Matematica Finanziaria 20 giugno 2001

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1 Matematica Finanziaria 0 giugno 00 Prova Generale. ESERCIZIO : Algebra Lineare a) De nizione di indipendenza lineare tra vettori. b) Senza e ettuare calcoli, stabilire se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti y =, w = ;z = c) Senza e ettuare calcoli, determinare la dimensione ed una base per lo spazio generato dai tre vettori di cui sopra. d) Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli. e) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il seguente sistema lineare: Ax = b dove: A = ;b= 6 3 ESERCIZIO : Ottimizzazione a) Enunciare le CNeS per risolvere un problema di ottimizzazione vincolato. b) Stabilito il dominio della seguente funzione ³ f (x; y) =ln x + y disegnarne le curve di livello indicandone anche la direzione di crescita. c) Individuare gra camente la soluzione del seguente problema di estremo vincolato, f (x; y) sub : x + y = stabilendo se si tratta di un massimo o di un minimo. d) Individuare analiticamente i punti di estremo del problema di cui al punto precedente stabilendone la natura.

2 M.F. Appello Generale, 0 giugno 00 ESERCIZIO 3: Matematica Finanziaria a) Dato il seguente progetto di investimento: Tempo Flussi e dato un costo opportunità del capitale proprio pari al 7%, determinare il VAN del progetto. E conveniente avviare il progetto? b) Si intende nanziare il progetto all 80% mediante un prestito al tasso del 0%. La durata del nanziamento è anni con rate annuali costanti. Costruire il piano d ammortamento del prestito. c) Calcolare il WACC e l APV dell operazione complessiva dato sempre un costo opportunità del capitale proprio pari al 7%. d) E conveniente nanziare il progetto interamente con capitale proprio o ricorrendo anche al capitale di debito?

3 Matematica Finanziaria 0 giugno 00 Prova Generale SOLUZIONI ESERCIZIO : Algebra Lineare a) De nizione di indipendenza lineare tra vettori. b) Senza e ettuare calcoli, stabilire se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti y =, w = ;z = c) Senza e ettuare calcoli, determinare la dimensione ed una base per lo spazio generato dai tre vettori di cui sopra. d) Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli. e) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il seguente sistema lineare: Ax = b dove: A = ;b= 6 3 R. a)... b) Avendo tre vettori di R, questi sono sicuramente linearmente dipendenti c) Poichè tra i tre vettori, posso trovarne due l.i. (per es. y e w), la dimensione dello spazio generato è due e y e w costituiscono una base. d)... e) Poichè r (A) =r (Ajb), per il teorema di RC il sistema lineare è possibile. Poichè r (A) ==n, per il teorema di RC il sistema lineare ammette un unica soluzione che posso trovare applicando la regola di Cramer dato che la matrice dei coe cienti è invertibile. L unica soluzione è quindi: x =

4 M.F. Appello Generale, 0 giugno 00: Soluzioni ESERCIZIO : Ottimizzazione a) Enunciare le CNeS per risolvere un problema di ottimizzazione vincolato. b) Stabilito il dominio della seguente funzione ³ f (x; y) =ln x + y disegnarne le curve di livello indicandone anche la direzione di crescita. c) Individuare gra camente la soluzione del seguente problema di estremo vincolato, f (x; y) sub : x + y = stabilendo se si tratta di un massimo o di un minimo. d) Individuare analiticamente i punti di estremo del problema di cui al punto precedente stabilendone la natura. R. a)... b) Il dominio è dato da: D = n o (x; y) jx + y>0 Le curve di livello sono date: C k = = = n ³ o (x; y) j ln x + y = k n(x; y) jx + y = e ko n(x; y) jy = e k x o x

5 M.F. Appello Generale, 0 giugno 00: Soluzioni 3 cioè si possono rappresentare gra camente mediante delle parabole con concavità rivolta verso il basso e vertice sul semiasse positivo delle ordinate (con esclusione della parabola passante per l origine cui corrisponderebbe k = ), come in gura. La direzione di crescita è quella verso l alto. c) Gra camente il punto di estremo lo trovo come punto di tangenza tra le curve di livello e il vincolo. Il livello k associato alle curve cresce muovendosi verso l alto. Il problema di massimo non ha soluzione: il livello k può essere reso grande a piacere. Il problema di minimo ha invece soluzione data dal punto di tangenza tra parabola e vincolo x - - d) Sfruttando l espressione del vincolo, possiamo ricavare una variabile in funzione dell altra dal vincolo e sostituirla nella funzione obiettivo. La funzione di cui trovare gli estremi è quindi: ³ h (x) =f (x; x) =ln x + x Poichè il logaritmo è una funzione crescente per individuare i punti stazionari posso studiare l andamento dell argomento, che è dato da x + x e che rappresenta una parabola con concavità rivolta verso l alto. Il problema ammette quindi un punto di minimo dato da x = e di conseguenza y = x =. Il problema di ottimo ³ ammette quindi un punto di minimo in ;, come individuato gra camente. ESERCIZIO 3: Matematica Finanziaria a) Dato il seguente progetto di investimento: Tempo Flussi

6 M.F. Appello Generale, 0 giugno 00: Soluzioni e dato un costo opportunità del capitale proprio pari al 7%, determinare il VAN del progetto. E conveniente avviare il progetto? b) Si intende nanziare il progetto all 80% mediante un prestito al tasso del 0%. La durata del nanziamento è anni con rate annuali costanti. Costruire il piano d ammortamento del prestito. c) Calcolare il WACC e l APV dell operazione complessiva dato sempre un costo opportunità del capitale proprio pari al 7%. d) E conveniente nanziare il progetto interamente con capitale proprio o ricorrendo anche al capitale di debito? R. a) VAN(7%) = (:07) + 50 =9: 095 > 0 (:07) e quindi è conveniente attivare il progetto. b) La rata è ssata in modo che: Ra j0: =80 da cui: R = 80 a j0: = 80 (+0:) 0: Il piano d ammortamento è quindi dato da: =6: 095 C I R E D : : : 095 : 905 : 905 :905 6: c) Il WACC si ottiene calcolando il VAN utilizzando un tasso medio tra tasso attivo e tasso passivo: i medio =0:8 0:+0: 0:07 = 0:09 e quindi: VAN WACC = (:09) + 50 =5: 76 (:09) L APV del progetto è invece: 70 6: : 095 AP V = (:07) + (:07) =5: 759 d) Poichè APV<VAN(7%) non conviene ricorrere al nanziamento esterno. Se possibile sarebbe più conveniente utilizzare interamente capitale proprio.