Provediesamedelcorsodi Metodi Matematici per l Ec. e l Az. 2 Esercizi di ALGEBRA LINEARE - parti B

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1 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ Provediesamedelcorsodi Metodi Matematici per l Ec. e l Az. Esercizi di ALGEBRA LINEARE - parti B - ESERCIZIO DEL GIUGNO a) Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli. b) Discutere l applicazione del Teorema di Rouchè-Capelli al caso di SL omogenei. c) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il sistema lineare Ax b, alvariaredelparametroα R, dove: A,b α c) Utilizzando i risultati del Teorema di R-C, discutere e risolvere il sistema lineare Ax b, alvariaredelparametroα R, dove: A,b α Si ha che r (A), poichè (A) 6. Il r (A b) non dipende dal valore di α ed è ancora pari a. Il sistema ammette un unica soluzione data da: α x. α α + - ESERCIZIO DEL 8 GENNAIO Una società di rating ha costruito la seguente matrice di transizione tra diverse classi di rating: AAA BBB CCC AAA 8/ / / BBB / / / CCC / / Una banca possiede obbligazioni corporate di rating AAA, di rating BBB e di rating CCC. a) Determinare la composizione del portafoglio della banca tra un periodo. b) Per ogni titolo che fa un salto di classe di rating più elevata la banca realizza un guadagno di E (se il salto è di due classi E), mentre per ogni titolo che viene retrocesso realizza una perdita di 8E. Determinare i profitti/perdite realizzate dalla banca dopo un periodo. c) Determinare la composizione di lungo periodo del portafoglio clienti della banca. a) La composizione del portafoglio della banca tra un periodo è data da: 8 b) Occorre erminare per ciascuna classe di rating quanti rimangono e quanti passano di classe: Passaggidiclasse Profitti/Perdite AAA BBB -*8E -6E BBB AAA +*E+E BBB CCC -*8E-4E CCC BBB 4 +4*E+4E CCC AAA +*E+6E e quindi i profitti/perdite realizzate dopo un periodo ammontano a: E c) La composizione di lungo periodo del portafoglio clienti della banca è ottenuta calcolando l autovettore associato all autovalore pari a. Per cui dobbiamo risolvere: 8 x I x x per cui: e: 8 I x x x x x x

2 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ 4 Operando l eliminazione gaussiana (R R + R e successivamente R R + R ),siha: da cui: e quindi: x x x (x ) x x x e gli autovettori associati a λ sono dati da: t t t e t è scelto imponendo la condizione di normalizzazione: t e la distribuzione stazionaria è data da: 68 x ESERCIZIO DEL GIUGNO Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei votanti da un gruppo politico (A, B) ad un altro: P A B A B,,,, 8 Alle ultime elezioni la distribuzione dei votanti tra le tre coalizioni era stata: x () a) Determinare quale partito raggiungerà una maggioranza relativa nelle prossime elezioni. b) Scrivere l equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli autovalori sono: T λ ;λ, c) Determinare la distribuzione dei votanti nel lungo periodo. a) La distibuzione dei votanti dopo un periodo è ottenuta da:.. x () Px () e quindi il gruppo A avrà la maggioranza (assoluta) nelle prossime elezioni. b) L equazione caratteristica per la matrice P è data da:. λ. (P λi)..8 λ λ. λ +. chehacomesoluzioneλ e λ., comerichiesto. c) Per erminare la distribuzione dei votanti nel lungo periodo si deve individuare la distribuzione stazionaria cioè l autovettore con somma delle componenti pari a (%) associato all autovalore λ. Si deve quindi risolvere: Px x da cui (P I) x, cioè:.. x.. x da cui gli infiniti autovettori sono dati da: x t,t R/{} La distribuzione stazionaria è ottenuta in modo che la somma delle componenti sia pari a, cioè: t ( + ) da cui t / e x ( ) e la coalizione A sarà maggioritaria nel lungo periodo con il 66% dei consensi. 4 - ESERCIZIO DEL FEBBRAIO

