: polinomio caratteristico: 1

2 Regola: asintotica stabilita` e concordi Esercizi 3, 5 Esercizi 3, 6 2.Criterio basato sullo studio del polinomio caratteristico: non e asintoticamente stabile Tabella di Routh Promemoria: Quando conviene? Quando il rango di e maggiore di 4, e dunque il grado del polinomio caratteristico e tale che non esistono formule per trovarne le radici. Se nel polinomio: mancano coefficienti ci sono cambi di segno nei coefficienti sistema non asintoticamente stabile Cosa ci fornisce? E un criterio che non ci dice quali siano le radici, ma da informazione sul segno della loro parte reale. Dunque ci permette di stabilire se il sistema e stabile o meno. Esercizi 3, 7 Esercizi 3, 8 esempio 1: esempio 2: discutere la stabilita di un polinomio parametrico Tabella con al massimo righe, OSS: non sappiamo concludere a priori sul segno delle radici: i coefficienti sono tutti positivi! Ci interessano i cambi di segno nella prima colonna; dunque puo non essere necessario sviluppare tutti i calcoli, ma basta saper valutare il segno dei suoi elementi. Condizioni per la stabilita : 4 cambi di segno!! 4 radici con parte reale positiva 2

3 Esercizi 3, 9 Esercizi 3, 10 esempio 3: caso particolare, uno o piu coefficienti della prima colonna della tabella si annullano. Dunque si passa a studiare il segno dei termini in nella prima colonna, considerando tendente a zero dapprima da destra e per verifica anche da sinistra.? si sostituisce lo zero con e si procede come da regola Si hanno in entrambi i casi due cambi di segno, dunque due radici a parte reale positiva. Esercizi 3, 11 Esercizi 3, 12 In ALTERNATIVA, si moltiplica il polinomio per un polinomio semplice e noto, a radici a parte reale negativa (che non alterano il risultato della tabella!) e si applica il metodo di Routh a questo nuovo polinomio. esempio 4: caso particolare, una riga della tabella si annulla; una riga nulla di INDICE DISPARI si affronta nel seguente modo (S.D.). ad esempio... Significa che ci sono delle radici complesse! Si puo proseguire l algoritmo in due modi. 3

4 Esercizi 3, 13 Esercizi 3, Il polinomio e divisibile per un polinomio di potenze pari, di grado massimo pari all indice della riga superiore della tabella di Routh, i cui coefficienti sono proprio quelli di tale riga. 2. Derivo il polinomio di sole potenze pari ottenuto come al caso 1. e sostituisco gli zeri della riga nulla con i suoi coefficienti. Infatti: In questo caso trovo immediatamente le radici... oppure posso studiare sempre con il criterio di Routh-Hurwitz il quoziente, e cercare di fattorizzare il divisore. Se non si riesce a fattorizzare il divisore si procede con il secondo metodo. Ho di nuovo una riga dispari nulla. Bisogna di nuovo sostituire la riga 1 con la derivata del polinomio ottenuto con i coefficienti della riga 2...come prima. Esercizi 3, 15 Esercizi 3, 16 esempio 4: discutere la stabilita di un polinomio parametrico Condizioni trovate per la stabilita : Non ci sono cambi di segno, quindi non ci sono radici a parte reale positiva. Tuttavia potrebbero essere radici immaginarie pure, che NON provocano variazioni di segno nella prima colonna. Le radici immaginarie pure si vedono solo fattorizzando il polinomio ausiliario. Che cosa si puo dire per e? 4

5 Esercizi 3, 17 Esercizi 3, 18 Comportamento per : Comportamento per : Avere un termine nullo nell utlima riga della tabella di Routh (riga composta da un unico valore) significa che c e uno zero nell origine nel polinomio analizzato! Una riga dispari nulla! Ci sono radici complesse. Procedo come nell esempio visto in precedenza. Esercizi 3, 19 Esercizi 3, 20 Calcolo di : Esempio Esamineremo due modi per calcolare, per sapere la convergenza o divergenza nel tempo della risposta del nostro sistema. Vedremo solo casi semplici, in cui non ci sono autovalori reali o complessi a molteplicita maggiore di uno; cioe la matrice sara sempre diagonalizzabile. 1.Calcoliamo diagonalizzando la matrice. 5

6 Esercizi 3, 21 Esercizi 3, 22 Sappiamo dunque che sara dato da: Determinazione degli autovettori Noti gli autovalori, si tratta di trovare i vettori tali che:...questo pero vale nello spazio generato da una base di autovettori di... Per ritornare nella base in cui ci e stata assegnata dobbiamo trovarne gli autovettori e dunque le matrici di cambio base. Dunque dobbiamo trovare il nucleo dell applicazione lineare Esercizi 3, 23 Esercizi 3, 24 soluzione! soluzione! 6

7 Esercizi 3, 25 Esercizi 3, 26 Dunque le matrici di cambio base sono: soluzione! Si puo verificare che: Esercizi 3, 27 Esercizi 3, 28 2.Calcoliamo come. Infatti confrontando queste due identita : Si ricava che : per casa... 7

