COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 31 / 01 / 11 PROF. SSA C. NARDELLI

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1 COGNOME NOME MATRICOLA COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 31 / 01 / 11 PROF. SSA C. NARDELLI 1) Dire se il seguente sottoinsieme di a) non è un sottospazio vettoriale; b) è un sottospazio di dimensione 3; c) è un sottospazio di dimensione ; d) è un sottospazio di dimensione 1. R, S = { x = k,1,0, 1], k R} [ k ) Data la matrice A =, determinare i valori di k per cui il rango(a)= k k 1 a) per k=0; c) per k 0; 3) Determinare il nucleo della funzione lineare f ( x, = ( x, z) a) è un sottospazio di dimensione 3; b) è un sottospazio di dimensione ; c) è un sottospazio di dimensione 1; d) è un sottospazio di dimensione 0. x y ) Determinare la curva di livello 0 della funzione f ( x, = log x + y a) non esiste; b) è l unione di due rette; c) è una circonferenza; d) è un iperbole. x y 5) Determinare gli estremanti della funzione f ( x, = x y e a) non ammette punti di max e min; b) ammette solo punti di minimo; c) ammette solo punti di massimo; d) il punto (0,0) è di sella. xy 6) Scrivere lo sviluppo in serie di Taylor del I ordine nel punto (1,0) di f ( x, = x y e a) non si può calcolare; b) p ( x, = ex + ey ; c) p ( x, = y ; d) p ( x, = ey. 7) Dato il sistema lineare parametrico x z = 1 ky + z = 0, dire se z = k a) il sistema è incompatibile per k =0; b) il sistema è compatibile ed determinato se k 0 ; c) il sistema è compatibile e indeterminato se k 0 ; d) il sistema è incompatibile se k 0.

2 8) Un prestito è ammortizzato in anni, in capitalizzazione composta, al tasso effettivo annuo i=1% per i primi anni, e al tasso annuo i =8% per gli anni successivi, mediante il pagamento di rate posticipate in progressione aritmetica decrescente, di ragione 000, la prima delle quali risulta pari a Redigere il piano di ammortamento, determinando l importo del debito iniziale a) D= ; R 3 = ; QI = ; QC = 9) Date le due O.F. A = ( 1500,1; 5000, ; 10000, 3) e = ( 1500, ; 10000, 3; 5000,) determinare quella preferita secondo il criterio del T.I.R. a) A e B non sono confrontabili; b) A è preferita a B; c) B è preferita ad A; d) A è indifferente a B. B, 10) Quanti anni sono necessari affinché, ad un tasso trimestrale dell 8% in regime di interesse semplice, un capitale iniziale di 8000 produca un montante finale quadruplo a) t= 11) Calcolare il tasso di sconto equivalente, in regime dell interesse composto, all intensità istantanea di interesse trimestrale del 5% a) d= 1) Date le due O.F. dell es.16), calcolare per quali valori del tasso di interesse i (i>-1) sono equivalenti in base al criterio del R.E.A. a) per due valori distinti del tasso i; b) per nessun valore del tasso i; c) per ogni valore positivo del tasso i; d) per un solo valore del tasso i. 13) Se il montante finale di una rendita temporanea, differita di 3 anni, composta da 3 rate crescenti annue posticipate, in capitalizzazione composta al tasso i=7%, è pari a 15000, determinare il valore delle rate sapendo che R k = k R 3 / 3, se k=1, a) R 3 = 1) Sapendo che lo sconto vale D ( t) = 800 (0.08 t), determinare il valore attuale al tempo t=8, il capitale finale K, il tasso di interesse ed il tasso di sconto a) V(8)= ; b) K= ; c) i= ; d) d=. 15) In un mercato in cui sono presenti infiniti titoli aleatori, aventi le rispettive medie m e varianze v legate dalla relazione m = v, sapendo che il primo titolo ha media m=0% e varianza v=0%, fare il confronto tra tutti i titoli con il criterio media-varianza a) il primo titolo domina tutti gli altri; b) non esistono titoli dominati; c) non esistono titoli dominanti; d) i titoli non sono confrontabili.

