Esercitazione Sistemi e Modelli n.6

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1 Esercitaione Sistemi e Modelli n.6 Eserciio Si consideri un allevamento di conigli con il numero di maschi uguale al numero delle femmine. Come variabili di stato si consideri il numero di coppie di conigli aventi le seguenti caratterische: x numero di coppie di conigli giovani x numero di coppie di conigli adulti Sia k mese tempo) e si consideri la seguente dinamica: x k + ) x k), x ) x k + ) x k) + x k), x ). si scriva il sistema in forma matriciale;. si calcolino i punti di equilibrio; 3. si studi la stabilità; 4. si ricavi la matrice di trasferimento; 5. si calcoli la soluione del sistema. Soluione. yk) x k) + x k). Forma matriciale: il sistema è lineare ed autonomo. In forma matriciale risulta: x k + ) x k) x ), x k + ) x k) x ) yk) x k) x k). Punti di equilibrio: nel caso discreto si richiede xk + ) F xk) xk) x,eq F I)x x,eq + x,eq x,eq x,eq x,eq x,eq Il sistema ha un punto di equilibrio solo nell origine. NOTA: Poiché F I) è invertibile, si poteva dire subito che l origine è l unico punto di equilibrio. 3. Stabilità: calcolo degli autovalori: λ detλi F det λ λ λ λ, ± + 4

2 λ > : modo divergente λ 5.6 < : modo convergente segni alterni: la soluion e per x non è monotona). Il sistema non è stabile, a causa della presena di un autovalore con modulo maggiore di. 4. Matrice di trasferimento: il sistema è autonomo! 5. Soluione del sistema evoluione libera): l evoluione dello stato coincide con l evoluione libera. Ci sono due possibili metodi di soluioni: a) Metodo della Trasformata Zeta X) I F ) x) + I F ) GU) ) Y ) HX) X) + A + B A λ ) + B λ ) λ λ A + B A λ λ λ Aλ Bλ B λ λ λ yk) λ λ λ λ ) k λ λ λ λ ) k b) Possiamo ragionare nel tempo: Iniialmente osserviamo l andamento delle traiettorie nei primi istanti temporali: yk) HF k x) Analiticamente possiamo osservare che k x k) 3 x k) 3 5 yk) yk) HF k x) HT F J ) k T x) La matrice F k J la possiamo calcolare subito, a partire dagli autovalori: F J λ λ F k J λ ) k λ ) k Per il calcolo di T calcoliamo gli autovettori: λ α i. λ : v λ β λ

3 λ α ii. λ : v λ β λ da cui risulta: Possiamo quindi calcolare l uscita: T T λ λ λ λ λ λ yk) λ λ λ ) k λ ) k λ ) k λ + λ ) + λ ) k λ + λ ) λ λ λ λ λ λ Eserciio Sostituendo i valori numerici, possiamo osservare che: i. λ + λ ) ) ) λ ) ii. λ + λ ) ) 5 λ da cui risulta che anche con questo procedimento, si ottiene: yk) λ λ λ λ ) k λ λ λ λ ) k Si consideri il modello di stato a tempo discreto descritto dalle seguenti equaioni: a xk + ) xk) + uk) a/ con a parametro reale. yk) xk). Si studino, al variare di a R, stabilità semplice e asintotica del sistema.. Si determini la risposta impulsiva e la funione di trasferimento per a. 3. Si determini, per a e operando nel dominio del tempo, l evoluione libera di stato del sistema in corrispondena alla condiione iniiale x) T Soluione.. La matrice F è triangolare inferiore e gli autovalori sono λ a e λ a, quindi si ha λ < se e solo se < a < e λ < se e solo se < a <. Pertanto si ha: se < a <, il sistema è asintoticamente stabile; se a < o a >, il sistema è instabile; se a, il sistema è semplicemente stabile ma non asintoticamente stabile λ, λ ); se a, c è un unico autovalore λ con molteplicità algebrica ν. Se la molteplicità geometrica fosse pari a, la matrice F sarebbe diagonaliabile e risulterebbe F J I, ma allora dovrebbe essere anche F I. Pertanto la molteplicità geometrica deve valere g e il sistema è instabile.. Per a gli autovalori di F sono λ e λ, la forma di Jordan di F risulta: F J 3