3 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ 6 Si discuta al variare del parametro reale k e si risolva il sistema lineare omogeneo Ax dove A 4 k Determinare l equazione caratteristica e verificare che per i valori di k per cui la matrice A non ha rango pieno, allora λ èunautovalore. Determinare gli autovettori associati a λ. La riduzione di A portaallamatrice k perciò, se k 6 si ha r(a) ed il sistema ammette la sola soluzione nulla. Se invece k si ha r(a) per cui le soluzioni sono ed esattamente x S x R : x x x Nel caso di k, la matrice diviene: e l equazione caratteristica è data da λ λ,dacuièimmediatocheλ è un autovalore. A questo autovalore corrispondono tutti gli autovettori multipli di. ESERCIZIO n. DEL OTTOBRE ) Siano A R m,n e V {x R n : Ax }. Dimostrare che V è uno spazio vettoriale. ) Un gestore di fondi ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto a fattori di rischio: Fattore Fattore Titolo - Titolo - Titolo La composizione attuale del portafoglio è descritta dal vettore n T eil prezzo dei tre titoli è dato dal seguente vettore: P T. a) Verificare che la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio è rispettivamente e e che il valore corrente del portafoglio è. b) Dato che il gestore cerca di replicare un indice azionario che ha sensibilità al primo fattore pari a e sensibilità al secondo pari a -, scrivere il sistema lineare per erminare la nuova composizione. c) Utilizzando il procedimento di eliminazione gaussiana, erminare quindi la composizione di portafoglio necessaria per replicare l indice di mercato. V è sicuramente non vuoto e contiene il vettore nulllo di R n. Seqs. èl unico elemento di V, V è uno s.v. banale di dimensione nulla. Nel caso il SL omogeneo ammetta inifnite soluzioni, siano x e y R n elementi di V. Quindi Ax e Ay. Per mostrare che V è uno spazio vettoriale verifichiamo le proprietà di chiusura rispetto alla somma e alla moltiplicazione per uno scalare: a) chiusura rispetto alla somma: mostriamo che x+y V : A (x + y) Ax + Ay + dove abbiamo utilizzato la proprietà distributiva rispetto alla somma e il fatto che x e y V. b) chiusura rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: mostriamo che αx V, α R : A (αx) Aαx αax α. a) La sensibilità del portafoglio rispetto ai fattori di rischio la ermino mediante il prodotto: S T n

4 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ 8 dove S èlamatricedellesensibilitàen il vettore delle quantità dei titoli. Nel nostro caso: S T n Quindi il vettore riga rappresenta la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio. Se P e n sono vettori colonna che raccolgono rispettivamente i prezzi dei diversi titoli e le loro rispettive quantità, il valore corrente del portafoglio è ottenuto dal prodotto tra il vettore riga P T e il vettore n: P T n b) Il gestore, per replicare l indice azionario, deve individuare una nuova composizione di portafoglio n che sia soluzione del seguente sistema lineare: ST n P T ecioèrisolvere: n c) Imposto il S.L. che risolvo mediante riduzione canonica: Con le operazioni R R + R,R R / R si ottiene: da cui si deduce n, e quindi n n // e n n n +/. Quindi la nuova composizione deve essere: T 6 ESERCIZIO n. DEL OTTOBRE Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei clienti da un azienda automobilistica ad un altra : P F O V F O V 8 ) Calcolare x () sapendo che dalle ultime ricerche di mercato la distribuzione percentuale dei clienti tra le tre aziende è: x () 6 T ) Scrivere l equazione caratteristica per la matrice P everificare che gli autovalori sono: λ ; λ ; λ ) Determinare la distribuzione stazionaria del sistema. 4) Diagonalizzare la matrice di transizione, dato che gli autovettori associati a λ sono: T x λ t,t R\{} e quelli associati a λ sono: x λ t T,t R\{} a) La distribuzione percentuale dei clienti tra le tre aziende tra un periodo sarà:. 8 x () Px () 8.. b) L equazione caratteristica per la matrice P è λ (P λi) 8 λ λ µ µ λ λ + λ 6 λ + λ λ e per sostituzione si verifica che

5 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ λ ;λ ; λ sono autovalori. Per esempio per λ : µ P I µ Ã µ µ + µ! ( + 4) ( + 4) cvd c) La distribuzione stazionaria del sistema si ottiene individuando l autovettore associato a λ con somma delle componenti pari a, cioè: e quindi: (P I) x x e dalla prima e terza equazione si ottiene x e x x e quindi gli autovettori associati a λ sono: x λ t,t R/ {} e t si sceglie in modo che: t µ+ + >t La distribuzione stazionaria è quindi: x ( ),t R/ {} d) La matrice è diagonalizzabile poichè ha autovalori distinti. Quindi si ha (scegliendo per comodità t per x λ e t e t per gli altri due autovalori): X ; D Con il procedimento di calcolo dell inversa di Gauss-Jordan si ottiene: X e quindi P è diagonalizzabile nella forma: P Osservazione: Nel caso come matrice X si fosse scelta: X allora una variazione positiva dei tassi comporterà una variazione positiva del valore netto del portafoglio. ESERCIZIO DEL GENNAIO Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto ad un fattore di rischio: F P. P - dove P i, i,, indica la variazione del prezzo del titolo i e F il fattore di rischio (quindi P '. F e P ' F ). La composizione attuale del portafoglio è data dal vettore n T [, ]. I prezzi dei due titoli sono raccolti nel vettore P T [, ]. Determinare il valore del portafoglio e la sua sensibilità al fattore di rischio. Stabilire se un aumento in F comporta una variazione positiva o negativa nel valore del portafoglio. Il gestore intende costruire un portafoglio che replica un indice azionario di riferimento caratterizzato da una sensibilità pari a. al fattore di rischio. Impostare il S.L. per erminare la nuova composizione del portafoglio. Se possibile, risolvere con Cramer, il S.L. del punto precedente. Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto ad un fattore di rischio