3 COGNOME NOME MATRICOLA COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 16 / 03 / 11 PROF. SSA C. NARDELLI 1) Dire se il seguente sottospazio di a) non li contiene entrambi; b) li contiene entrambi; c) contiene solo il primo dei due; d) contiene solo il secondo dei due. R, S = { x = k, 1,0, 1], k R} [ contiene i vettori e, e 1 3 k + k ) Data la matrice A =, determinare i valori di k per cui il rango(a)=1 k k a) per k 0; c) per k=0; 3) Determinare il nucleo della funzione lineare f ( x, = ( x, a) è un sottospazio di dimensione 3; b) è un sottospazio di dimensione ; c) è un sottospazio di dimensione 1; d) è un sottospazio di dimensione 0. ) Determinare la curva di livello 0 della funzione a) non esiste; b) è l unione delle due bisettrici; c) è una circonferenza; d) è l unione dei due assi. 5) Determinare gli estremanti della funzione a) ammette infiniti punti di max e min vincolati; b) ammette solo punti di minimo vincolati; c) ammette solo punti di massimo vincolati; d) non ammette né punti di max, né di min. 1/ 3 ( x y, ) x y = x + y f x y f ( x, = x y e, con il vincolo xy = e 6) Scrivere il vettore gradiente di f ( x, = x 3 y 3 log( x y ) calcolato nel punto (1,-1) a) non si può calcolare; b) (-3,); c) (1,-1); d) (,-3). z = x 7) Dato il sistema lineare parametrico y = z k, dire se x = y a) il sistema è compatibile solo per k =0; b) il sistema è compatibile ed indeterminato per ogni k ; c) il sistema è compatibile e determinato per ogni k ; d) il sistema è incompatibile se k 0.

4 8) Un prestito è ammortizzato in 3 anni, in capitalizzazione composta, al tasso effettivo annuo i=1% per il primo anno, e al tasso annuo i =1% per gli anni successivi, mediante il pagamento di rate anticipate in progressione aritmetica crescente, di ragione 3000, la prima delle quali risulta pari a Redigere il piano di ammortamento, determinando l importo del debito iniziale a) D= ; R(t=3)= ; QI 0 = ; QC(t=)= 9) Date le due O.F. A ( 60,0; 3S,1; 9S, ; 7S,3; 81S,; 3S,5; 79S,6) B = ( 60,0; 790, 6) a) non esiste nessun valore di S; b) S=100 circa; c) S=10 circa; d) S=5 circa. = e,determinare S>0 in modo che siano equivalenti per il criterio del T.I.R. 10) Quanti anni sono necessari affinché, ad un tasso trimestrale di sconto del 5% in regime di sconto commerciale, un capitale iniziale di 500 produca un montante finale quadruplo a) t = anni mesi giorni 11) Calcolare il tasso annuo nominale convertibile infinite volte l anno, nel regime dell interesse composto, sapendo che il tasso annuo di sconto è pari al 5% a) j = 1) Date le due O.F. dell es.16), confrontarle in base al criterio del R.E.A., con S=1 a) A è preferita a B; b) B è preferita ad A; c) A e B sono indifferenti; d) A e B non sono confrontabili. 13) Se il montante finale di una rendita temporanea, differita di un anno, composta da 3 rate crescenti annue posticipate, in capitalizzazione composta al tasso i=15%, è pari a 15000, determinare il valore delle rate sapendo che ciascuna è il doppio della precedente a) R = 1) Sapendo che lo sconto vale D ( t) = ( t) /( t), determinare il valore attuale al tempo t=5, il capitale finale K, il tasso di interesse ed il tasso di sconto a) V(5)= ; b) K= ; c) i= ; d) d=. 15) In un mercato in cui sono presenti infiniti titoli aleatori, aventi le rispettive medie m e 3 varianze v legate dalla relazione m = v, sapendo che il primo titolo ha media m=0% e varianza v=0%, fare il confronto tra tutti i titoli con il criterio media-varianza a) il primo titolo domina tutti gli altri; b) non esistono titoli dominati; c) non esistono titoli dominanti; d) i titoli non sono confrontabili.

