Indice. 1 Disequazioni 4. 2 Funzioni 7. 3 Limiti e continuità Calcolo di erenziale Calcolo integrale Algebra lineare 27

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1 Indice Disequazioni 4 Funzioni 7 Limiti e continuità 4 Calcolo di erenziale 5 5 Calcolo integrale 4 6 Algebra lineare 7 7 Funzioni di più variabili 8 Calcolo nanziario 5 9 Soluzioni 4 9. Esercizi Capitolo Esercizi Capitolo Esercizi Capitolo Esercizi Capitolo Esercizi Capitolo Esercizi Capitolo Esercizi Capitolo Esercizi Capitolo

2 Capitolo Disequazioni Esercizio.. La disequazione p x 9 > x + è veri cata per: (a) x _ x (b) x (c) nessun valore di x (d) x Esercizio.. Le soluzioni della disequazione j p x j x sono: (a) Non esistono soluzioni reali (b) x = (c) x (d) x _ x = Esercizio.. La disequazione log (x ) è veri cata per: (a) non ammette soluzioni (b) < x 4 (c) x > (d) x 4 Esercizio.4. Le soluzioni di p x + < x + sono (a) x > +p 5 (b) x [ ; p 5] [ ( +p 5; +) (c) x < p 5 (d) x < p 5 _ x > +p 5 Esercizio.5. La disequazione p x > x + è veri cata per: (a) ogni valore reale di x (b) x p _ x p (c) x < (d) x 6 jx Esercizio.6. La disequazione j è veri cata per: (a) x = (b) x (c) Nessun valore reale (d) 8x R

3 CAPITOLO. DISEQUAZIONI Esercizio.7. La disequazione log x 0 è veri cata per: x + (a) < x (b) x > (c) nessun valore di x (d) x > p Esercizio.8. La disequazione log x > è veri cata per: 4 (a) x > (b) 0 < x < 6 (c) x > (d) 0 < x < 6 q Esercizio.9. La disequazione log x+ 0 è veri cata per: x (a) x > (b) x < _ x > (c) nessun valore di x (d) x Esercizio.0. La disequazione jx 9j > x è veri cata per: (a) x p _ x p (b) 8x 6= (c) nessun valore reale di x (d) x p Esercizio.. Le soluzioni della disequazione log( p x (a) x p< _ x > (b) 4 + e < x < p p 4 + e (c) 4 + e < x < [ < x < p 4 + e (d) ( e < x < ) [ ( < x < + e) 4) < sono: Esercizio.. La disequazione p x > x 5 è veri cata per: (a) x 5 (b) ogni valore reale di x (c) x _ x (d) x _ x > 5 Esercizio.. La disequazione log (x ) è veri cata per: 4 (a) < x 5 (b) non ammette soluzioni (c) x > (d) x 5 4 p x Esercizio.4. Le soluzioni della disequazione > 0 sono x + (a) Non esistono soluzioni (b) x > (c) x _ x + (d) x

4 CAPITOLO. DISEQUAZIONI 4 (x Esercizio.5. La disequazione ) > è veri cata per: (a) x < (b) non ammette soluzioni (c) x > (d) x > Esercizio.6. La disequazione x p x + 5 q(x + 6) < 0 è veri cata per: (a) 5 x < 4 (b) 5 x 4 (c) 5 < x 4 (d) 5 < x < 4 Esercizio.7. La disequazione x + x < è veri cata per: (a) x < = _ x > 6 (b) = < x < _ < x < 6 (c) x < = _ x > (d) = < x < 6 Esercizio.8. La disequazione log x è veri cata per: x p+ p (a) x > (b) < x < (c) nessun valore di x (d) x > x Esercizio.9. La disequazione è veri cata per: (a) x (b) x _ x (c) x 0 (d) x p _ x p Esercizio.0. La disequazione x (a) x > 4log (b) x < (c) x > (d) x < log log 4log log log 4log log log 4log log log 4 < x è veri cata per:

5 Capitolo Funzioni Esercizio.. La funzione f (x) = (a) pari (b) dispari (c) nè pari nè dispari (d) sia pari che dispari x e x + è: Esercizio.. La funzione inversa f della funzione f(x) = e x è: (a) f (y) = log (x ) ; x < 0 (b) f (y) = log (x ) ; x > (c) f log x log (y) = ; x < 0 (d) f (y) = log y + log ; y > 0 Esercizio.. La funzione f(x) = log p x + 5 è: (a) una funzione pari (b) una funzione dispari (c) una funzione inferiormente limitata (d) una funzione biiettiva Esercizio.4. Siano f(t) = p t + e g(x) = log (x) z = f g è: (a) z(x) = p log(x + ); x > (b) z(x) = p log x; x 0 (c) z(x) = p x + [log(x) ] ; x > 0 (d) z(x) = p log x; x. La funzione composta

6 CAPITOLO. FUNZIONI 6 Esercizio.5. Il dominio di f(x) = log p q q x è: (a) x < _ x > q q (b) x _ x q q (c) < x < q q (d) x Esercizio.6. Il dominio della funzione f(x) = log p è: x (a) x > (b) R n fg (c) R (d) R n f0g Esercizio.7. La funzione f (x) = x4 4 è: x (a) de nita su tutto R (b) pari (c) nè pari nè dispari (d) dispari Esercizio.8. Date le funzioni f(x) = x e g(t) = ; la funzione composta log t z = g f è: (a) z(t) = log t per t > 0 (b) z(x) = per x > 0 ^ x 6= log x (c) z(x) = x+log x x log x per x > 0 (d) z(t; x) = x log t per x 6= 0 ^ t > 0 Esercizio.9. La funzione f (x) = log x p x è: (a) sempre strettamente positiva (b) strettamente positiva in ( ; 0)[(; +) e strettamente negativa in (0; ) (c) strettamente negativa in (0; ) e strettamente positiva in (; +) (d) strettamente negativa in ( ; 0) e strettamente positiva in (0; +) r x + Esercizio.0. Il dominio della funzione f(x) = log x è: (a) x _ x > (b) x > (c) < x < (d) x < _ x >

7 CAPITOLO. FUNZIONI 7 Esercizio.. Date le funzioni f (t) = p t + e g (x) = x la funzione composta z = f g è: (a) z (x) = p x 9 + ; x (b) z (x) = p x 6 + ; x (c) z (x; t) = p t + + x ; t (d) z(x) = (x + ),x Esercizio.. La funzione f(x) = (a) de nita solo per x > 0 (c) sempre negativa p log jxj è: x 9 (b) pari (d) dispari Esercizio.. Date le funzioni f(t) = e g(x) = log(x+); la funzione composta t z = f (g (x)) è: (a) z (x) = log(x+), x 6= 0 e x > x (b) z (x) =, x 6= 0 e x > (log(x+)) (c) z (x) =, x > 0 log x (d) z (x; t) = + log(x + ), t 6= 0 e x > t Esercizio.4. Data la funzione f (x) = log ( + x ); la sua inversa è: (a) non esiste (b) f (y) = q( )y (c) f (y) = p e y (d) f (y) = log y +y per y > 0 Esercizio.5. Date le funzioni f (t) = x e g (x) = log ( + t) ; la funzione composta z = f g è: (a) z (x) = ( + x) (b) z (x) = ( )x log (+x) per x > (c) z (x) = p x per x > (d) z (x) = x per x 6= 0 Esercizio.6. Il dominio della funzione f(x) = s log x + x (a) [; +) (b) ; 4 (c) R (d) R n è:

