Matematica Finanziaria 11 luglio 2001

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1 Matematica Finanziaria 11 luglio 2001 Prova Generale. ESERCIZIO 1: Algebra Lineare ² Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli. ² Dato il seguente sistema che descrive la dinamica del fatturato di due imprese manifatturiere: x 1 (t +1) = 1:1x 1 (t) 0:2x 2 (t) x 2 (t +1) = 0:2x 1 (t)+1:3x 2 (t) individuare i sentieri di crescita stabile economicamente signi cativi e i corrispondenti saggi di crescita. ESERCIZIO 2:Ottimizzazione ² Data la seguente funzione: f (x) = q x 2 x 2 1 determinarne il dominio e le curve di livello evidenziandone la direzione di crescita. ² Individuare gli estremi della funzione di cui sopra dato il vincolo x 1 + x 2 = b, dove b èunacostante. ² Determinare analiticamente o gra camente come varia il valore della funzione obiettivo al variare di b. ESERCIZIO 3: Matematica Finanziaria ² Un imprenditore accende un contratto di leasing per l acquisto di un impianto del valore di 200ml. E previsto un anticipo del %, un prezzo di riscatto del 3% ed un tasso di nanziamento del 7%. I canoni sono annuali per 4 anni. L ultimo canone è pagato in via anticipata e il pro lo temporale dei canoni è decritto da: ½ 1 =1;½ 2 =2;½ 3 =3;½ 4 =4 Determinare l importo dei quattro canoni.

2 M.F. Appello Generale, 11 luglio ² L impianto serve per l attuazione di un progetto del costo di attivazione di 500ml, della durata di 4 anni e che presenta ogni anno un usso attivo di 200ml. Dato un costo opportunità del capitale proprio pari al 5%, determinare l APV del progetto.

3 dove Matematica Finanziaria 11 luglio 2001 Prova Generale ESERCIZIO 1: Algebra Lineare SOLUZIONI ² Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli. ² Dato il seguente sistema che descrive la dinamica del fatturato di due imprese manifatturiere: x 1 (t +1) = 1:1x 1 (t) 0:2x 2 (t) x 2 (t +1) = 0:2x 1 (t)+1:3x 2 (t) individuare i sentieri di crescita stabile economicamente signi cativi e i corrispondenti saggi di crescita. R. Sipuòscrivere: x (t +1)=Ax (t) A = Individuare un sentiero di crescita stabile richiede la determinazione del valore 2 R tale per cui: x (t +1)= x (t) da cui si deduce che i sentieri di crescita stabile devono soddisfare: Ax (t) = x (t) il che equivale alla determinazione degli autovalori della matrice A. Essendo l equazione caratteristica data da: =0 gli autovalori risultano essere: 1 = p 5=1: 4236; 2 = p 5=0: 97639

4 M.F. Appello Generale, 11luglio 2001: Soluzioni 2 e i corrispondenti autovettori sono: x 1 = t ;t 1 2 R= f0g 1 x 2 = t ;t 2 2 R= f0g 2 I corrispondenti tassi di crescita bilanciata sono dati: g 1 = 1 1=42:36% g 2 = 2 1= 2:361% Comunque nel primo caso ( 1 =1: 4236), non ha senso di parlare di crescita bilanciata in quanto il fatturato di una delle due imprese risulterebbe negativo: 1 x 1 = t 1 1: 618 ;t 1 2 R= f0g.esercizio 2:Ottimizzazione ² Data la seguente funzione: f (x) = q x 2 x 2 1 determinarne il dominio e le curve di livello evidenziandone la direzione di crescita. ² Individuare gli estremi della funzione di cui sopra dato il vincolo x 1 + x 2 = b, dove b èunacostante. ² Determinare analiticamente o gra camente come varia il valore della funzione obiettivo al variare di b. R. Dominio: n o (x 1 ;x 2 ) x 2 x Le curve di livello sono date da: ½ ¾ C k = (x 1 ;x 2 ) qx 2 x 2 1 = k 0 n o = (x 1 ;x 2 ) x 2 = x k 2

5 M.F. Appello Generale, 11luglio 2001: Soluzioni 3 cioè parabole con vertice sull asse delle ordinate e concavità verso l alto. Il livello cresce spostandosi verso l alto partendo da k =0. Dal vincolo si ricava x 2 = b x 1 e sostituendo nella funzione obiettivo si ottiene una funzione di una sola variabile: q g (x 1 )=f (x 1 ;b x 1 )= b x 1 x 2 1 La funzione b x 1 x 2 2 è una parabola con concavità rivolta verso il basso. Il punto di estremo è il vertice della parabola e rappresenta quindi un punto di massimo. L ascissa del vertice è x 1 = 1 2 Il punto di ottimo del problema originale è quindi dato da: x 1 = 1 µ 2 ;x 2 = b 1 = b Il valore della funzione obiettivo risulta essere: µ f ^x = rb r = b equindialcresceredib cresceancheilvaloredellafunzioneobiettivo,comeèfacile intuire anche per via gra ca. ESERCIZIO 3: Matematica Finanziaria ² Un imprenditore accende un contratto di leasing per l acquisto di un impianto del valore di 200ml. E previsto un anticipo del %, un prezzo di riscatto del 3% ed un tasso di nanziamento del 7%. I canoni sono annuali per 4 anni. L ultimo canone è pagato in via anticipata e il pro lo temporale dei canoni è decritto da: ½ 1 =1;½ 2 =2;½ 3 =3;½ 4 =4 Determinare l importo dei quattro canoni. ² L impianto serve per l attuazione di un progetto del costo di attivazione di 500ml, della durata di 4 anni e che presenta ogni anno un usso attivo di 200ml. Determinati i ussi del progetto, dato un costo opportunità del capitale proprio pari al 5%, determinare l APV del progetto. R.

6 M.F. Appello Generale, 11luglio 2001: Soluzioni 4 Per determinare l importo della rata di leasing si può utilizzare la formula:r. Si può utilizzare la formula: C 1 = A B E (1 + i) m=12 rx nx ½ n+s + ½ s (1 + i) t s s=1 s=1 dove: A =200, B =20, E =6, i =0:, m=12 = 4, n =3, r =1, ½ 1 =1;½ 2 = 2;½ 3 =3;½ 4 =4.Quindi: C 1 = (1+0:) 4 1X 3X 4+ ½ s (1 + 0:1) s s=1 s=1 175:9 = 4+(1+0:1) 1 +2(1+0:1) 2 +3(1+0:1) 2 = 175:9 9: 0413 = 19: 455 Di conseguenza l importo in milioni dei quattro canoni risulta essere: I ussi del progetto risultano quindi: C 2 = 2 19: 455 = 38: 91 C 3 = 3 19: 455 = 58: 365 C 4 = 4 19: 455 = 77: 82 Tempo Progetto Leasing Flussi Netti = 397: : : 455 = 180: : : 91 = 161: : = 141: = 194 L APV del progetto è quindi: AP V = 397:82 + = 202:2 180: 55 1: :09 1: :64 1: :05 4