5 COGNOME NOME MATRICOLA COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 05 / 05 / 11 PROF. SSA C. NARDELLI R S { x R x 1 = x = 3x 3 = x } 1) Dato il seguente sottoinsieme di = dire se a) S non è sottospazio di R ; b) S è sottoinsieme di R ; c) S è sottospazio di R ; d) S è sottospazio di R solo se è finito. k + k ) Data la matrice A = k k, determinare i valori di k per cui il rango(a)=1 a) per k 0; c) per k=0; 3) Determinare il nucleo della funzione lineare f ( x, = ( u, x) a) è un sottospazio di dimensione 3; b) è un sottospazio di dimensione ; c) è un sottospazio di dimensione 1; d) è un sottospazio di dimensione 0. ) Determinare la curva di livello - della funzione f ( x, = xy a) non esiste; b) è un iperbole; c) è una circonferenza; d) è una retta. 5) Determinare gli estremanti della funzione f ( x, x + y a) ammette un punto di sella; b) ammette un punto di massimo e due punti di minimo; c) ammette un punto di minimo e due punti di massimo; d) non ammette né punti di massimo, né di minimo. =, con il vincolo ( = 0 6) Scrivere il vettore gradiente di f ( x, = xy calcolato nel punto (-1,1) a) non si può calcolare; b) (-1/,-1/); c) (1/,-1/); d) (-1/,1/). z = x 7) Dato il sistema lineare parametrico y = z k, dire se x = y a) il sistema è compatibile solo per k =0; b) il sistema è compatibile ed indeterminato per ogni k ; c) il sistema è compatibile e determinato per ogni k ; d) il sistema è incompatibile se k 0. x

6 8) Un prestito di viene ammortizzato in anni versando rate posticipate e costanti. Sapendo che il tasso di interesse del primo anno è pari al 16%, mentre al secondo anno diventa il 18%, si determini il piano di ammortamento completo a) R= ; QC 1 = ; QI = ; DR 1 =. 9) Confrontare con il criterio del T.I.R. le due operazioni finanziarie seguenti A = {( 1000;0),( 1000;1),( ;) } B = {( 100;0),( 100;1),( ;) } a) A è preferita a B; b) A è indifferente a B; c) B è preferita ad A; d) B non è confrontabile con A. 10) Dato il fattore di montante m ( t) = 1+ log(1 + t), calcolare l intensità istantanea di interesse al tempo t=0 a) δ(0) = 1; b) δ(0) = ; c) δ(0) = 0; d) δ(0) non si può calcolare. 11) Il valore attuale di una rendita a rate annue costanti pari a 700, valutata in capitalizzazione composta al tasso di interesse annuo del 7%, è di 070,96 e la prima rata è riscuotibile tra 7 anni. Calcolare il numero di rate a) n= 1) Determinare il tasso annuo nominale convertibile giornalmente equivalente alla forza istantanea di interesse del 36% a) j 360 = % 13) Confrontare con il criterio del R.E.A. a tasso 0,5% nel regime dell interesse semplice le due O.F. dell'esercizio 16) a) A è preferita a B; b) B è preferita ad A; c) A è indifferente a B; d) A non è confrontabile con B perché non sono omogenee. 1) Sapendo che lo sconto vale D ( t) = ( t) /( t), determinare il valore attuale al tempo t=, il capitale finale K, il tasso di interesse ed il tasso di sconto a) V(5)= ; b) K= ; c) i= ; d) d=. 15) Sapendo che il primo titolo aleatorio rende rispettivamente r1 = 300%, r = 100%, con la prima probabilità un terzo della seconda ed il secondo titolo rende r3 = 100%, r = 300%, con la prima probabilità tripla della seconda, stabilire se uno domina l altro in base al criterio media-varianza a) il titolo 1 domina il titolo ; b) il titolo domina il titolo 1; c) i titoli sono indifferenti; d) i titoli non sono confrontabili.