6 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ F P. P -. dove P i, i,, indica la variazione del prezzo del titolo i e F il fattore di rischio (quindi P '. F e P '. F ). La composizione attuale del portafoglio è data dal vettore n T [, ]. I prezzi (in Euro) dei due titoli sono raccolti nel vettore P T [, ]. Il valore V del portafoglio e la sua sensibilità sono date da: V n T P V n P + n P ' n. F + n ( ) F (n. n ) F (. ) F 8 F La sensibilità del portafoglio è quindi pari a -8. Di conseguenza un aumento nel valore di F ermina una riduzione nel valore del portafoglio. Il SL che è soluzione del problema del gestore è dato da: n. n. Poichè il 6,, il sistema ammette un unica soluzione. n, calcolabileconilmetododicrameredatada: n n ESERCIZIO DEL 4 GIUGNO Un gestore di fondi ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto a fattori di rischio: Fattore Fattore Titolo, -, Titolo - Titolo - La composizione attuale del portafoglio è descritta dal vettore n T eil prezzo dei tre titoli è dato dal seguente vettore: P T. a) Determinare la sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio e il valore corrente del portafoglio. b) Dato che il gestore cerca di replicare un indice azionario che ha sensibilità al primo fattore pari a e sensibilità al secondo pari a -, scrivere il sistema lineare per erminare la nuova composizione. c) Utilizzando il procedimento di eliminazione gaussiana, erminare quindi la composizione di portafoglio necessaria per replicare l indice di mercato. a) La sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio e il valore corrente del portafoglio si calcolano mediante i seguenti prodotti vettoriali: Sens. Port... T.... T V alore Port. Il sistema lineare che il gestore deve risolvere per replicare l indice azionario è dato da: n n n

7 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ 4 dove n i, i,,, sono le quantità da erminare dei tre titoli. c) Partendo dalla seguente matrice completa, le operazioni necessarie per ricondursi alla forma canonica sono: Passo : R R / da cui la matrice Passo : R R / R µ R R µ R R + R da cui si ottiene la matrice: 4 Passo : R (R R ) da cui la matrice in forma ridotta diviene: Il rango della matrice dei coefficienti è pari a ed uguale a quello della matrice completa. Si ha quindi un unica soluzione. Procedendo a ritroso, la soluzione è quindi data da: n n n ESERCIZIO n. DEL 6 DICEMBRE Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di tre titoli rispetto ad un fattore di rischio F P. P - P. dove P i, i,,, indica la variazione del prezzo del titolo i e F quella del fattore di rischio. a) Assegnata una composizione n [n,n,n ] T, scrivere in termini di n,n e n la sensibilità di portafoglio. Dato che si intende immunizzare il portafoglio scrivere l equazione che deve essere soddisfatta dal vettore n. b) Dato che il vettore dei prezzi dei tre titoli è descritto dal vettore P [,, ] T, il gestore decide di investire nel titolo un ammontare di capitale doppio rispettoaquellocomplessivamenteinvestitoneltitoloeneltitolo.tenutoconto della condizione di immunizzazione del punto precedente, scrivere il sistema che deve essere soddisfatto dal vettore n. Quante soluzioni avrebbe questo sistema? Individuarle. c) Date le infinite soluzioni del punto precedente, erminare l ammontare di cui deve disporre il gestore dato che intende investire nel titolo esattamente E. a) Data la composizione n [n,n,n ] T, la sensibilità di portafoglio è data da: β π.n +( ) n +.n e la condizione di immunizzazione è data da:.n +( ) n +.n b) L equazione che descrive il vincolo sull ammontare da investire nel titolo è data da: n (n +n ) Insieme all equazione di cui al punto a si ha: o in forma matriciale:.n +( ) n +.n n +n n n.. n n