8 CAPITOLO. FUNZIONI 8 Esercizio.7. Date le funzioni f(x) = log(x+) e g(t) = e t, la funzione composta z = g (f (x)) è: (a) z = (x + ) 8x6= (b) z = (x + ) per x > (c) z = (x + ) 8x R (d) z = log(e x + ) 8x R Esercizio.8. Calcolare, se esiste, la funzione inversa della funzione f (x) = x 4 x + : (a) Non esiste (b) f (y) = y 4 y+ (c) f (y) = x+ (d) f (y) = y 4 x 4 y r x + Esercizio.9. Il dominio della funzione f(x) = log x è: p p p (a) ( ; ) [ ( ; +) (b) ( ; ) [ ( ; +) (c) R (d) ( ; ) [ ( p ; +) Esercizio.0. Date le funzioni f(x) = log x e g(t) = p t la funzione composta z = g f è: (a) z(t) = log p t q (c) z(x) = log x per t > 0 (b) z(t; x) = p t log x per x > per x > (d) z(x) = p x 8x R Esercizio.. La funzione f(x) = exp p x è: (a) una funzione pari (b) una funzione dispari (c) una funzione inferiormente limitata (d) una funzione biiettiva Esercizio.. Date le funzioni: f(t) =j t j e g(x) = exp x, la funzione composta z = f (g (x)) è: (a) z =j x j exp x ; 8x R (b) z = exp j x j x 6= (c) z =j exp x j 8x R (d) z =j exp x j ; 8x R

9 CAPITOLO. FUNZIONI 9 Esercizio.. Date le funzioni f(x) = funzione composta z(x) = g (f (x)) : (a) z(x) = x ; 8x R (b) z(x) =, x 6= x+ (c) z(x) = x, x > x+ (d) z(x) = x, 8x R x+ p x + e g(t) = t si individui la Esercizio.4. Data la funzione f (x) = x+ la sua inversa è: (a) f (y) = + log y per y > 0 (b) f (y) = log(y + ) per y > (c) non esiste (d) f (y) = p y + per y > Esercizio.5. Data la funzione f (x) = x + 4 la sua inversa: (a) non esiste (b) è f (y) = log (y 4) per y > 4 (c) è f (y) = log (y +4) 8y R (d) è f (x) = 8x R x +4 Esercizio.6. Il dominio della funzione f(x) = q (a) x 0 (b) R n fg (c) x _ x > (d) x 0 _ x > x+ x è: x Esercizio.7. La funzione f (x) = e x = è: (a) strettamente positiva in ( ; log =) e strettamente negativa in (log =; +) (b) strettamente negativa in ( ; log ) [ (0; +) e strettamente positiva in ( log ; 0) (c) strettamente negativa in ( ; log =) e strettamente positiva in (log =; +) (d) strettamente positiva in ( ; log ) [ (0; +) e strettamente negativa in ( log ; 0) Esercizio.8. Data la funzione f (x) = exp( + x ) la sua inversa è: (a) f (y) = p log y y > 0 (b) f (y) = per 8y R log(+y ) (c) nessuna delle funzioni suggerite (d) f (x) = p y 8y R

10 Capitolo Limiti e continuità x Esercizio.. Il valore di lim è: x!+ e x (a) 0 + (b) (c) + (d) = log(x 4) Esercizio.. Calcolare lim : x!5 x 5 (a) 0 (b) + (c) (d) Esercizio.. La funzione f(x) = x + x possiede (a) un asitoto verticale e uno orizzontale (b) un asitoto obliquo (c) solo un asintoto orizzontale (d) solo un asintoto verticale e x 4 Esercizio.4. Il limite lim vale: x!4 x 4 (a) + (b) (c) 4 (d) 0 + Esercizio.5. La funzione f(x) = e x + x + x ammette: (a) asintoto verticale x = 0 per x! 0 e nessun altro asintoto (b) asintoto obliquo y = x per x! e nessun altro asintoto (c) asintoto verticale x = 0 per x! 0 e asintoto obliquo y = x per x! (d) asintoto orizzontale y = 0 per x! e nessun altro asintoto x x + x Esercizio.6. Il limite lim vale: x! x (a) (b) 0 (c) (d) +

11 CAPITOLO. LIMITI E CONTINUITÀ Esercizio.7. Il limite lim x!+ x 4 + e x + 5x x + log x vale: (a) + (b) (c) 0 (d) x 00 Esercizio.8. Il valore del lim x!+ (log x) ( + e x ) è: (a) + (b) 0 + (c) (d) non esiste Esercizio.9. Per quali valori del parametro R la seguente funzione risulta continua su tutto R? x + se x < 0 f (x) = jxj se x 0 (a) = =0 (b) = 9=0 (c) = 0 (d) = 9=0 e x + x log x Esercizio.0. Il lim è: x!+ x + a) e (b) + (c) 0 + (d) Esercizio.. La funzione f(x) = x + x ammette: x (a) asintoto verticale x = 0 e asintoto obliquo destro y = x (b) asintoto verticale x = 0 e nessun altro asintoto (c) asintoto verticale x = 0 e asintoto orizzontale y = (d) asintoto verticale destro x = 0 e asintoto obliquo y = x + x + x Esercizio.. Il limite lim vale: x!+ e x (a) (b) + (c) 0 (d) e x + log x Esercizio.. Il limite lim vale: x! e x e (a) non esiste (b) (c) + (d) 0 e

12 CAPITOLO. LIMITI E CONTINUITÀ x 5x + Esercizio.4. Il limite lim vale: x! e x 4x (a) (b) (c) 0 (d) + Esercizio.5. La funzione f(x) = x 6x + 9 ammette: (a) asintoto orizzontale y = 0 e asintoti verticali x = e x = (b) asintoto orizzontale y = 0 e asintoto obliquo y = x (c) asintoto orizzontale y = 0 e asintoto verticale x = (d) asintoto obliquo y = x e nessun altro asintoto Esercizio.6. Il valore di lim x!+ (a) 0 (b) + (c) p x + p x + 4 è: p (d) non esiste log(4 x) Esercizio.7. Il limite lim vale: x! x (a) (b) (c) + (d) 0 Esercizio.8. Il limite lim x 4 +e x +x vale: x!+ x +(log x) 5 +x (a) + (b) 4 5 (c) (d) 0 log x Esercizio.9. Il limite lim x! p vale: x (a) (b) + (c) 0 (d) + Esercizio.0. La funzione f(x) = x + x 5 ammette: (a) asintoto orizzontale y = e asintoto verticale x = 5 (b) asintoto verticale x = 5 e asintoto obliquo y = x 5 (c) asintoto orizzontale y = ma nessun asintoto verticale (d) asintoto verticale x = 5 ma nessun asintoto orizzontale Esercizio.. Sia f una funzione continua sull intervallo [0; 0] e tale che f (0) = e f (0) = : Allora f (a) non ha punti di ottimo (b) ammette sempre uno e un solo zero nell intervallo (0; 0) (c) ammette almeno uno zero nell intervallo (0; 0) (d) è strettamente crescente

13 Capitolo 4 Calcolo di erenziale Esercizio 4.. La funzione f(x) = jx 4j possiede su R: (a) due minimi assoluti e un massimo relativo (b) un minimo assoluto e nessun massimo (c) un solo minimo e un solo massimo (d) nessun punto di ottimo. Esercizio 4.. La funzione f (x) = xe x è: (a) sempre strettamente decrescente (b) strettamente crescente in (0; +) e strettamente decrescente in ( ; 0) (c) sempre strettamente crescente (d) strettamente crescente in ( ; +) e strettamente decrescente in ( ; ) Esercizio 4.. L equazione della retta tangente alla funzione: f(x) = log x in corrispondenza del punto x 0 = è: (a) y = x (b) y = (x ) (c) y = x + (d) y = x Esercizio 4.4. Lo sviluppo in formula di Mac-Laurin (con resto di Peano) arrestato al secondo ordine della funzione f(x) = x è dato da: x + (a) f(x) = x + x + o(x ) (b) f(x) = x + 4x + o(x ) (c) f(x) = x +! x + o(x ) (d) f(x) = x + x + o(x )