7 COGNOME NOME MATRICOLA COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 1 / 07 / 11 PROF. SSA C. NARDELLI R = { x R x1 = x = x3 = 1} 1) Dato il seguente sottoinsieme di S dire se a) S non è sottospazio di R ; b) S è sottoinsieme di R ; c) S è sottospazio di R ; d) nulla si può dire visto che non si conosce la quarta componente. k 0 k ) Data la matrice A = k 0 k, determinare i valori di k per cui il rango(a)= 1 1 a) per k 0; c) per k=0; 3) Determinare il nucleo della funzione lineare f ( x, = ( u y + x) a) è un sottospazio di dimensione ; b) è un sottospazio di dimensione ; c) è un sottospazio di dimensione 1; d) è un sottospazio di dimensione 0. ) Determinare la curva di livello della funzione f ( x, = x y a) non esiste; b) è una parabola; c) è una circonferenza; d) è una retta. 5) Determinare gli estremanti della funzione f ( x, x + y a) ammette un punto di sella; b) ammette solo un punto di massimo; c) ammette solo un punto di minimo; d) non ammette né punti di massimo, né di minimo. =, con il vincolo ( = 0 6) Scrivere il vettore gradiente di f ( x, = log( xy ) calcolato nel punto (-1,1) a) non si può calcolare; b) (-,-1); c) (,-1); d) (-1,). z = x 7) Dato il sistema lineare parametrico y = z, dire se x = y a) il sistema è compatibile solo per k =0; b) il sistema è compatibile ed indeterminato per ogni k ; c) il sistema è compatibile e determinato per ogni k ; d) il sistema è incompatibile se k 0. x

8 8) Un prestito di 1000 viene ammortizzato in 3 anni versando rate posticipate e costanti. Sapendo che il tasso di interesse del primo anno è pari al 15%, mentre al secondo e terzo anno diventa il 18%, si determini il piano di ammortamento completo a) R= ; QC 1 = ; QI 3 = ; DR = 9) Confrontare con il criterio del T.I.R. le due operazioni finanziarie seguenti A = {( 1000;0),( 1000;1),( + 00;) } B = {( 1100;0),( 1100;1),( + 00;) } a) A è preferita a B; b) A è indifferente a B; c) B è preferita ad A; d) B non è confrontabile con A. 10) Dato il fattore di montante m ( t) = 1+ t, calcolare l intensità istantanea di interesse al tempo t=0 a) δ(0) = 1; b) δ(0) = 1/; c) δ(0) = 0; d) δ(0) non si può calcolare. 11) Il valore attuale di una rendita temporanea con 7 rate annue costanti, valutata in capitalizzazione composta al tasso di interesse annuo del 7%, è di 7000 e la prima rata è riscuotibile tra 7 anni. Calcolare l importo delle rate a) R= 1) Determinare il tasso annuo nominale convertibile settimanalmente equivalente alla forza istantanea di interesse del 5,% a) j= % 13) Confrontare con il criterio del R.E.A. a tasso 0% nel regime dell interesse semplice le due O.F. dell'esercizio 9) a) A è preferita a B; b) B è preferita ad A; c) A è indifferente a B; d) A non è confrontabile con B perché non sono omogenee. 1) Sapendo che il valore attuale vale V ( t) = (00) /( t), determinare lo sconto al tempo t=, il capitale finale K, il tasso di interesse ed il tasso di sconto a) V(5)= ; b) K= ; c) i= ; d) d=. 15) Sapendo che tre titoli aleatori hanno rispettivamente medie m 1 > m = m3 e varianze v 1 = v < v3, stabilire se uno domina gli altri in base al criterio media-varianza a) il titolo 1 domina i titoli e 3; b) il titolo domina i titoli 1 e 3; c) i tre titoli sono indifferenti; d) i tre titoli non sono confrontabili.

