Matematica (proff. Archetti e Pellizzari) Corso di laurea COMES 3 settembre 2012

Transcript

1 Matematica (proff. Archetti e Pellizzari) Corso di laurea COMES A settembre 01 Scarso credito è attribuito a risposte frammentarie e non adeguatamente motivate (1) Rispondete ai seguenti quesiti teorici. (a) Date la definizione di vettori linearmente indipendenti. I vettori si dicono linearmente INdipendenti se nessuno di essi è esprimiblile come combinazione lineare degli altri. Alternativamente si può dire che sono INdipendenti se l unica combinazione lineare nulla dei vettori è quella a coefficienti tutti nulli. Errore Frequente: dire che indipendenti significa che il determinante di una matrice estratto dai vettori è diverso da zero è impreciso. Quale determinante? Estratto come? Se ci sono vettori con componenti la matrice ha dimensioni x, ma non si può calcolare il determinante. Al massimo l affermazione è vera in qualche caso piuttosto particolare. (b) Enunciate le condizioni necessarie del primo ordine per l esistenza di massimi / minimi per funzioni derivabili di una variabile. La derivata prima deve necessariamente annullarsi nei massimi / minimi. Errore Frequente: citare il teorema di Weierstrass che riguarda l esistenza di massimi e minimi globali. () Quali fra le seguenti funzioni è l integrale indefinito (o primitiva) di f (x) = log(x)? (a) (log(x)) (b) xlog(x) x x (c) log(x) + 1 x Anche se sembra il contrario, questo NON è un esercizio d integrazione ma di derivazione. Si trattava di verificare quale fra le tre fosse la soluzione dell integrale. Ricordando che derivando l antiderivata si ottiene l integranda, si poteva verificare che D(xlogx x) = 1logx + x 1 x 1 = logx. Quindi, la risposta corretta era b). Verificate che le derivate delle funzioni a) e c) sono diverse dall integranda. () La quantità prodotta in funzione del lavoro 0 L 00 è Q(L) = 1L 1 0 L.

2 (a) Trovare L che massimizza Q(L). (b) Trovare L che massimizza l output per lavoratore Q(L) L. (c) Q (L ) = Q(L ) : è un caso? L (a) I punti stazionari di Q(L) si trovano calcolando la derivata Q (L) e risolvendo l equazione L 0 L = 0,L = 0,L = 160. Oltre ai candidati appena trovati bisogna testare gli estremi dell intervallo, valutando Q(0), Q(160) e Q(00). Il punto di massimo è L = 160. Ci sono altri modi per risolvere, come studiare il segno della derivata Q (L). (b) Preliminarmente, semplificate per L per ottenere Q(L) L = 1L 1 0 L. I punti stazionari si trovano calcolando la derivata dell espressione precedente e risolvendo l equazione 1 1 L = 0,L = Oltre al candidato appena trovato, bisogna testare gli estremi dell intervallo, valutando Q(L)/L in 0, 10 e 00. Il punto di massimo è L = 10. (c) Applicando la regola di derivazione di un quoziente si ottiene che ( ) Q(L) D = Q (L)L Q(L) L L Questa derivata si annulla se si annulla il numeratore Q (L)L Q(L) = 0, da cui Q (L) = Q(L) L. Quindi, non si tratta di un caso. Nel punto L che annulla la derivata di Q(L)/L automaticamente si ha che Q (L ) = Q(L ) L. Questo identico esercizio era stato svolto in classe dal prof. Marazzato. () Considerate il sistema lineare { (k 1)x + ky = (k )x + (k + 1)y = k + 1 (a) Discutete l esistenza delle soluzioni al variare del parametro k. Si tratta di un sistema quadrato, con due equazioni e due incognite. È applicabile il teorema di Cramer che consente di determinare le soluzioni mediante rapporto di determinanti quando

3 il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero. ( ) k 1 k det = k k k k + k 0 per k 1. Per k 1 il sistema ammette un unica soluzione. Per k = 1, si utilizza il teorema di Rouche-Capelli. Il rango di A è 1. Il rango di A b è ( 1 r(a b) = r 8 ) =, dato che determinante x della seconda e terza colonna è diverso da zero. Quindi, r(a) r(a b) e il sistema non ammette soluzioni. (b) Dite quando la matrice A dei coefficienti è invertibile. A è invertibile se det(a) 0, cioè se k 1. (c) Calcolate l inversa di A quando k = 1. L inversa A 1 quando k = 1 è A 1 = ( (5) Utilizzando la figura che vedete nella prossima pagina, rispondete alle seguenti domande. (a) Quali sono i segni di f x e f y in Q? Tenendo fisso y e spostandosi lungo l asse x nel punto Q si incrociano curve di livello inferiore; quindi, la funzione decresce e la derivata parziale secondo x è negativa. Tenendo fisso x e spostandosi lungo y partendo da Q si incrociano curve di livello più alte; quindi, la funzione cresce e la derivata parziale secondo y è positiva. (b) Risolvete l equazione f (x, ) =. Fissando y =, si tratta di trovare i valori di x in cui la funzione vale z =, in corrispondenza dei punti in cui la retta y = incrocia la curva di livello. I due punti sono x = e x = 6. (c) Calcolate il più grande valore di z = f (x,y) nei punti in cui x + y = 1. La retta interseca le curve di livello z = 1, e z =. Quindi, nei punti della retta, la funzione assume al massimo il valore, corrispondente alla più alta curva di livello intersecata. ). MATEMATICA I, vecchio ordinamento: risolvete gli esercizi, e il seguente. (6) Tracciate il grafico della funzione f (x) = x x + 1.

4 Lezione 17/11/011 prof. Roberto Marazzato / Esercizio 9) p 0) Quali sono i segni di f ' x e f ' y in P e Q? Risolvere f 1, y ( ) = e f ( x,) = ( ) nei punti per cui x + y =1. Calcolare il più grande valore z = f x, y Esercizio Per tracciare il Determinare grafico dominio, può segno esseree curve di livello sufficiente di z = ln( x + studiare y)? dominio, segno e segno della derivata Esercizio della funzione. Dominio: x + 1 0, per ogni x, D = R. Determinare dominio, segno e curve livello z = e x +y Segno: si tratta di risolvere la disequazione? x x + 1 > 0, che ha per soluzioni x >, essendo il denominatore sempre positivo. Derivata: f (x) = (x + 1) (x )x (x + 1) = x + 6x + (x + 1), il cui segno è (il denominatore è omesso): 1 x + 6x + Punto di massimo in (,1) e punto di minimo in ( 1/, ). Il grafico risulta: f(x) x FIGURA 1. Grafico della funzione

5 MATEMATICA II, vecchio ordinamento: risolvete gli esercizi, 5 e il seguente. (7) Sia f (x,y) = 1 log(x + y ). Mostrate che f xx + f yy = 0 (o, equivalentemente, che f x + f y = 0 ). Le derivate parziali che servono per il calcolo sono f x = 1 x x + y = x x + y f y y = x + y f xx = x + y x (x + y ) = y x x + y f yy = x y x + y Ne segue che f xx(x,y) f yy = 0. 5