Primo appello 08 novembre 2011

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1 Università Carlo Cattaneo Istituto di Metodi Quantitativi Primo appello 08 novembre Risolvere i seguenti esercizi a. (5pt) Enunciare la definizione di derivata prima in x 0 A di una funzione f : A R R. Calcolare la funzione derivata prima della funzione f (x) = e x2 + x x + 1 Scrivere, infine, l espressione analitica della retta tangente al grafico di f (x) nel punto di ascissa x = 0. b. (3pt) Un bene ha costo marginale C (q) = 40 0, 2q. Determinare la funzione di costo, sapendo che la produzione di 10 unità ha un costo totale C (10) = 490, 00. c. (3pt) Date le matrici [ A = Calcolare la matrice C = A A T + B. ] [ 2 1, B = 1 2 ] 1

2 2. Cassa Depositi e Prestiti concede ad un Comune un prestito di importo S = , 00 per 2 anni. Il rimborso avviene mediante il pagamento di rate semestrali. Il tasso di interesse della rateizzazione è i = 3, 40% annuo composto. a. (4pt) Calcolare l importo delle rate se l ammortamento avvenisse alla Francese. b. (3pt) Scomporre la seconda rata in quota di capitale e quota di interesse. c. (2pt) Dopo il pagamento della seconda rata, a seguito di indicazioni della BCE, deve essere aggiornato il tasso di interesse per le rate successive al 4, 00% annuo composto. Calcolare l importo delle nuove rate da corrispondere alle ultime due scadenze. d. (2pt) Enunciare la condizione di chiusura elementare per un ammortamento. Calcolare l importo delle prima rata che il comune avrebbe dovuto pagare se il prestito iniziale fosse stato ammortizzato all Italiana. 2

3 3. (Standard) Risolvere i seguenti esercizi: a. (9pt) Data la funzione f (x) = x 2 e x 1. Determinarne il dominio, il segno e le intersezioni con gli assi cartesiani. Individuare eventuali asintoti della funzione. 2. Determinarne gli eventuali punti stazionari e studiarne la monotonia (il crescere e decrescere), individuando eventuali massimi e/o minimi. Dopo avere studiato la convessità di f, evidenziando eventuali punti di flesso, tracciarne un grafico qualitativo. 3. Calcolare l integrale indefinito (x 2 e x ) dx. b. (2pt) Due effetti del valore di 1.500, 00 hanno scadenza, rispettivamente, tra un mese e tre mesi. Il creditore presenta i due titoli allo sconto presso un istituto di credito che pratica il tasso di sconto commerciale annuo d = 4, 50%. Calcolare il netto incasso dell operazione sui due effetti. 3

4 3. (Challenge) Risolvere i seguenti esercizi. a. (4pt) Un titolo a reddito fisso offre i pagamenti epoca (anni) 2/12 8/12 14/12 pagamenti 35, 00 35, , 00 Il mercato presenta una struttura per scadenze piatta con h (0) (0, t) = i = 3, 80% per ogni t 0. Calcolare la duration del titolo. b. (3pt) Determinare per quali valori del parametro reale k il sistema lineare ammette un unica soluzione 1 2 k x = 6 3 k c. (4pt) Data la funzione F (x, y) = x 2 e x2 +y Scriverne il gradiente; 2. Trovarne gli eventuali punti stazionari; 3. Determinare la natura dei punti stazionari trovati (punti di massimo o di minimo). 4