9 COGNOME NOME MATRICOLA COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 06 / 09 / 11 PROF. SSA C. NARDELLI R S = { x R x1 = x = x3 = k x = k} 1) Dato il seguente sottoinsieme di, dire se a) S non è sottospazio di R ; b) S è solo un sottoinsieme di R ; c) S è sottospazio di R ; d) S non contiene il vettore nullo. k 0 k 0 ) Data la matrice A =, determinare i valori di k per cui il rango(a)= a) per k=1; c) per k=0; 3) Determinare il nucleo della funzione lineare f ( x, = ( u z + y + x) a) è un sottospazio di dimensione 3; b) è un sottospazio di dimensione ; c) è un sottospazio di dimensione 1; d) è un sottospazio di dimensione 0. ) Determinare la curva di livello e della funzione f ( x, = log( e x a) non esiste; b) è una iperbole; c) è una circonferenza; d) è una retta. x 5) Determinare gli estremanti della funzione f ( x, = y e, con il vincolo x y = 0 a) ammette sia massimi che minimi; b) ammette solo punti di massimo; c) ammette solo punti di minimo; d) non ammette né punti di massimo, né di minimo. y x 6) Scrivere il vettore gradiente di f ( x, = ( x e )( y e ) calcolato nel punto (0,0) a) non si può calcolare; b) (1,1); c) (-1,-1); d) (0,0). z = x k 7) Dato il sistema lineare parametrico y = z, dire se x = y k a) il sistema è compatibile solo per k =0; b) il sistema è compatibile ed indeterminato per ogni k ; c) il sistema è compatibile e determinato per ogni k ; d) il sistema è incompatibile se k 0.

10 8) Un prestito di 1000 viene ammortizzato in 3 anni versando rate posticipate e costanti. Sapendo che il tasso di interesse del primo anno è pari al 19%, mentre al secondo e terzo anno diventa il 15%, si determini il piano di ammortamento completo a) R= ; QC 3 = ; QI = ; DR 1 =. 9) Date le due operazioni finanziarie seguenti A {( 1000;0),( 1000;1),( S;) } B = ( 1100;0),( 1100;1),( + 00;) determinare S>0 in modo che abbiano lo stesso T.I.R a) non esiste nessun valore di S; b) S=00; c) S=00; d) S=181,73. = e { } 10) Dato il fattore di montante m ( t) = 1+ t, calcolare l intensità istantanea di interesse al tempo t=0 a) δ(0) = 0; b) δ(0) = 1/; c) δ(0) = 1; d) δ(0) non si può calcolare. 11) Il valore attuale di una rendita temporanea con rate costanti, valutata in capitalizzazione composta al tasso di interesse annuo del 5%, è di 660,76, con la prima rata riscuotibile tra anni e la seconda tra anni. Calcolare l importo delle rate a) R= 1) Determinare il tasso di sconto settimanale equivalente alla forza istantanea di interesse annua del 7,9% a) d m = % 13) Confrontare con il criterio del R.E.A. a tasso 0% le due O.F. dell'esercizio 16) ponendo S=300 a) A è preferita a B; b) B è preferita ad A; c) A è indifferente a B; d) A non è confrontabile con B perché non sono omogenee. 1) Sapendo che tre titoli aleatori hanno rispettivamente medie m 1 < m = m3 e varianze v 1 = v > v3, stabilire se uno di essi domina gli altri in base al criterio media-varianza a) il titolo 1 domina i titoli e 3; b) il titolo domina i titoli 1 e 3; c) il titolo 3 domina i titoli 1 e ; d) i tre titoli non sono confrontabili. 15) Sapendo che il montante vale M ( t) = (600) /( t), determinare l interesse al tempo t=6, il capitale iniziale, il tasso di interesse ed il tasso di sconto a) I(6)= ; b) C= ; c) i= ; d) d=.