8 Bisogna dunque calcolare l inversa della matrice simbolica : Esercizi 3, 29 def: e la trasposta della matrice dei cofattori di A, divisa per il determinante di A Inversa: Esercizi 3, 30 COFATTORE dell elemento i,j ; il segno va cambiato per i+j dispari per praticita... Si calcolano i e si dispongono subito in ordine trasposto. E poi antitrasformare quanto ottenuto, elemento per elemento. Poi si cambia segno a quelli di somma di indici dispari. Esercizi 3, 31 Esercizi 3, 32 Si calcola infine il determinante di prendendo la riga (colonna) con piu zeri. Abbiamo gia fatto questo calcolo ricercando gli autovalori. Ora non resta che antitrasformare i singoli elementi. Vediamo l elemento della matrice. (Finire il resto per esercizio) 8

9 Esercizi 3, 33 Esercizi 3, 34 Dunque si ha: Ed antitrasformando si ricava infine: Stabilità per sistemi a tempo discreto Che coincide con quanto gia trovato! Cercare di finire l esercizio per casa Analisi degli autovalori Analisi del polinomio caratteristico, trasformazione bilineare + criterio di Routh-Hurwitz Calcolo di Esercizi 3, 35 Esercizi 3, 36 Stabilità interna e BIBO 9

10 Esercizi 3, 37 Esercizi 3, 38 Stabilità interna e BIBO Esercizi 3, 39 Esercizi 3, 40 Utilizzo della trasformazione bilineare 10

11 Esercizi 3, 41 Esercizi 3, 42 Esercizi 3, 43 Esercizi 3, 44 Evoluzione libera dello stato 11

12 Esercizi 3, 45 Esercizi 3, 46 Esercizi 3, 47 Esercizi 3, 48 12

13 Esercizi 3, 49 Esercizi 3, 50 Stabilità al variare di un parametro Esercizi 3, 51 Esercizi 3, 52 13

14 Esercizi 3, 53 Esercizi 3, 54 Stabilità interna: ancora utilizzo della trasformazione bilineare Esercizi 3, 55 Esercizi 3, 56 14

15 Esercizi 3, 57 Esercizi 3, 58 Esercizi 3, 59 Esercizi 3, 60 Risposta libera dello stato Dato il sistema descritto dalle equazioni di stato determinare l espressione analitica dell evoluzione libera dello stato, a partire dalla condizione iniziale 15

16 Esercizi 3, 61 Esercizi 3, 62 Il movimento dello stato è determinato in generale dall' espressione: Utilizzo della Z-trasformata Nel caso analizzato si deve determinare la sola evoluzione libera: Ci sono due possibili alternative: 1. utilizzare la Z trasformata 2. calcolare direttamente la matrice Esercizi 3, 63 Esercizi 3, 64 Ora non rimane che antitrasformare: In definitiva: L espressione cercata vale allora: 16

17 Esercizi 3, 65 Esercizi 3, 66 Calcolo diretto della matrice Autovettori: Gli autovalori sono distinti e pari a quindi la matrice è diagonalizzabile (perché? ) (per esempio) Il polinomio caratteristico è ovviamente (per esempio) Esercizi 3, 67 Esercizi 3, 68 Calcolo di Diagonalizzazione: Ora finalmente è possibile determinare l evoluzione libera dello stato! 17

18 Esercizi 3, 69 Esercizi 3, 70 Evoluzione libera dello stato: Stabilità interna al variare di un parametro Si consideri il sistema dinamico a tempo discreto descritto dalle equazioni di stato: con Analizzare la stabilità interna del sistema al variare del parametro Esercizi 3, 71 Esercizi 3, 72 L equazione caratteristica del sistema assegnato è data da Con la trasformazione bilineare si ottiene: Un autovalore è fisso, indipendente dal parametro a ed è associato ad un modo asintoticamente stabile. I coefficienti di questo polinomio variano al variare di a. La stabilità può dipendere quindi dal valore di a. Per l analisi di stabilità ora si può applicare il criterio di Routh Hurwitz: Per l analisi di stabilità del sistema è sufficiente allora analizzare, al variare di a, la posizione delle radici dell equazione Si tratta di analizzare il segno degli elementi nella prima colonna della tabella. 18

19 Esercizi 3, 73 Studio del segno degli elementi in prima colonna nella tabella di Routh: Esercizi 3, 74 In definitiva, analizzando variazioni e permanenze di segno tra gli elementi della prima colonna della tabella di Routh al variare di a si conclude che 2 variazioni di segno 1 variazione di segno 1 variazione di segno 2 variazioni di segno Per qualsiasi valore di a il polinomio possiede almeno 1 radice a parte reale positiva, quindi il polinomio originale possiede almeno una radice con modulo maggiore dell unità: il sistema risulta allora instabile per ogni valore di a. 19