14 CAPITOLO 4. CALCOLO DIFFERENZIALE 4 Esercizio 4.5. La funzione: f (x) = x + se x log x se x > ; R è continua e derivabile su tutto il dominio: (a) 8 e = (b) = e 8 (c) per = e = (d) = e = Esercizio 4.6. La derivata della funzione inversa di f(x) = log p x + in y 0 = f (x 0 ) con x 0 = è: (a) f (y 0 ) = 8 (b) f (y 0 ) = 8 (c) f (y 0 ) = log (d) f (y 0 ) = log Esercizio 4.7. L equazione della retta tangente a f(x) = log p x + x + 4 in x 0 = è: (a) y = log p 4 + (x ) 4 (b) y = x + log p 4 8 (c) y = x 8 4 (d) y = x + log p Esercizio 4.8. Per quali valori di ; R la funzione 8 < e p x+ se < x 0 f(x) = : log(x + ) + x se x > 0 è continua e derivabile sul suo dominio? (a) = = 0 (b) = 0 e 8 (c) = ( ) (d) per nessun e e Esercizio 4.9. La funzione f(x) = jx j, sull intervallo [0; ] ha: (a) un minimo in x = e due massimi in x = 0 e x = (b) un minimo in x = ma non possiede massimi (c) un minimo in x = 0 e un massimo in x = (d) non possiede punti di ottimo

15 CAPITOLO 4. CALCOLO DIFFERENZIALE 5 Esercizio 4.0. L elasticità di f(x) = log x x + in x 0 = è: (a) E f (x 0 ) = (b) E f (x 0 ) = (c)e f (x 0 ) = (d) E f (x 0 ) = 6 Esercizio 4.. L equazione della retta tangente alla funzione: f(x) = x + x in corrispondenza del punto x 0 = è: (a) y = x + (b) y = x + 7 (c) y = 5x (d) y = x + Esercizio 4.. La funzione: 8 < x + x + se x < 0 f(x) = : + log( + x ) se x > 0 con ; R (a) è continua 8x R se = 0 e = 0 (b) è derivabile 8x R se = 0; 8 (c) è derivabile 8x R se = 0 e = (d) è continua 8x R per ogni valore di e di Esercizio 4.. Data la funzione: f(x) = e x +x l elasticità in corrispondenza del punto x 0 = vale: (a) e (b) e (c) (d) 5 Esercizio 4.4. Data la funzione f(x) = x x la sua derivata nel punto x 0 = vale: (a) 8 (b) (c) (d) 6 Esercizio 4.5. La funzione: 8 < x + x + se x > 0 f(x) = : e x se x < 0 con ; R (a) è continua 8x R se = 0; 8 (b) è derivabile 8x R se = ; 8 (c) è derivabile 8x R se = e = (d) è continua 8x R per ogni valore di e di

16 CAPITOLO 4. CALCOLO DIFFERENZIALE 6 Esercizio 4.6. Lo sviluppo in formula di Mac-Laurin (con resto di Peano) arrestato al secondo ordine della funzione f(x) = ( + x) è dato da: (a) f(x) = x + x + o(x ) (b) f(x) = + x + x + o(x ) (c) f(x) = x +! x + o(x ) (d) f(x) = x + (+) x + o(x ) Esercizio 4.7. Data la funzione y = f(x) = e x +, la derivata della funzione inversa f in corrispondenza del punto y 0 = f(x 0 ) con x 0 = è: (a) (b) e e (c) e (d) e Esercizio 4.8. La funzione f (x) = x 4 x + è: (a) invertibile (b) convessa (c) pari (d) concava Esercizio 4.9. Nell intervallo [; ] la funzione f (x) = log x ha: (a) un massimo in corrispondenza di x = e nessun minimo (b) nè massimi nè minimi (c) un minimo in corrispondenza di x = e un massimo in corrispondenza di x = (d) un minimo in corrispondenza di x = e nessun massimo Esercizio 4.0. L equazione della retta tangente alla funzione f(x) = x + e x in corrispondenza del punto x 0 = è: (a) y = x (b) y = e e x (c) y = x + e (d) y = e e e e e x + e e Esercizio 4.. La funzione: f(x) = + e x per x 0 log( + x) per x > 0 con ; R risulta continua e di erenziabile in ogni punto del suo dominio per: (a) per = log ; = (b) per = e e = log (c) per 8 e = (d) per nessun e per nessun

17 CAPITOLO 4. CALCOLO DIFFERENZIALE 7 Esercizio 4.. L equazione della retta tangente alla funzione f(x) = log( + e x ) in corrispondenza del punto x 0 = è: (a) y = x + log( + e) (b) y = ex + log +e (c) y = log( + e) + e x (d) y = e x + log( + e) e +e +e +e Esercizio 4.. Data la funzione f(x) = xe x l elasticità in corrispondenza del punto x 0 = vale: (a) e (b) e (c) (d) Esercizio 4.4. La funzione f = jx 6j possiede su [ 0; 0]: (a) due massimi assoluti, un massimo locale, due minimi assoluti (b) un minimo assoluto e nessun massimo (c) un minimo e un massimo assoluto (d) due minimi assoluti e un massimo relativo Esercizio 4.5. Data la funzione y = f(x) = x + x +, la derivata della funzione inversa x = f (y) in corrispondenza del punto y 0 = f(x 0 ) con x 0 = è: (a) D[f (5)] = 6 (b) D[f ()] = 5 (c) D[f (5)] = 6 (d) D[f ()] = 5 Esercizio 4.6. La funzione: f (x) = x( x) se x 0 e x + se x < 0 risulta continua e di erenziabile in ogni punto del suo dominio per: (a) 8; tale che = log (b) = e = (c) =,r 8 (d) per nessun e per nessun Esercizio 4.7. Data la funzione f(x) = e x, l elasticità in corrispondenza del punto x 0 = vale: (a) (b) 4 (c) (d) 4 Esercizio 4.8. Lo sviluppo in formula di Mac-Laurin (con resto di Peano) arrestato al secondo ordine della funzione f(x) = log( + x) è dato da: (a) f(x) = x x + o(x ) (b) f(x) = + x + x + o(x ) (c) f(x) = x + o(x ) (d) f(x) = x x + o(x )