11 COGNOME NOME MATRICOLA COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 13 / 1 / 11 PROF. SSA C. NARDELLI R, S = { x = ke ke, k R} 1) Dire se il seguente sottospazio di v = [ 1,,1, ] a) non lo contiene; b) lo contiene; c) lo contiene ma per due valori di k; d) nulla si può dire. k + k ) Data la matrice A =, determinare i valori di k per cui il rango(a)=1 k k a) per k 0; c) per k=0; 3) Determinare il nucleo della funzione lineare f ( x, = ( x, z) a) è un sottospazio di dimensione 0; b) è un sottospazio di dimensione 1; c) è un sottospazio di dimensione ; d) è un sottospazio di dimensione 3. contiene il vettore ) Determinare l immagine della funzione lineare f ( x, = ( x z a) è un sottospazio di dimensione 0; b) è un sottospazio di dimensione 1; c) è un sottospazio di dimensione ; d) è un sottospazio di dimensione 3. 5) Data la matrice dell es. ) dire per quali k è invertibile a) per k 0; c) per k=0; z = x 6) Risolvere il seguente sistema lineare omogeneo y = z a) non ammette soluzione; b) ammette una sola soluzione; c) ammette 1 soluzioni; d) ammette soluzioni. z = x 7) Dato il sistema lineare parametrico, dire se y = z k a) il sistema è incompatibile per k =0; b) il sistema è incompatibile se k 0 ; c) il sistema è compatibile e determinato per ogni k ; d) il sistema è compatibile ed indeterminato per ogni k.

12 8) Un prestito è ammortizzato in anni, in capitalizzazione composta, al tasso annuo di interesse i=1% per il primo anno, e al tasso annuo i =1% per gli anni successivi, mediante il pagamento di rate posticipate costanti. Sapendo che la prima quota di capitale è pari a 5500, redigere il piano di ammortamento completo a) D= ; R= ; QI = ; QC 3 = 9) Date le due O.F. A = ( 1700,0; 1700,1;00, ; 00,3) e B = ( 1500,0; 1500,1;000,;000,3) a) non sono confrontabili; b) A è preferita a B; c) B è preferita ad A; d) A è indifferente a B., confrontarle in base al criterio del T.I.R. 10) A quale tasso annuo di interesse si deve investire un capitale iniziale di 7000, affinché produca dopo due anni un montante finale ad interesse composto doppio di quello prodotto ad interessi semplici? a) i = 11) Calcolare il tasso annuo nominale convertibile infinite volte l anno, nel regime dell interesse composto, sapendo che il tasso di sconto trimestrale è pari al 6% a) j m = 1) Date le due O.F. dell es.16), determinare a quale tasso di interesse sono equivalenti in base al criterio del R.E.A. a) i= 0%; b) i=1%; c) i=100%; d) non esiste nessun tasso i. 13) Se il montante finale di una rendita temporanea, differita di anni, composta da 3 rate crescenti annue posticipate, in capitalizzazione composta al tasso i=15%, è pari a 15000, determinare il valore delle rate sapendo che ciascuna è il doppio della precedente a) R = 1) Sapendo che il valore attuale vale V ( t) = 000 (1 0.5 t), determinare lo sconto al tempo t=, il capitale finale K, il tasso di interesse ed il tasso di sconto a) D()= ; b) K= ; c) i= ; d) d=. 15) In un mercato in cui sono presenti infiniti titoli aleatori, aventi le rispettive medie m e varianze v legate dalla relazione m = v + v, fare il confronto tra tutti i titoli con il criterio media-varianza a) il titolo (0,0) domina tutti gli altri; b) non esistono titoli dominati; c) non esistono titoli dominanti; d) esistono titoli dominati.