5 Università Carlo Cattaneo Primo appello Istituto di Metodi Quantitativi 08 novembre 2011 (SOLUZIONI) 1. (a) Abbiamo f (x) = 2xe x2 + 1 (x+1) 2.Essendo f (0) = 1 e f (0) = 1, la retta tangente è y = x + 1. b. Abbiamo C (q) = 40q 0.1q 2 + k e, dovendo essere C (10) = 490, si ottiene k = 490, da cui k = (b) Abbiamo C = = + = (a) L importo della rata può essere calcolato attraverso la condizione di chiusura iniziale: R = (1, 034) + R 1/2 1, R (1, 034) + R 3/2 (1, 034) 2 dalla quale si ricava R = , 27. (b) Il debito residuo dopo il pagamento della prima rata è D 1 = (1, 034) 1/2 R = , 54. Quindi la quota ( di interessi ) nella seconda rata sarà I 2 = , 54 (i 2 ) = , 54 (1, 034) 1/2 1 = 1.721, 05 e la quota di capitale sarà C 2 = R I 2 = , 22. (c) La variazione del tasso di interesse si applica alle ultime due rate, che devono ammortizzare un debito pari a D 2 = , 54 (1, 034) 1/2 R = , 32. Deve quindi essere R R , 32 = + 1/2 (1, 04) 1, 04 da cui R = , 82. (d) La condizione di chiusura elementare richiede S = n C i. Nell ammortamento all italiana si applica questa condizione di chiusura con quote di capitale costanti e si ottiene C = = , 00. La prima rata avrebbe dovuto pagare una 4 [ ] quota di interesse pari a I 1 = (1, 034) 1/2 1 = 2.275, 82. Quindi R 1 = C + I 1 = , (St.) (a) 1. Il dominio è A := (, + ). La funzione interseca gli assi nel punto (0, 0) ed è sempre positiva. Agli estremi del dominio si trovano i valori dei limiti f (x) = 0 (quindi y = 0 è un asintoto orizzontale); lim f (x) = + lim x (non ci sono asintoti per x + ). i=1 x + 5

6 2. Si ha f (x) = xe x (x + 2) (la funzione è derivabile in tutto il suo dominio) da cui f (x) = 0 per x 1 = 0 e x 2 = 2 (, 2] [ 2, 0] [0, + ) e x x x + segno di f + + monotonia di f Pertanto si ha un punto di massimo relativo in x = 2 ed un punto di minimo relativo in x = 0. La funzione ammette derivata seconda f (x) = e x (x 2 + 4x + 2). Pertanto, poiché f (x) 0 pre x (, 2 2 ) e per x ( 2 + 2, + ), dove la dunzione sarà convessa. Ci sono quindi due punti di flesso in x = 2 ± 2. Il grafico qualitativo è y x 3. Integrando per parti si ottiene x 2 e x dx = x 2 e x 2xe x dx = x 2 e x 2xe x + 2e x dx = e x (x 2 2x + 2) + C. b. Il valore attuale dei due effetti è A = ( ) ( 1 4, 50% , 50% 3 12) = 2.977, (Ch) (a) La duration è epoca (anni) 2/12 8/12 14/12 pagamenti 35, 00 35, , 00 D = 35 2 (1, ) 2/ (1, ) 8/ (1, 038) 14/12 12 = 1, 12 anni 35 (1, 038) 2/ (1, 038) 8/ (1, 038) 14/12 (b) Deve essere non singolare la matrice dei coeffi cienti. Poiché 1 2 k + 1 det = 2 ( 3k + k 2 2 ) 3 k deve essere k 2 3k 2 0, ovvero k ,

7 c. 1. Il gradiente è il vettore F (x, y) = [ 2x 2xe x2 +y 2 1 2ye ] x2 +y I punti stazionari sono le soluzioni del sistema { 2x 2xe x 2 +y 2 1 = 0 2ye x2 +y 2 1 = 0 le cui soluzioni sono P 1 = (0, 0), P 2 = (1, 0), P 3 = ( 1, 0). 3. La matrice Hessiana è 2e 2 x 2 +y 2 F (x, y) = 1 4x 2 e x2 +y xye x2 +y 2 1 4xye x2 +y 2 1 2e x2 +y 2 1 4y 2 e x2 +y 2 1 Quindi, calcolando tale matrice nei singoli punti si ottiene: 2e P 1 2 F (0, 0) = e 1. Poiché H 1 = 2 2e 1 > 0, H 2 = 4e 2( 1) 4e 1 < 0 il punto non è un estremante P 2 2 F (1, 0) =. Poiché H = 4 < 0, H 2 = 8 > 0, il punto è di massimo locale P 3 2 F ( 1, 0) =. Poiché H = 4 > 0, H 2 = 8 > 0, il punto è di massimo locale. 7