18 CAPITOLO 4. CALCOLO DIFFERENZIALE 8 Esercizio 4.9. Sia f una funzione continua sull intervallo [0; 0] e tale che f 0 (x) 0 in (0; 0). Allora f (a) non ha punti di ottimo nell intervallo [0; 0] (b) ammette sempre uno e un solo zero nell intervallo (0; 0) (c) è non decrescente nell intervallo [0; 0] (d) ammette almeno uno zero e nell intervallo (0; 0) Esercizio 4.0. Se una funzione f(x) è di erenziabile in un punto x 0, allora: (a) f è anche continua in x 0 (b) f è anche derivabile in x 0 ma non vale necessariamente il viceversa (c) f può essere approssimata vicino ad x 0 dalla retta tangente ma la derivata in x 0 può non esistere (d) f può essere approssimata vicino ad x 0 dalla retta tangente solo se la derivata in x 0 non è nulla Esercizio 4.. Data la funzione y = f(x) = e x + la derivata della funzione inversa x = f (y), in corrispondenza del punto y 0 = f(x 0 ) con x 0 =, è: (a) D[f (e 9 )] = e 9 (b) D[f (log 9)] = 9 (c) D[f (e 9 )] = e 9 (d) D[f (log 9)] = Esercizio 4.. Nell intervallo [; ] la funzione f (x) = x ha: (a) un massimo in corrispondenza di x = e nessun minimo (b) nè massimi nè minimi (c) un minimo in corrispondenza di x = e un massimo in corrispondenza di x = (d) un minimo in corrispondenza di x = e nessun massimo Esercizio 4.. Lo sviluppo in formula di Taylor (con resto di Peano) arrestato al secondo ordine della funzione f(x) = log( + x) nel punto x 0 = è: (a) f(x) = 4 + x 4 x + o(x ) (b) f(x) = log 4 + (x ) 4 ) + o(x ) (c) f(x) = log (d) f(x) = x + x + o(x) log (x ) + log (x ) + o(x ) Esercizio 4.4. Sia f : [a; b]! R una funzione continua su [a; b] : Sotto quali delle seguenti condizioni f si annulla una e una sola volta su (a; b)? (a) se f (a) < 0 e f (b) > 0 (b) se f (a) f (b) < 0 e f è strettamente crescente su [a; b]

19 CAPITOLO 4. CALCOLO DIFFERENZIALE 9 (c) se f (a) f (b) < 0 e f è derivabile su (a; b) (d) se f (a) f (b) < 0 e f è convessa su [a; b] Esercizio 4.5. Data la funzione f(x) = p x, l elasticità in corrispondenza del punto x 0 = vale: (a) 4 (b) (c) (d) 4 Esercizio 4.6. L equazione della retta tangente alla funzione f(x) = + e x in corrispondenza del punto x 0 = è: (a) y = ex + (b) y = e x + + e (c) y = e x + e + (d) y = e x e + Esercizio 4.7. La funzione f(x) = j(x + ) (x + )j : (a) ha un un minimo in x = e x = e non ha massimi (b) non ha nè massimi nè minimi (c) ha un massimo in x = e un minimo in x = e x = (d) ha un minimo in x = e non ha massimi Esercizio 4.8. L equazione della retta tangente alla funzione f(x) = p x + x in corrispondenza del punto x 0 = è: (a) y = 5 p x p (b) y = 5 x + (c) y = 5 p x + p (d) y = 5 x + p Esercizio 4.9. Sull intervallo [ ; ] la funzione f(x) = p x (a) ha un massimo globale in x = ; un massimo locale in x = e non ha minimo (b) ha un minimo globale in senso stretto in x = e un massimo globale in senso stretto in x = (c) non possiede punti di ottimo (d) ha un minimo globale in x = 0; un massimo globale in x = e un massimo locale in x = Esercizio Per quali valori di ; R la funzione 8 < x + se x > 0 f(x) = : log(e + x) se e < x 0

20 CAPITOLO 4. CALCOLO DIFFERENZIALE 0 è derivabile sul suo dominio? (a) = 0 e = 0 (b) per ogni valore di e = 0 (c) = 0 e per ogni valore di (d) per nessun ogni valore di e Esercizio 4.4. Sia f : A! R una funzione continua su A. Se f 0 (x) 6= 0, allora: (a) f può ammettere punti di ottimo su A (b) f non possiede massimi e minimi su A (c) f non è derivabile su A (d) f è strettamente monotona su A Esercizio 4.4. Data la funzione y = f (x) = log (x + 5), la derivata della funzione inversa x = f (y) in corrispondenza del punto y 0 = f (x 0 ) con x 0 = 5 è: (a) D [f (y 0 )] = 0 log 0 (b) D [f 0 (y 0 )] = log 0 (c) D [f (y 0 )] = 5 (d) D [f (y 0 )] = 5 Esercizio 4.4. Scrivere lo sviluppo in formula di Taylor (con resto in forma di Peano) arrestato ai termini del secondo ordine in un intorno di x 0 = della funzione f (x) = log (e x + ) (a) f (x) = log (e + ) + e e + (x ) + e (e + ) (x ) + o (x ) (b) f (x) = log (e + ) + e e (x ) + e + (e + ) (x ) + o (x ) (c) f (x) = log + x + 9 x + o (x ) (d) f (x) = log + x + 9 x + o (x ) Esercizio La funzione f (x) = xe x è: (a) strettamente decrescente in ( ; =) e strettamente crescente in ( =; +) (b) strettamente crescente in ( ; =) e strettamente decrescente in ( =; +) (c)sempre crescente (d) sempre decrescente

21 CAPITOLO 4. CALCOLO DIFFERENZIALE Esercizio Sull intervallo [0; ] la funzione f(x) = q(x ) possiede (a) un minimo globale e un massimo globale (b) non possiede punti di ottimo (c) un massimo locale e due minimi locali (d) un massimo globale e due minimi locali Esercizio Lo sviluppo di Taylor con il resto di Peano, arrestato al secondo ordine, della funzione f(x) = e x + in x 0 = è: (a) f(x) = e (x + 4x + 4) + + o (x + ) (b) f(x) = e (x + x + ) + + ox (c) f(x) = x + x + + o (x ) (d) f(x) = e (x + 4x + 4) + o (x ) Esercizio La funzione f(x) = x e x è: (a) concava (b) pari (c) monotona (d) dispari Esercizio La funzione f(x) = e x x è: (a) strettamente concava su ( ; log ) e strettamente convessa su (log ; +) (b) strettamente convessa su ( ; log ) e strettamente concava su (log ; +) (c) strettamente concava su tutto R (d) strettamente convessa su tutto R Esercizio Sia f : [0; 5]! R una funzione derivabile su [0; 5]. Se f 0 (x) > 0 per 8x [0; 5], allora: (a) f è una funzione non decrescente su [0; 5] (b) f è una funzione strettamente crescente su [0; 5] (c) f non ha punti di ottimo su [0; 5] (d) f non si annulla mai su [0; 5]

22 Capitolo 5 Calcolo integrale Z Esercizio 5.. L integrale inde nito dx è: e x x (a) F (x) = e x log jxj + c 8c R (b) F (x) = log x x + c 8c R (c) Non esiste (d) F (x) = e x + =x + c 8c R Esercizio 5.. Sia f : R! R de nita da: f (x) = x se 0 x 0 altrove con R L area della regione di piano compresa tra il gra co della funzione e l asse delle ascisse è uguale a se: (a) = (b) = 4 (c) = 4 (d) per nessun valore di Esercizio 5.. La primitiva di f(x) = log x + p x passante per P (; ) è (a) F (x) = x(log x ) + =5x 5= + 8=5 (b) F (x) = (c) F (x) = 5=x 5= + 8=5 (d) F (x) = x(log x ) + =5x 5= Esercizio 5.4. La famiglia delle primitive della funzione f(x) = (a) F (x) = p + x + c per ogni c R (b) F (x) = p ( + x ) + c per ogni c R (c) F (x) = p + x + c per ogni c > 0 (d) F (x) = p + c per ogni c R +x x p ( + x ) è:

23 CAPITOLO 5. CALCOLO INTEGRALE Z x Esercizio 5.5. L integrale de nito p dx vale: 0 x + (a) p (b) p (c) (d) Esercizio 5.6. La primitiva della funzione f(x) = p x passante per il punto (; ) è: (a) F (x) = p p x 5 + (b) F (x) = x5 + c 5 5 (c) Non esiste (d) F (x) = 5 p x5 + 5 Esercizio 5.7. Data f(x) = p x per x 0 e x per x < 0 vale: (a) e (b) 5 e (c) 5 (d) 5, l integrale de nito e Z f(x) dx Esercizio 5.8. Sia F una funzione integrale de nita nel seguente modo: F (x) = Z x 0 p xdt Quale delle seguenti a ermazioni è corretta? (a) F è una funzione strettamente decrescente su [0; +] (b) F è una funzione strettamente crescente su [0; +] (c) F non è una funzione strettamente monotona su [0; +] (d) F presenta un punto di massimo Z x Esercizio 5.9. L integrale de nito dx vale: + x (a) log 5 (b) (log 5 log ) (c) (log 5 log ) + c (d) log Esercizio 5.0. L integrale de nito (a) log (b) (c) (d) log + 4 Z 0 x dx vale: + x Esercizio 5.. L integrale de nito Z e x log xdx vale: (a) e 9 + (b) e + 9 (c) e (d) 9

24 CAPITOLO 5. CALCOLO INTEGRALE 4 Esercizio 5.. La famiglia delle primitive della funzione f(x) = (a) F (x) = log( + x ) + c per ogni c > 0 (b) F (x) = log( + x ) + c per ogni c R (c) F (x) = x + c per ogni c > 0 +x (d) F (x) = log( + x ) + c per ogni c R x + x è: Esercizio 5.. Si calcoli (a) (e + ) (b) e (c) =4(e ) (d) = Z e+ log(x ) (x ) dx : Esercizio 5.4. L integrale de nito Z 0 x e x dx vale: (a) e (b) 0 (c) (d) e Esercizio 5.5. La famiglia delle primitive della funzione f(x) = x log x è: (a) F (x) = x log x + 4 x + c per ogni c R (b) F (x) = x log x 4 x per ogni c R (c) F (x) = x log x x + c per ogni c R (d) F (x) = x log x + x + c per ogni c > 0

25 Capitolo 6 Algebra lineare Esercizio 6.. Dati i vettori x = ( ; ) e y = (0; ), per quali valori di R x e y sono linearmente indipendenti? (a) 6= (b) 6= (c) 8 R R Esercizio 6.. Dati i vettori u = (; ; ) e v = (; ; ) R, la loro somma è il vettore: (a) u + v = 0 (b) u + v = (4; 4; 4) (c) u + v = (; ; ) (d) u + v = (; ; ) Esercizio 6.. Il prodotto scalare tra i vettori x = ( ; ; 6) e y = (0; ; 5) è: (a) x y = (b) x y = (0; ; 0) (c) x y = 0 (d) x y = (6; 5) Esercizio 6.4. Dati i vettori x = (; 0; ) e y = (; ; ), per quali valori di R x e y sono ortogonali? (a) = (b) = (c) 8 R (d) = 0 Esercizio 6.5. I vettori: x = ( ); y = (0 ) e z = ( 6 ) sono: (a) linearmente indipendenti (b) linearmente dipendenti (c) di norma unitaria (d) a due a due ortogonali

26 CAPITOLO 6. ALGEBRA LINEARE 6 Esercizio 6.6. Date le matrici A = matrice: 5 4 (a) 0 (b) 4 0 e B = 0 (c) 0 il prodotto AB è la 0 4 (d) 0 Esercizio 6.7. I vettori x = (; 0; ) ; y = (; ; ) e z = (0; ; 0) sono linearmente indipendenti: (a) per = (b) 8 R (c) per nessun R (d) 8 6= Esercizio 6.8. Dati i vettori x = (, 0; ) e y = (; 00; ) il loro prodotto scalare vale: (a) 04 (b) 4 (c) 0 (d) Esercizio 6.9. Date le matrici A = e B = (a) (b) (c) non esiste (d) il prodotto AB è: Esercizio 6.0. I vettori x = 0 y = 0 0 e z = 0 0 sono: (a) linearmente indipendenti (b) linearmente dipendenti (c) di norma unitaria (d) a due a due ortogonali Esercizio 6.. I vettori x = ( 0 ) y = ( ) z = ( 0) sono linearmente indipendenti: (a) per 6= 5 (b) per = 5 (c) 8 R (d) per nessun R

27 CAPITOLO 6. ALGEBRA LINEARE 7 Esercizio 6.. La matrice prodotto AB dove A = 4 (a) AB = (b) AB = 4 (c) AB = 0 (d) AB = [ ] e B = è: Esercizio 6.. Il vettore x = ( ) ha norma unitaria per: (a) = 0 (b) = (c) ogni valore di R (d) nessun valore di R Esercizio 6.4. La matrice prodotto AB dove A è: 0 (a) AB 0 (c) AB A ( b) AB A (d) AB A A 0 A e B 0 0 A Esercizio 6.5. I vettori x = ( ) e y = ( ) con R sono ortogonali: (a) per qualsiasi valore di (b) per nessun valore di (c) solo per = 0 (d) solo per = Esercizio 6.6. Dati i vettori x = ( 0 ) e y = ( ) il loro prodotto scalare vale: (a) 5 (b) 5 (c) 0 (d) Esercizio 6.7. Il vettore x = ( ) ha norma unitaria per: (a) nessun valore di R (b) = (c) ogni valore di R (d) = 0

28 CAPITOLO 6. ALGEBRA LINEARE 8 Esercizio 6.8. I vettori di R u = e v = 5 sono: (a) tra loro ortogonali (b) entrambi di norma uguale a (c) tra loro paralleli (d) linearmente dipendenti Esercizio 6.9. Date le matrici A = e B (a) Esistono sia il prodotto AB sia il prodotto BA ma non vale la proprietà commutativa (b) Esistono sia il prodotto AB sia il prodotto BA e vale la proprietà commutativa (c) Il prodotto AB esiste ma il prodotto BA non esiste (d) Il prodotto BA esiste ma il prodotto AB non esiste A: Esercizio 6.0. La norma del vettore z =x y dove x = (; 0; ) e y = ( ; 0; ) è: (a) kzk = p (b) kzk = 5 (c) kzk = p 4 (d) kzk = p

29 Capitolo 7 Funzioni di più variabili Esercizio 7.. Determinare il gradiente di f(x; y) = (a) non esiste (b) rf (P ) = ( ; ) (c) rf (P ) = (; ) (d) rf (P ) = ( ; ) nel punto P (; ): xy y Esercizio 7.. Il determinante della matrice Hessiana della funzione f(x; y) = exp(x + y + xy) nell origine vale : (a) 8 (b) 0 (c) 6 (d) 4 Esercizio 7.. La funzione f(x; y) = x (a) un punto di massimo relativo x + y ha in P = (; 0): (b) un punto di minimo relativo (c) un punto di sella (d) un punto stazionario del quale non è possibile precisare la natura Esercizio 7.4. Data la funzione f(x; y) = x + y, l equazione del piano tangente in corrispondenza del punto (; ) è: (a) z = + x + y (b) z = + x + y (c) z = + x + y (d) z = 6 + x + y Esercizio 7.5. Data la funzione f(x; y) = e x + e y la matrice Hessiana in corrispondenza del punto P (; ) è: e 0 e 0 (a) (b) (c) (d) e 0 0 e