8 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ 6 Possiamo studiare il sistema utilizzando le seguenti operazioni sulla matrice dei coefficienti:.. R R /.; R R / ( ) R R R 4 R R / (4) 8 Quindi r (A) ed essendo il sistema omogeneo le infinite soluzioni sarebbero: n 8 t t n 8 t 8 t 8 n t c) Se il gestore intende investire nel titolo esattamente E, allora: n P da cui: t cioè: t Di conseguenza la composizione desiderata di portafoglio è data da: n n n n e il capitale di cui il gestore deve disporre ammonta a: n T P E - ESERCIZIO n. DEL 6 DICEMBRE Una società di ricerche di mercato ha stimato la seguente matrice di transizione P per descrivere il passaggio dei clienti tra tre diverse aziende (A, B e C): P A B C A B C 8 8 ) Scrivere l equazione caratteristica per la matrice P e verificare che gli autovalori sono: ) Dato che λ ; λ 4 ; λ x () 6 T erminare la distribuzione stazionaria del sistema. ) La dinamica da un periodo all altro sarebbe data da x (t) Px (t ). Come si modificherebbe questa equazione se ogni periodo entrassero nuovi clienti nell azienda A, in quella B e nessuno nella C? ) L equazione caratteristica per la matrice P è data da: 8 λ (P λi) 8 λ λ λ + λ λ + 4.λ.6λ.λ +.6 Per sostituzione nell equazione caratteristica si verifica che gli autovalori sono dati da: λ ; λ 4 ; λ λ : () + () 4 () + λ 4 µ 4 : + µ 4 µ λ µ : + µ µ + 4 ) La distribuzione stazionaria del sistema è l autovettore associato a λ: x

9 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ 8 da cui: x Con l operazione R R + R si ottiene: e quindi con R R + R : Di conseguenza si ha: cioè gli autovettori sono dati da: x x x x + x x t t Per individuare la distribuzione stazionaria del sistema si deve scegliere t in modo che: t + t 4+4+ cioè t / e quindi: x ) Con l ingresso di nuovi clienti si dovrebbe scrivere: x (t) Px (t ) + b F Titolo. Titolo -. dove P i,i,,indicalavariazionedelprezzodeltitoloi e F del fattore di rischio (quindi P '. F e P '. F ). La composizione attuale del portafoglio è data dal vettore n T [, ]. I prezzi (in Euro) dei due titoli sono raccolti nel vettore P T [, ]. Determinare il valore del portafoglio e la sua sensibilità al fattore di rischio. Stabilire se un aumento in F comporta una variazione positiva o negativa nel valore del portafoglio. Il gestore intende costruire un portafoglio che replica un indice azionario di riferimento caratterizzato da una sensibilità pari a. al fattore di rischio. Impostare il S.L. per erminare la nuova composizione del portafoglio. Se possibile, risolvere con Cramer, il S.L. del punto precedente. Il valore V del portafoglio e la sua sensibilità sono date da: V n T P V n P + n P ' n. F + n (.) F (n. n.) F (..) F F La sensibilità del portafoglio è quindi pari a. Di conseguenza una variazione positiva del fattore di rischio, F >, ermina un aumento nel valore del portafoglio. dove b Il SL che è soluzione del problema del gestore è dato da: n.. n. - ESERCIZIO DEL GENNAIO Un gestore ha stimato la seguente matrice delle sensibilità di due titoli rispetto ad un fattore di rischio:

10 MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ Poichè il. 6,, il sistema ammette un unica.. soluzione n, calcolabile con il metodo di Cramer e data da: n n ESERCIZIO DEL 6 SETTEMBRE a) Si consideri la matrice: A. a) Calcolarne autovalori ed autovettori. b) Determinare per quali valori di α il vettore v T α α èunautovettore di A; c) Senza calcoli, giustificare perchè λ è un autovalore di A. a) L equazione caratteristica di A è dato da: λ λ λ MM.II Parti B di Algebra Lineare - a.a. /-/ λ : x λ t ; b) Se v è un autovettore di A, allora: v λv da cui: cioé : α + α + λ α α α + λ ( α +)+ α αλ + λ, Il sistema può essere verificato solo se λ è un autovalore di A. Infattiqs. condizione è verificata. Sostituendo quindi λ, si ottiene: + α + e quindi α. c) Poichè (A), la terza riga è somma delle prime due righe, allora A deve ammettere un autovalore nullo. da cui: λ λ λ eleradicisonodatedaλ,λ e λ. Gli autovettori sono per t R/: λ : λ : x λ t ; x λ t ;