4 e pertanto si ha: δt) FJ t ) t. Costruiamo la matrice T di cambiamento di base dalla base di partena alla base di Jordan. Un autovettore relativo a λ è v, mentre un autovettore relativo a λ è v e. Pertanto si ha: T, T e il calcolo di F t porge: F t T FJT t Possiamo adesso calcolare la risposta impulsiva: La funione di trasferimento risulta: δt) δt) ) t ) t. wt) HF t Gδ t ) + Jδt) δt ) δt ) ) t ) t δ t ) δt ) W ) HI F ) G + J ) + + ) L evoluione libera di stato corrispondente a x) vale x l t) F t x) ) t e pertanto l uscita in evoluione libera risulta identicamente nulla: Eserciio 3 Dato il sistema dinamico a tempo discreto non lineare y l t) Hx l t) x l t) x k + ) ax k) x 3 k) x k + ) ax k) + x 3 k) con a R, si studi la stabilità dell origine al variare del parametro a, usando, se necessario, la funione di Lyapunov V x) x + x 4

5 Soluione. Per ottenere il sistema lineariato nell intorno dell origine si costruisce la matrice Jacobiana: f f x F x a 3x a a + 3x. a xeq,) f x f x Il polinomio caratteristico di F è detsi F ) s + a e perciò gli autovalori di F sono dati da λ, ±ja. Se a < il sistema lineariato e quello non lineare risultano asintoticamente stabili nell intorno dell origine. Se a > il sistema lineariato e quello non lineare risultano instabili nell intorno dell origine. Se a ± il sistema lineariato è semplicemente stabile e il metodo di lineariaione non dà informaioni sufficienti per l analisi della stabilità del sistema non lineare nell intorno dell origine. Ricorriamo allora alla funione di Lyapunov V xk)) x k) + x k). Per a si ha: V xk)) V xk + )) V xk)) x k + ) + x k + ) x k) x k) x k) + x 6 k) x 4 k) ) + x6 k) x 4 k) + x6 k) x 4 k) x 4 k) ) x k) x 4 k) ) x k). x k) + x 6 k) x 4 k) ) x k) x k) Per x k) e x k) sufficientemente piccoli ovvero in un intorno sufficientemente piccolo dell origine) V xk)) è definita negativa e il teorema di Lyapunov prova la stabilità asintotica dell equilibrio. Per a risulta: V xk)) x6 k) + x 4 k) + x6 k) + x 4 k). Poichè V xk)) è definita positiva, non sono applicabili i criteri di stabilità che abbiamo studiato e non possiamo concludere nulla circa la stabilità dell origine in realtà, per il criterio di instabilità di Cetaev, il sistema risulta instabile nell intorno dell origine). Eserciio 4 Un sistema a tempo discreto ha matrice F avente polinomio caratteristico detλi F ) λ λ + )λ + ) e funione di trasferimento W ).. Determinare la forma di Jordan di F ed i modi corrispondenti.. Determinare, nella base di Jordan, UNA possibile struttura di G, H visto che essi NON sono affatto univocamente determinati!) 3. Sena fare nessun calcolo, dire a parole qual è l effetto sull ingresso di una tale funione di trasferimento. Soluione.. Forma di Jordan e modi corrispondenti: Poiché la funione di trasferimento esibisce un polo doppio nell origine, la forma di Jordan deve contenere un miniblocco di dimensione relativo all autovalore λ. Ricordiamo infatti che il denominatore della fdt coicide con il polinomio minimo relativo ad F ). La Forma di Jordan risulta quindi: F J modi : δk), δk ), ) k, ) k 5

6 . Matrici G ed H una possibile soluione): Ricordiamo che W ) HI F J ) G. I F J ) Quindi, W ) corrisponde all elemento in posiione, ) di I F J ), che può essere seleionato, ad esempio con le matrici: H, G 3. Effetto sull ingresso Dalla W ), notiamo che la risposta impulsiva δk ) fa sì che l uscita forata sia esattamente uguale all ingresso, ma traslata indietro ritardata) di esattamente passi. Nota: Svolgendo i conti per una verifica, si ottiene: k k y f k) HF i Guk i) δi )uk i) uk ) i i 6