30 CAPITOLO 7. FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 0 Esercizio 7.6. Il gradiente della funzione f(x; y) = x + y x + y (a) 5f(; ) = ( ) (b) 5f(; ) = ( ) (c) 5f(; ) = ( ) (d) 5f(; ) = ( ) nel punto P = (; ) è: Esercizio 7.7. La funzione f(x; y) = x (a) un massimo in (4; 0) e un minimo in (; 0) (b) un massimo in (4; 0) e una sella in (; 0) (c) un massimo in (; 0) e un minimo in (4; 0) (d) un minimo in (4; 0) e una sella in (; 0) x + 8x + y ha: y + x Esercizio 7.8. Il dominio della funzione f(x; y) = log è: y x (a) D = f(x; y) R : (y > jxj) _ (y < jxj)g (b) D = f(x; y) R : (y > x) _ (y < x)g (c) D = f(x; y) R : x < y < xg (d) D = R Esercizio 7.9. L equazione del piano tangente alla funzione f(x; y) = p y + x in corrispondenza del punto (; ) è: (a) z = p x + p y + p (b) z = p + p (x + y ) (c) non esiste (d) z = p x + p y + p Esercizio 7.0. La funzione f(x; q y) = x x + y ha: q (a) un massimo relativo in ; 0 e una sella in ; 0 q (b) un minimo relativo in ; 0 e un massimo relativo in q q (c) un minimo relativo in ; 0 e una sella in ; 0 q (d) un massimo relativo in ; 0 e un minimo relativo in q ; 0 q ; 0

31 CAPITOLO 7. FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI r x + Esercizio 7.. Il dominio della funzione f(x; y) = y è: (a) D = f(x; y) R : (x 0 ^ y 0) _ (x 0 ^ y 0)g (b) D = f(x; y) R : (x ^ y )g (c) D = f(x; y) R : (x ^ y > ) _ (x ^ y )g (d) D = f(x; y) R : (x ^ y > ) _ (x ^ y < )g Esercizio 7.. L equazione del piano tangente alla funzione f(x; y) = corrispondenza del punto (; ) è: (a) z = x y + (b) z = (x + y ) (c) z = x y (d) z = x y x + y Esercizio 7.. L equazione del piano tangente alla funzione f(x; y) = e x +y corrispondenza del punto (; ) è: (a) z = e 5 (x + 4y 9) (b) z = e 5 x + e 5 y + 0e 5 (c) z = e 5 x + e 5 y + 8e 5 (d) z = ex + ey + 4e in in la matrice Hessiana in corrispon- Esercizio 7.4. Data la funzione f(x; y) = log y x denza del punto P = (; ) è: (a) 4 4 (b) (c) 4 (d) Esercizio 7.5. Il di erenziale totale di f(x; y) = e x + y in P (; ) è (a) df (; ) = e dx + dy (b) df (; ) = edx + dy (c) df (; ) = e dx + dy (d) df (; ) = edx + dy x Esercizio 7.6. Il dominio della funzione f(x; y) = log è: y (a) D = f(x; y) R : (x > 0 ^ y > 0) [ (x < 0 ^ y < 0)g (b) D = f(x; y) R : x 6= 0 ^ y 6= 0g (c) D = f(x; y) R : (x > 0 ^ y < 0) [ (x < 0 ^ y > 0)g (d) D = f(x; y) R : x 6= 0 _ y 6= 0g

32 CAPITOLO 7. FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Esercizio 7.7. L equazione del piano tangente alla funzione f(x; y) = xy +x +y in corrispondenza del punto (; ) è: (a) z = x + 4y 7 (b) z = 4x + y 4 (c) z = 4x + 4y (d) z = 4 + x + y Esercizio 7.8. Il gradiente della funzione f(x; y) = 6 + xy in corrispondenza del x punto (; 0) è: (a) rf (; 0) = ( 6; 0) (b) rf (; 0) = ( 5; 0) (c) rf (; 0) = ( 6; ) (d) rf (; 0) = ( 5; ) Esercizio 7.9. Il gradiente della funzione f(x; y) = log( p x + y ) in corrispondenza del punto (; ) è: (a) rf (; ) = ; 9 (b) rf (; ) = ; (c) rf (; ) = 9; 9 (d) rf (; ) = ; Esercizio 7.0. Il dominio della funzione f(x; y) = x y log( x) y è: (a) D = f(x; y) R : (x > 0; y > 0 vel x < 0; y < 0) et (x 6= y)g (b) D = f(x; y) R : x > ; y < vel x < ; y > g (c) D = f(x; y) R : (x 0; y 0 vel x 0; y 0) et (x 6= y)g (d) D = f(x; y) R : x 6= yg

33 Capitolo 8 Calcolo nanziario Esercizio 8.. Il regime dello sconto commerciale (o degli interessi semplici anticipati) può essere utilizzato: (a) solo per operazioni di sconto. (b) solo per operazioni aventi durata non troppo breve (t > dove d è il tasso d di sconto) (c) sempre, indipendentemente dalla durata dell operazione (d) solo per operazioni aventi durata non troppo lunga (t < dove d è il tasso d di sconto) Esercizio 8.. Un operazione nanziaria consiste nell impiegare oggi la somma di 000 e tra mesi la somma di 600. Applicando il regime della capitalizzazione composta con tasso trimestrale e ettivo pari al 4%, la somma disponibile tra anno è pari a: (a) 000( + 0:04) ( + 0:04) (b) 000( + 0:04) + 600( + 0:04) (c) 000( + 0:04) + 600( + 0:04) 4 (d) 000( + 0:0) + 600( + 0:0) 9 Esercizio 8.. Un soggetto acquista a rate un macchinario. Il prezzo di listino del macchinario è di L acquirente paga subito il 50% del prezzo e si impegna a saldare la rimanenza in 6 rate semestrali posticipate di ammontare R: Le parti concordano che R sia calcolato al tasso annuo nominale (convertibile volte l anno) del 8%: Si calcoli R. (a) R = 0000 a 6e0:04 (b) R = 0000a 6e0:8 (c) R = a 6e0:08 (d) R = 0000 a p 6e( ;08 )

34 CAPITOLO 8. CALCOLO FINANZIARIO 4 Esercizio 8.4. Una società ha diritto a riscuotere 0000 tra 4 mesi. Può cedere tale credito contro l immediata riscossione di 9700 oppure scontarlo a sconto commerciale calcolato a tasso annuo di sconto del %. Quale delle due alternative è da preferire? (a) Le due alternative non sono confrontabili (b) Le due alternative sono indi erenti (c) E preferibile la riscossione immediata di 9700 (d) E preferibile lo sconto del credito al tasso del % Esercizio 8.5. In regime di sconto commerciale al tasso annuo d = %, si calcoli il valore attuale A del seguente cash ow: Epoca anno anno anno Cash F low A = Esercizio 8.6. Per scontare un credito di ammontare S esigibile tra 6 mesi mi o rono due alternative di sconto: ) al tasso annuo di sconto commerciale d = 0% e ) al tasso d interesse composto annuo i = %. Quale delle due operazioni è più conveniente per chi deve portare S allo sconto? (a) Poichè >, è più conveniente l o.f. ) ;0 ; (b) Poichè d < i, è più conveniente l o.f. ) (c) Le operazioni non sono confrontabili (d) Poichè 0; 90 < p : = 0:9054, è più conveniente l o.f. ) Esercizio 8.7. Un soggetto acquista a rate un macchinario. Il prezzo di listino del macchinario è di L acquirente paga subito il 50% del prezzo e si impegna a saldare la rimanenza in 6 rate semestrali posticipate di ammontare R: Le parti concordano che R sia calcolato al tasso annuo nominale (convertibile volte l anno) del 0%: Si calcoli R. (a) R = a 6e0:0 (b) R = 0000 a 6e0:0 (c) R = 0000 a 6e0:0 R = 0000 a 6e( p ; ) (d) Esercizio 8.8. Nel regime dello sconto semplice (o sconto razionale) a tasso d interesse annuo semplice i = 5%;si calcoli il valore attuale A del seguente cash ow: Epoca anno anno anno Cash F low A =

35 CAPITOLO 8. CALCOLO FINANZIARIO 5 Esercizio 8.9. Sia i = 4% un tasso d interesse composto annuo, il tasso annuo nominale convertibile semestralmente equivalente è (a) j = ( p :4 ) (b) j = 0: (c) j = (:4) (d) j = p :4 Esercizio 8.0. Il capitale C viene investito a tasso composto annuo i = 0%, dopo quanti anni il capitale si è quadruplicato? (a) 4 (b) log 4 (c) log 4 log : (d) : log log : log 4 Esercizio 8.. Considerando il regime della capitalizzazione semplice, il tasso bimestrale equivalente al tasso trimestrale i del 4% è pari a: (a) i 6 = i 4 (b) i = 6p ( + i 4 ) 4 (c) i = 4 i (d) i 6 = p ( + i) 6 Esercizio 8.. Un operazione nanziaria consiste nell impiegare oggi la somma di 00 e tra 4 mesi la somma di 00. Applicando il regime della capitalizzazione composta con tasso quadrimestrale e ettivo pari al % la somma disponibile tra anno è pari a: (a) 00( + 0:0) + 00( + 0:0) (b) 00( + 0:0) ( + 0:0) (c) 00( + 0:) + 00( + 0:08) (d) 00( + 0:0) ( + 0:0) Esercizio 8.. Un soggetto acquista a rate un macchinario. Il prezzo di listino del macchinario è di L acquirente paga subito il 60% del prezzo e si impegna a saldare la rimanenza in rate mensili posticipate di ammontare R: Le parti concordano che R sia calcolato al tasso annuo nominale (convertibile volte l anno) del %: Si calcoli R. (a) R = 4000 a e0: (b) R = 4000 a e0:0 (c) R = a e0: (d) R = 6000 (+0:0) Esercizio 8.4. Nei regimi nanziari usuali, la relazione tra il fattore di capitalizzazione f(t) e il corrispondente fattore di attualizzazione (t) è: (a) f(t) + (t) = (b) f(t) (t) = (c) f(t) (t) = (d) f(t) (t) =

36 CAPITOLO 8. CALCOLO FINANZIARIO 6 Esercizio 8.5. Un operazione nanziaria consiste nell impiegare oggi la somma di 000 e tra 6 mesi la somma di 500. Applicando il regime della capitalizzazione composta con tasso trimestrale e ettivo pari al % la somma disponibile tra anno è pari a: (a) 000( + 0:0) + 500( + 0:0) (b) 000( + 0:0) + 500( + 0:0) (c) 000( + 0:0) ( + 0:0) (d) 000( + 0:0) + 500( + 0:0) Esercizio 8.6. Dovendo scontare un credito di ammontare S esigibile tra un anno vi sono due possibilità: (i) scontarlo a tasso annuo di sconto commerciale d = 5%; (ii) scontarlo a tasso annuo di interesse composto i = 5%. Quale delle due operazioni è più conveniente dal punto di vista di chi presenta il credito allo sconto? (a) Poichè 0:95 < è più conveniente la prima operazione :05 (b) Poichè d = i le operazioni non si possono confrontare (c) Poichè 0:95 < è più conveniente la seconda operazione :05 (d) Poichè d = i le due operazioni sono indi erenti Esercizio 8.7. Considerando il regime della capitalizzazione composta, il tasso mensile equivalente al tasso semestrale del % è pari a: (a) i = 6p ; (b) i = p ; (c) i 6 = % 6 (d) i = % Esercizio 8.8. Un soggetto acquista a rate un macchinario. Il prezzo di listino del macchinario è di 000. L acquirente paga subito il 40% del prezzo e si impegna a saldare la rimanenza in 0 rate semestrali posticipate di ammontare R: Le parti concordano che R sia calcolato al tasso annuo composto i = 0%: Si calcoli R. (a) R = 600 a 0e4% (b) R = 600a 0e5% (c) R = a 0e5% (d) R = a p 0e( ; ) Esercizio 8.9. Un impiego di liquidità per 6 mesi può essere fatto a interessi semplici, con tasso annuo i = 5%, oppure a interessi composti, con tasso annuo j = 5%. Si determini il più conveniente dei due impieghi. (a) Poichè i = j, l impiego a interessi composti è più conveniente (b) Poichè i = j, i due impieghi sono indi erenti (c) Poichè ( + 0:05) > p + 0:05 l impiego a interessi semplici è più conveniente (d) Poichè i regimi nanziari considerati sono diversi, i due impieghi non sono confrontabili

37 CAPITOLO 8. CALCOLO FINANZIARIO 7 Esercizio 8.0. Considerando il regime della capitalizzazione semplice, il tasso trimestrale equivalente al tasso quadrimestrale i del 4% è pari a: (a) i = p ( + i 4 ) 4 (b) i 4 = 4p ( + i ) (c) i = 4 i 4 (d) i 4 = 4 i Esercizio 8.. Per rimborsare un debito di 8000 si versano, a partire da oggi, rate bimestrali calcolate al tasso annuo e ettivo composto del %. Determinare l ammontare di ciascuna rata (a) R = :: ae( p (b) R = 8000 : ) a e0; 8000 (c) R = :: ae ( 6p : ) (d) R = 8000 a e( p : ) Esercizio 8.. Un operazione nanziaria consiste nell impiegare oggi la somma di 00 e tra 4 mesi la somma di 400. Applicando il regime della capitalizzazione composta con tasso bimestrale e ettivo pari al % la somma disponibile tra anno è pari a: (a) 00( + 0:) + 400( + 0:08) (b) 00( + 0:0) ( + 0:0) (c) 00( + 0:0) + 400( + 0:0) (d) 00( + 0:0) ( + 0:0) 4 Esercizio 8.. Un soggetto acquista a rate un macchinario. Il prezzo di listino del macchinario è di L acquirente paga subito il 60% del prezzo e si impegna a saldare la rimanenza in rate mensili anticipate di ammontare R: Le parti concordano che R sia calcolato al tasso annuo nominale (convertibile volte l anno) del %: Si calcoli R. (a) R = 4000 a e0:0 (b) R = 4000 a e0:0 (c) R = a e0: (d) R = 6000 (+0:0) Esercizio 8.4. Si versano, iniziando oggi 4 rate trimestrali di importo costante pari a 500. Se il tasso di interesse trimestrale e ettivo è pari al %, il montante in capitalizzazione composta disponibile tra anno è pari a: (a) 500 (+0:0)4 0:0 (b) 500 (+0:0)4 0:0 ( + 0:0) (c) 000 (+0:0) 4 0:0 ( + 0:0) (d) 000 (+0:0) 4 0:0

38 CAPITOLO 8. CALCOLO FINANZIARIO 8 Esercizio 8.5. Una società ha diritto a riscuotere 00 tra 6 mesi. Può cedere tale credito contro l immediata riscossione di 99 oppure scontarlo a sconto commerciale a tasso annuo di sconto del %. Quale delle due alternative è da preferire? (a) E preferibile lo sconto a tasso di sconto commerciale del % (b) E preferibile la riscossione immediata di 99 (c) Le due alternative non sono confrontabili (d) Le due alternative sono indi erenti Esercizio 8.6. Siano A e B due operazioni nanziarie dello stesso tipo. Se il NP V A = 7; 000 euro e NP V B = 5; 000; quale delle seguenti a ermazioni è coerente con il principio del Net Present Value? (a) B è sempre preferibile a A (b) Aè sempre preferibile a B (c) se A e B sono investimenti, allora A è da preferire a B; ma se A e B sono nanzamenti, allora B è da preferire a A. (d) Il NPV non può essere usato per comparare A e B Esercizio 8.7. Un autovettura del valore di 000 viene pagata attraverso il versamento di rate mensili posticipate di 000 l una. Nel caso il contratto preveda il pagamento di spese accessorie pari a 00 da versarsi al momento dell erogazione del nanziamento, il T AEG risulta: (a) T AEG = ( + x ) dove x è la soluzione di a ex = 0 (b) T AEG = ( + x ) dove x è la soluzione di a ex = 0 (c) T AEG = x dove xe la soluzione di a ex = 0 (d) T AEG = 0 Esercizio 8.8. Con riferimento ai criteri di scelta basati sul T IR (Tasso Interno di Rendimento) e sul V AN (Valore Attuale Netto), quale delle seguenti a ermazioni è corretta? (a) Il T IR di un operazione nanziaria esiste sempre mentre il V AN può non esistere (b) Il V AN di un operazione nanziaria esiste sempre mentre il T IR può non esistere (c) Sia il T IR sia il V AN di un operazione nanziaria esistono sempre ma il T IR può essere multiplo (cioè possono esistere per una stessa opera-zione nanziaria più tassi interni) (d) Sia il T IR sia il V AN di un operazione nanziaria esistono sempre ma il V AN può essere multiplo (cioè possono esistere per una stessa operazione nanziaria più valori attuali)

39 CAPITOLO 8. CALCOLO FINANZIARIO 9 Esercizio 8.9. Si acquista oggi al prezzo di 80 uno zero-coupon bond con scadenza 5 anni del valore nominale di 00 Se dopo anni si rivende il titolo al prezzo di 95, il tasso annuo e ettivo di interesse sulla compravendita è: (a) i = (b) i = q (c) i = 95 (d) i = Esercizio 8.0. Il tesoriere di una società deve impiegare per tre mesi una liquidità. Prende in esame due alternative. (I) Acquisto di uno zero-coupon bond a tre mesi, con rendimento annuo semplice del 4%. (II) Acquisto di uno zero-coupon bond a due mesi, con rendimento annuo semplice del % e reimpiego per il terzo mese, sempre a interessi semplici, a tasso annuo j ( ssato oggi attraverso un Forward Rate Agreement). Si determinino quali tassi j rendono più conveniente il primo impiego. (a) j > 0:005 (b) j > 0:0 :005 :0 (c) j < 0:05 (d) j < 0:005 :0 :005 Esercizio 8.. Nella costruzione di un piano di ammortamento in regime degli interessi composti a rate costanti (ammortamento alla francese), per determinare l ammontare della rata di ammortamento si usa: (a) la condizione di chiusura nanziaria iniziale (b) la condizione di chiusura elementare (c) si può procedere solo per via numerica (d) la quota capitale aumentata della quota interessi Esercizio 8.. Un prestito di 50:000 viene rimborsato pagando dopo anno la somma di 0:000, dopo anni la somma di 0000 e dopo anni l ammontare R: Calcolare R e redigere il piano di ammortamento nell ipotesi che il tasso annuo composto applicato sia pari al 0%. Esercizio 8.. Per rimborsare un debito di 0000 si ricorre ad un ammortamento a quote di capitale costanti. Redigere il piano di ammortamento nell ipotesi che il rimborso avvenga con rate annue, al tasso annuo composto del 0% e sia previsto un anno di pre-ammortamento. Esercizio 8.4. Un prestito di 7000 euro è ripagato mediante rate annue postisticipate. Si costruisca il piano di ammortamento all italiana (a quote capitali costanti) nell ipotesi in cui il tasso contrattuale sia del 0% composto annuo. Esercizio 8.5. Un individuo contrae un prestito di 00:000 che si impegna a rimborsare in 4 anni, pagando dopo, e anni la somma 0:000 e dopo 4 anni la somma R. Calcolare R e redigere il piano di ammortamento sapendo che il tasso contrattuale è pari al 0% annuo composto.

40 Capitolo 9 Soluzioni 9. Esercizi Capitolo : d : d : b :4 a :5 c :6 a :7 d :8 d :9 a :0 b : c : c : a :4 b :5 a :6 a :7 a :8 a :9 a :0 c 9. Esercizi Capitolo : c : d : a :4 d :5 a :6 a :7 d :8 b :9 c :0 d : a : d : b :4 b :5 d :6 b :7 b :8 d :9 a :0 c : a : c : c :4 a :5 b :6 a :7 d :8 a

41 CAPITOLO 9. SOLUZIONI 4 9. Esercizi Capitolo : a : d : a :4 b :5 c :6 b :7 b :8 b :9 b :0 c : a : b : b :4 b :5 c :6 a :7 a :8 a :9 c :0 d : c 9.4 Esercizi Capitolo 4 4: a 4: d 4: b 4:4 d 4:5 c 4:6 a 4:7 a 4:8 a 4:9 a 4:0 a 4: b 4: c 4: d 4:4 c 4:5 c 4:6 d 4:7 b 4:8 a 4:9 c 4:0 b 4: a 4: d 4: c 4:4 a 4:5 a 4:6 b 4:7 d 4:8 a 4:9 c 4:0 a 4: c 4: c 4: b 4:4 b 4:5 a 4:6 b 4:7 c 4:8 c 4:9 d 4:40 a 4:4 a 4:4 a 4:4 a 4:44 a 4:45 a 4:46 a 4:47 a 4:48 a 4:49 b 9.5 Esercizi Capitolo 5 5: a 5: b 5: a 5:4 a 5:5 a 5:6 d 5:7 d 5:8 b 5:9 b 5:0 a 5: b 5: b 5: d 5:4 a 5:5 c

42 CAPITOLO 9. SOLUZIONI Esercizi Capitolo 6 6: b 6: b 6: a 6:4 a 6:5 b 6:6 b 6:7 d 6:8 b 6:9 a 6:0 b 6: a 6: a 6: d 6:4 a 6:5 a 6:6 b 6:7 a 6:8 a 6:9 a 6:0 c 9.7 Esercizi Capitolo 7 7: b 7: a 7: b 7:4 b 7:5 c 7:6 d 7:7 d 7:8 a 7:9 d 7:0 c 7: d 7: a 7: a 7:4 d 7:5 a 7:6 a 7:7 b 7:8 c 7:9 d 7:0 a 9.8 Esercizi Capitolo 8 8: d 8: a 8: a 8:4 c 8:6 d 8:7 c 8:9 a 8:0 c 8: a 8: a 8: b 8:4 d 8:5 c 8:6 c 8:7 a 8:8 d 8:9 c 8:0 d 8: c 8: d 8: b 8:4 b 8:5 d 8:6 b 8:7 a 8:8 b 8:9 b 8:0 d 8: a

43 CAPITOLO 9. SOLUZIONI 4 8:5 A = 40 ( 0:0) + 0 ( 0:0 ) + 40 ( 0:0 ) 8:8 A = 50 +0: : :05 8: t C t I t R t D t 0 50:000 5:000 5:000 0:000 45:000 5:500 4:500 0:000 9:500 9:500 :950 R = :450 8: t C t I t R t D t :4 t C t I t R t D t 0 7; 000 9; ; 700 8; 000 9; 000 ; 800 0; 800 9; 000 9; ; 900 8:5 t C t I t R t D t R = 780